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Jeudi 26 novembre 2009.
MATHEMATIQUES. TS1 et TS2.
1h – Partie Test CALCULATRICE INTERDITE.
EXERCICE 1 (5 pts)
1a. Donner les solutions de l’équation différentielle y'=ay, où a ∈ IR.
1b. Résoudre l’équation différentielle 2 ' 4y+ y=0.
2a. Donner les solutions de l’équation différentielle y'=ay+b, où a ∈ IR* et b ∈ IR.
2a. Résoudre l’équation différentielle 3 ' 5 1 (1) 2
y y
y
+ = −
=
, où a ∈ IR* et b ∈ IR
EXERCICE 2 (8 pts)
Soit (E) l’équation différentielle y’ + 2y = cos (x)
a. Vérifier que la fonction g définie sur IR par g(x) = 2
5 cosx + 1
5 sinx est solution de (E).
b. Démontrer que : une fonction f est solution de (E) ⇔ f − g est solution de l’équation y’ + 2y = 0 c. En déduire la résolution de (E).
d. Déterminer la solution de (E) qui s’annule en 0.
EXERCICE 3 (7 pts)
Soit
( )
un la suite définie par 10
3 2
n n
u u
u
+ = +
= −
.
1. Montrer que pour tout n naturel, on a − ≤2 un≤3. 2. Etudier les variations de la suite.
3. Cette suite est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.
2
IE 26−11−09. Corrigé.
EXERCICE 1 (5 pts)
1a. Donner les solutions de l’équation différentielle y'=ay, où a ∈∈∈∈ IR.
les solutions de l’équation différentielle y’ = ay sont les fonctions définies sur IR par f(x) = k eax avec k ∈ IR.
1b. Résoudre l’équation différentielle 2 ' 4y+ y=0. 2y’ + 4y = 0 ⇔ y’ = −2y
D’après 1.a. les solutions sont les fonctions définies sur ie par f(x) = k e−2x avec k ∈ IR.
2a. Donner les solutions de l’équation différentielle y'=ay+b, où a ∈∈∈∈ IR* et b ∈∈∈ IR. ∈ les solutions de l’équation diff. y’ = ay + b sont les fonctions définies sur IR par f(x) = k eax - b
a avec k ∈ IR.
2a. Résoudre l’équation différentielle 3 ' 5 1 (1) 2
y y
y
+ = −
= , où a ∈∈∈∈ IR* et b ∈∈∈∈ IR 3y’ + 5y = −1 ⇔ y’= -5
3 y − 1 3 (E)
D’après 2.a. les solution de (E) sont les fonctions définies sur IR par f(x) = ke−5x/3 − 1
5 avec k ∈ IR.
f(1) = 2 ⇔ ke−5/3 − 1
5 = 2 ⇔ ke−5/3 = 11
5 ⇔ k = 11 5 e5/3 les solutions cherchées sont définies par f(x) = 11
5 e5/3e−5x/3 − 1
5 soit f(x) = 11
5 e(5 – 5x)/3 − 1 5
EXERCICE 2 (8 pts)
Soit (E) l’équation différentielle y’ + 2y = cosx
a. Vérifier que la fonction g définie sur IR par g(x) = 2
5 cosx + 1
5 sinx est solution de (E).
g est solution de (E) à condition que g’(x) + 2g(x) = cosx.
or g est dérivable sur IR et g’(x) = −2
5 sinx + 1 5 cosx donc g’(x) + 2g(x) = −2
5 sinx + 1
5 cosx + 4
5 cosx + 2
5 sinx = 5
5 cosx = cosx ce qui prouve que g est solution de (E).
b. Démontrer que : une fonction f est solution de (E) ⇔⇔⇔⇔ f −−−− g est solution de l’équation y’ + 2y = 0 f est solution de (E) ⇔ f’ + 2f = cosx
⇔ f’ + 2f = g’ + 2g puisque d’après a. g’ + 2g = cosx
⇔ f’ − g’ + 2(f − g) = 0
⇔ (f − g)’ + 2(f − g) = 0
⇔ (f − g) est solution de y’ + 2y’ = 0 donc l’équivalence est démontrée.
c. En déduire la résolution de (E).
y’ + 2y = 0 ⇔ y’ = −2y ;
Cette équation a pour solutions les fonctions définies sur IR par x → k e−2x avec k ∈ IR. donc, d’après b. (f − g)(x) = k e−2x , k ∈IR.
et puisque g(x) = 2
5 cosx + 1
5 sinx, f(x) = k e−−−−2x + 2
5 cosx + 1
5 sinx, k ∈∈∈∈IR. d. Déterminer la solution de (E) qui s’annule en 0.
On va chercher k pour que f(0) = 0 f(0) = 0 ⇔ k e0 + 2
5 cos0 + 1
5 sin0 = 0 ⇔ k + 2
5 = 0 ⇔ k = −2 5 donc la fonction cherchée est f définie par f(x) = −2
5 e−2x + 2
5 cosx + 1 5 sinx
3
EXERCICE 3 (7 pts)
Soit
( )
un la suite définie par 10
3 2
n n
u u
u
+ = +
= −
.
1. Montrer que, pour tout n naturel, on a − ≤2 un ≤3.
Initialisation : vérifions que −2 ≤ u0 ≤ 3 u0 = −2 donc −2 ≤ u0 ≤ 3 Hérédité : montrons que : SI −2 ≤ un≤ 3 ALORS −2 ≤ un+1 ≤ 3
supposons que −2 ≤ un ≤ 3 on a alors 1 ≤ un + 3 ≤ 6
puis 1 ≤ un + 3 ≤ 6 car la fonction racine est sur [0 ; +∞[
c'est à dire 1 ≤ un+1 ≤ 6
et comme 6 < 3, on a bien −2 ≤ un+1 ≤ 3 2. Etudier les variations de la suite.
En calculant quelques termes on peut conjecturer que la suite est croissante.
démontrons, par récurrence, que ∀ n ∈ IN, un+1≥ un
Initialisation : vérifions que u1 ≥ u0 : u1 = -2 + 3 = 1 donc u1 ≥ u0
Hérédité : montrons que SI un+1≥ un ALORS un+2≥ un+1
supposons que un+1≥ un
on a alors un+1 + 3 ≥ un + 3 avec un + 3 > 0 car un≥ −2
puis un+1 + 3 ≥ un + 3 car la fonction racine est sur [0 ; +∞[
c'est à dire un+2≥ un+1
3.Cette suite est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.
u est croissante et majorée par 3 donc u est convergente c'est à dire limn→+∞ un = m avec −2 ≤ m ≤ 3 d’après 1.
un+1 = f(un) avec f : x → x + 3
f est continue sur [−3 ; +∞[ donc en met u converge vers m donc f(m) = m or f(m) = m ⇔ m + 3 = m ⇔ m + 3 = m² ⇔ m² − m – 3 = 0
∆ = 13 donc m = 1 + 132 ou m = 1 - 132
u1 = 1 et la suite est croissante donc tous les termes suivants et la limite sont positifs donc limn→+∞ un = 1 + 132
