IE du 25-11-08

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Mardi 25 novembre 2008. Equations différentielles CALCULATRICE INTERDITE.

I. Exercice 1

1. Quelles sont les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + b où a et b sont réels ? 2. Résoudre l’équation différentielle :

_^^

3y' + 2y = -1

y(3) = 2

II. Exercice 2

On cherche à résoudre l’équation différentielle (E) : y’+ 2y = 3e

^-2x

. 1. Vérifier que f(x) = 3x

e

^2x

est solution particulière de (E).

2. Prouver que : y est solution de (E) ⇔ y − f est solution de u’ + 2u = 0.

3. Résoudre l’équation différentielle u’ + 2u = 0.

4. En déduire les solutions de (E).

III. Exercice 3

Une société produit des jambons industriels. Les jambons sont d’abord moulés, puis cuits à température constante par convection. Chaque jambon est moulé à 10°C avant d’être introduit dans un four maintenu à température constante de 75°C.

La température T(t) (en degré Celsius) au cœur du jambon vérifie à chaque instant t (t ≥ 0 exprimé en heures) l’équation différentielle (E) : dT

dt + KT = 75K, K étant une constante positive dépendant des conditions de cuisson.

1. Déterminer, en fonction de K, la solution cherchée de (E).

2. Au bout de 9h, la température à cœur atteint 69°C. Déterminer la valeur de la constante K.

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Exercice 1.

1. Quelles sont les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + b où a et b sont réels ?

Les solutions de l’équation y’ = ay + b sont les fonctions définies sur IR par f(x) = ke^ax− b/a avec k ∈ IR.

2. Résoudre l’équation différentielle : __^^^^_^^3y' + 2y = -1

y(3) = 2 soit (E) : 3y’+ 2y = −−−−1 (E) ⇔ y’ = (−2/3)y − 1/3

D’après 1. les solutions de (E) sont les fonctions définies sur IR par y(x) = ke^(−2/3)x−1/2 avec k ∈ IR.

et y(3) = 2 ⇔ ke^(−2/3)3−1/2 = 2 ⇔ ke⁻² = 5/2 ⇔ k = 5e²/2 donc LA fonction cherchée est f : x → 5e²

2 e^(−2/3)x− 1 2 Exercice 2

On cherche à résoudre l’équation différentielle (E) : y’+ 2y = 3e^-2x. 1. Vérifier que f(x) = 3x

e^2x est solution particulière de (E). Pour cela il faut que f’(x) + 2f(x) = 3e^-2x. f’(x) = 3e^2x - (3x)(2e^2x)

(e^2x)² = 3 - 6x

e^2x = (3−6x)e^−2x et f(x) = 3x e^−2x donc f’(x) + 2 f(x) = (3 − 6x) e^−2x+ 6x e^−2x= 3e^-2x.

ce qui prouve que f est solution de (E).

2. Prouver que : y est solution de (E) ⇔⇔⇔⇔ y – f est solution de u’ + 2u = 0.

y est solution de (E) ⇔ y’+ 2y = 3e^-2x

⇔ y’+ 2y = f’+ 2f car d’après 1. f’(x) + 2 f(x) = 3e^-2x.

⇔ (y’−f’) + 2(y − f) = 0

⇔ (y − f)’ + 2(y − f) = 0 car (y − f)’ = y’− f’

⇔ y − f est solution de (E’) : u’+2u = 0 donc l’équivalence est démontrée.

3. Résoudre l’équation différentielle (E’) : u’ + 2u = 0.

(E’) ⇔ u’ = −2u

donc les solutions sont les fonctions définies sur IR par x → ke^−2x avec k ∈ IR.

4. En déduire les solutions de (E).

D’après 2. y est solution de (E) ⇔ y – f est solution de u’ + 2u = 0 D’après 3. on sait donc que (y − f)(x) = ke^−2x

donc les solutions de (E) sont les fonctions y définies sur IR par : y(x) = f(x) + k e^−2x = 3x e^−2x+ k e^−2x = (3x + k)e^−2x, k ∈ IR.

Exercice 3

Chaque jambon est moulé à 10°C avant d’être introduit dans un four maintenu à température constante de 75°C.

La température T(t) (en °C) au cœur du jambon vérifie à chaque instant t l’équation différentielle (E) : dT

dt + KT = 75K, K étant une constante positive dépendant des conditions de cuisson.

1. Déterminer, en fonction de K, la solution cherchée de (E).

(E) ⇔ T’ = −KT + 75K qui est de la forme y’ = ay + b

donc (E) a pour solutions les fonctions T, définies sur IR, par T(t) = me^−Kt + 75 avec m ∈ IR. on va trouver m sachant que T(0) = 10

T(0) = 10 ⇔ me^−K0 + 75 = 10 ⇔ m + 75 = 10 ⇔ m = −65 donc T(t) = −−−−65e^{−−−−Kt} + 75 2. Au bout de 9h, la température à cœur atteint 69°C. Déterminer la valeur de la constante K.

on nous dit que T(9) = 69

or T(9) = 69 ⇔ −65e^−9K + 75 = 69

⇔ −65e^−9K = −6

⇔ e^−9K = 6/65

⇔ −9K = ln(6/65) donc K = −−−−ln(6/65) 9