IE du 11 mai 2010

Mardi 11 mai 2010.

Mathématiques. 1S1 et 1S2. (1h).

1. u est une suite arithmétique telle que u

+ u

+ u

= 154 et u

= 24

a. Déterminer la raison r et u

.

b. exprimer u

en fonction de n.

c. Calculer S = u

+ u

+ …… + u

.

2. u est une suite géométrique telle que u

=- 8 et u

= 1.

a. Déterminer la raison q et u

.

b. Exprimer u

en fonction de n.

c. Calculer S = u

+ u

+ u

+ …… + u

.

3. u est la suite définie, pour tout entier naturel non nul, par u

= 2n + 1 n² .

a. Etudier le sens de variation de la suite u.

b. Etudier la convergence de la suite u.

c. u est − elle bornée ?

4. u est la suite définie par u

= 1 et pour tout entier n, u

= 1 3 u

+ 2

9 1. Calculer u

et u

2. v est la suite définie, pour tout entier n, par v

= 3u

− 1 a. Montrer que v est géométrique

b. En déduire v

, puis u

en fonction de n.

3. Etudier les variations de chacune des deux suites.

4. Etudier les limites de chacune des deux suites.

5. a. Exprimer, en fonction de n, S = v

+ v

+ v

+ … + v

.

b. En déduire, en fonction de n, Σ = u

+ u

+ u

+ … + u

.

5. Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question il y a une conclusion correcte. Le candidat doit cocher la bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.

Partie A :

On considère trois suites (u_n), (v_n) et (w_n) qui vérifient la propriété suivante : «

∀ ∈ n IN *

1. Si la suite (v_n) tend vers −∞, alors :

□ La suite (w_n) tend vers −∞

□ la suite (u_n) tend vers −∞

□ la suite (w_n) n’a pas de limite

2. Si u_n > 1, w_n = 2u_n et lim(u_n) = l, alors : □

lim

n→+∞(v_n) = l

□ La suite (w_n) tend vers +∞

□

lim

n→+∞(w_n − u_n) = l

3. Si

lim

n→+∞(u_n) = −2 et

lim

n→+∞(w_n) = 2, alors : □

lim

n→+∞(v_n) = 0 □ la suite (v_n) diverge

□ On ne sait pas dire si la suite (v_n) a une limite ou non

4. Si

2 2

2 1

n

u n n

= − et

2 2

2 3

n

w n n

= + alors :

□

lim

n→+∞(wn) = 0 □

lim

n→+∞(vn) = 2

□ la suite (vn) n’a pas de limite.

Partie B :

5. Une suite (u_n) vérifie : pour tout n > 100 l’inégalité

1 2 n 1 u n

− ≤n

+ .

□ (u_n) est bornée.

□ (u_n) tend vers 1

□ (u_n) est croissante

6.

Soit (u

) et (v

) deux suites telles que :

∀ n ∈ IN, u

> 0 et v

= 1 + 1 u

.

□

si (u

) est croissante alors (v

) est décroissante

□

si lim

v

= −1 alors lim

u

= + ∞

□

si (u

) diverge alors (v

) converge.

1. u est une suite arithmétique telle que u4 + u7 + u13 = 154 et u10 = 24 a. Déterminer la raison r et u₀.

u₄ = u₁₀ − 6r et u7 = u₁₀ − 3r et u13 = u₁₀ +3r

donc u₄ + u₇ + u₁₃ = 154 ⇔ u10 − 6r + u10 − 3r + u10 +3r = 154

⇔ 3u10 – 6r = 154

⇔ 3×24 − 6r = 154 ⇔ – 6r = 82 ⇔ r = -82

6

⇔

on a alors : u0 = u10 – 10r = 24 + 410 3 = 482

3

b. exprimer u_n en fonction de n. u_n = u₀ + nr c’est à dire u_n = 482 3 − 41n

3

c. Calculer S = u₄ + u₅ + …… + u₂₀. S est la somme de 17 termes consécutifs d’une suite arithmétique donc S =

17

2 u + u

×

2 (2u₁₀ + 4r) = 17

2 (48 − 164 3 ) = 17

2 × -20 3 = -170

3 2. u est une suite géométrique telle que u₃ = − 8 et u₆ = 1.

a. Déterminer la raison q et u₀.

u₆ = u₃ × q³ donc q³ = −1/8 donc q = −1/2 on a alors u₃ = u₀ × q³ donc u₀ = u₃/q³ = 64 b. Exprimer u_n en fonction de n. u_n = u₀ × qⁿ c’est à dire u_n = 64(−1/2)ⁿ

c. Calculer S = u0 + u1 + u2 + …… + u9.

