IE du 20-12-08

Vendredi 20 décembre 2008.

Mathématiques. TS1. (1h) Calculatrice interdite.

1. Donner la forme algébrique des complexes suivants :

z

1

= (2 − 3i)(2 − i)

z

2

= 2 - 3i 2 + i z

3

= (1 + i)²

z

4

= 2i - 7

−−−−

z

5

= (2+3i)(2+i)

−−−−−−−−−−

2. Déterminer :

a. L’ensemble (E) des points d’affixes z tels que : (2 + i)z + (2

−

i)z

−

= 4 b. L’ensemble (F) des points d’affixes z tels que : (z + 2i)(z

−

− 2i) = 4

3. Déterminer le module et l’argument des complexes :

z

1

= −3 z

2

= 2i z

3

=

−

1+i

4. Déterminer la forme trigonométrique des complexes : z

1

= cos(

π

/6)

−

i sin(

π

/6)

z

2

= 3 − i

5. z et z’ désignent deux complexes non nuls.

Prérequis : | z × z’| = | z | × | z’| et arg(z × z’) = arg(z) + arg(z’) + 2kπ avec k ∈

^{Z Z}

. Montrer que :

a. | 1 z | = 1

| z | et arg( 1

z ) =

−

arg(z) + 2k

π

b. | z

z' | = | z |

| z' | et arg( z

z' ) = arg(z)

−

arg(z’) + 2k

π

Application :

a. Mettre sous forme trigonométrique les complexes z

1

= 3

−

i, z

2

= 1

−

i et Z = z

1

z

2

b. Ecrire Z sous forme algébrique. En déduire les valeurs exactes de cos (

π

12 ) et sin (

π

12 ).

Corrigé :

1. Donner la forme algébrique des complexes suivants : z₁ = (2 − 3i)(2 − i) = 4 − 2i − 6i − 3 = 1 − 8i

z₂ = 2 - 3i

2 + i = 2 - 3i 2 + i × 2 - i

2 - i = (2 - 3i)(2 - i)

4 + 1 = 1 - 8i 5 = 1

5 − 8i 5 z₃ = (1 + i)² = 1 + 2i − 1 = 2i z₄ = 2i - 7

---

= -7 + 2i

---

= −7 − 2i z₅ = (2+3i)(2 + i)

---

= (2+3i)

---

×(2 + i)---

= (2 − 3i)(2 − i) = 1 − 8i 2. Déterminer le module et l’argument des complexes : z₁ = −3 | z₁| = (-3)²+0² = 3 soit θ = arg z1,



cos θ = -1

sin θ = 0 donc θ = π + 2kπ , k ∈ Z.

z₂ = 2i | z₂| = 0²+2² = 2 soit θ = arg z2, _^cos θ = 0

sin θ = 1 donc θ = π/2 + 2kπ , k ∈ Z.

z₃ = −1+i | z₃| = (-1)²+1² = 2 soit θ = arg z1,



cos θ = -1/ 2

sin θ = 1/ 2 donc θ = 3π/4 + 2kπ , k ∈ Z.

3. Déterminer :

a. L’ensemble (E) des points d’affixes z tels que : (2 + i)z + (2 −−−− i)z−−−− = 4 (2 + i)z + (2 − i)z− = 4 ⇔ (2 + i)(x + iy) + (2 − i)(x − iy) = 4

⇔ 2x + 2iy + ix − y + 2x − 2iy − ix − y = 4

⇔ 4x − 2y = 4

⇔ 2x − y = 2 ceci est l’équation d’une droite donc (E) est la droite d’équation 2x – y = 2

b. L’ensemble (F) des points d’affixes z tels que : (z + 2i)(z−−−−−−−− 2i) = 4 (z + 2i)(z− − 2i) = 4 ⇔ z z− − 2iz + 2i z− + 4 = 4

⇔ z z− + 2i(z− − z) = 0

⇔ x² + y² + 2i(−2iy) = 0

⇔ x² + y² + 4y = 0

⇔ x² + (y+2)² = 4 (⇔ (x – 0)² + (y – (−2))² = 2²) donc (F) est le cercle de centre B d’affixe −2i et de rayon 2.

4. Déterminer la forme trigonométrique des complexes :

z₁ = cos(π/6) − i sin(π/6) = cos α + i sin α avec _^cos α = cos(π/6)

sin α = - sin(π/6) donc α = −π/6 et z1 = cos(−π/6) + i sin(−π/6)

z

2

= 3 − i

^|z2| = 2. donc z₂ = 2( ³/2 − i/2) = 2(cos(−π/6) + i sin(−π/6)) donc z1 = 2(cos(−π/6) + i sin(−π/6)) 5. z et z’ désignent deux complexes non nuls. Prérequis : | z ×××× z’| = | z | ×××× | z’| et arg(z ×××× z’) = arg(z) + arg(z’) + 2kππππ Montrons que |1

z | = 1

| z | et arg( 1

z ) = −−−− arg(z) + 2kππππ

On a des informations concernant module et argument d’un produit, On veut des résultats concernant module et argument de l’inverse … On sait que : le produit d’un nombre par son inverse est 1.

1

z × z = 1 donc |1

z × z | = 1 et arg (1

z × z ) = arg 1 + ^2kπ c’est à dire arg (1

z × z ) = 0 + ^2kπ or |1

z × z | = 1 ^préréquis⇔ | 1

z | × | z | = 1 ⇔ | 1 z | = 1

| z | et arg (1

z × z ) = 0 + ^2kπ ^préréquis⇔ arg 1

z + arg z = ^{0 + 2k}π ⇔arg 1

z = − arg z + ^2kπ

Si on n’a pas su faire cette première démonstration, on admet les résultats et on fait la suite qui ne présente aucune difficulté Montrons que | z

z' | = | z |

| z' | et arg(z

z' ) = arg(z) −−−− arg(z’) + 2kππππ

| z

z' | = | z × 1

z' | = | z | × | 1

z' | d’après le prérequis

= | z | × 1

| z' | = | z |

| z' | d’après la démonstration précédente.

arg(z

z' ) = arg (z × 1

z' ) + ^2k_π

= arg z + arg 1

z' + ^2k_π d’après le prérequis

= arg z − arg(z’) + 2kπ d’après la démonstration précédente Application :

a. Mettre sous forme trigonométrique les complexes z₁ = 3 −−−− i, z₂ = 1 −−−− i et Z = z₁ z₂

|z₁| = 2 donc z₁ = 2( ³/2 − i/2) = 2(cos(−π/6) + i sin(−π/6)) donc z₁ = 2(cos(−π/6) + i sin(−π/6))

|z2| = ² donc z2 = ²(1/ ² − i/ ²) = ²( cos(−π/4) + i sin(−π/4)) donc z2 = ²( cos(−π/4) + i sin(−π/4)) D’après la première partie,

|Z| = 2/ ² = ² et arg Z = −π/6 − (−π/4) + ^2kπ = π/12 + ^2kπ donc Z = ²(cos(π/12) + i sin(π/12)) b. Ecrire Z sous forme algébrique.

Z = 3 - i

1 - i = ( 3 - i)(1 + i)

2 = 3 + 1

2 + i 3 - 1 2

En déduire les valeurs exactes de cos (ππππ

12) et sin (ππππ 12) . Par comparaison des deux écritures de Z, on obtient :

2cos (π

12) = 3 + 1

2 donc cos(π

12) = 3 + 1

2 2 = 6 + 2 4 et ²sin (π

12) = 3 - 1

2 donc sin(π

12) = 3 - 1

2 2 = 6 - 2 4