S = u₀ × 1 - (-1/2)¹⁰

1 - (-1/2) = 64 × 1 - (-1/2)¹⁰ 3/2 = 128

3 × (1 − 1

1024 ) = 128 3 × 1023

1024 = 128

3 × 341 × 3 128 × 8 = 341

8 4. u est la suite définie, pour tout entier naturel non nul, par un =

2n 1

n² +

a. Etudier le sens de variation de la suite u.

u_n = f(n) avec f(x) =

2x 1 x²

+

f’(x) =

4 4 4

2x² (2x 1) 2x 2x² 2x 2x(x 1)

x x x

− + × = − − = − +

dans [1 ; +∞[, − 2x < 0, x+1 > 0 et x⁴ > 0 donc f’(x) < 0 f étant décroissante sur [1 ; +∞[, u est décroissante sur IN*.

b. Etudier la convergence de la suite u.

quand n → +∞, un se comporte comme 2n

n² c’est à dire 2

n et donc lim_n→+∞ u_n = 0 c. u est−−−−elle bornée ? oui, par 0 et 3, en effet :

u est décroissante sur IN*, elle est donc majorée par son premier terme u₁= 3

de plus ∀ n ∈ IN*, 2n + 1 > 0 et n² > 0 donc un > 0 ce qui prouve que u est minorée par 0.

5. u est la suite définie par u₀ = 1 et pour tout entier n, u_n+1 = 1 3 u_n + 2

9 1. Calculer u₁ et u₂

u₁ = 1 3 u₀ + 2

9 = 5

9 u₂ = 1 3 u₁ + 2

9 = 11 27 2. v est la suite définie, pour tout entier n, par v_n = 3u_n−−−− 1 a. Montrer que v est géométrique

∀n∈IN, v_n+1

v_n = 3u_n+1 - 1

3u_n - 1 = (u_n + 2/3) - 1

3u_n - 1 = u_n - 1/3 3(u_n - 1/3) = 1

3 donc v est géométrique de raison 1

3 et de premier terme v₀ = 3u₀ – 1 = 2 b. En déduire v_n, puis u_n en fonction de n.

∀ n ∈ IN, vn = v₀ (1/3)ⁿ = 2(1/3)ⁿ et comme v_n = 3u_n − 1, un = 1

3 (v_n + 1) = 2

3 (1/3)ⁿ + 1 3 3. Etudier les variations de chacune des deux suites.

tous les termes de la suite v sont positifs et ∀ n ∈ IN, vn+1 /v_n = 1

3 < 1 donc la suite v est décroissante.

∀ n ∈ IN, un+1 − un = 1

3 (v_n+1 + 1) − 1

3 (v_n + 1) = 1

3 ( v_n+1 − vn) donc u varie comme v donc u décroît.

4. Etudier les limites de chacune des deux suites.

0 < 1/3 < 1 donc quand n →→→ +∞→ ∞∞, (1/3)∞ ⁿ → 0 on a alors lim_n→+∞ v_n = 0 et comme u_n = 1

3 (v_n + 1), lim_n→+∞ u_n = 1 3 . 5.a. Exprimer, en fonction de n, S = v0 + v1 + v2 + … + vn .

S est la somme de n+1 termes consécutifs d’une suite géométrique donc : S = v₀ × 1 - (1/3)ⁿ⁺¹

1 - 1/3 = 3(1 − (1/3)ⁿ⁺¹) = 3 − 1 3ⁿ b. En déduire, en fonction de n, ΣΣΣΣ = u₀ + u₁ + u₂ + … + u_n.

ΣΣΣΣ = u₀ + u₁ + u₂ + … + u_n = 1

3 (v₀ + 1) + 1

3 (v₁ + 1) + 1

3 (v₂ + 1) + … + 1

3 (v_n + 1) = 1 3 S + 1

3 (n+1)

4. Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question il y a une conclusion correcte. Le candidat doit cocher la bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.

Partie A :

On considère trois suites (u_n), (v_n) et (w_n) qui vérifient la propriété suivante : «

∀ ∈ n IN *

1. Si la suite (v_n) tend vers −∞, alors :

□ La suite (w_n) tend vers −∞

□ la suite (u_n) tend vers −∞

□ la suite (w_n) n’a pas de limite

2. Si u_n > 1, w_n = 2u_n et lim(u_n) = l, alors : □

lim

n→+∞(v_n) = l

□ La suite (w_n) tend vers +∞

□

lim

n→+∞(w_n − u_n) = l

3. Si

lim

n→+∞(u_n) = −2 et

lim

n→+∞(w_n) = 2, alors : □

lim

n→+∞(v_n) = 0 □ la suite (v_n) diverge

□ On ne sait pas dire si la suite (v_n) a une limite ou non

4. Si

2 2

2 1

n

u n n

= − et

2 2

2 3

n

w n n

= + alors :

□

lim

n→+∞(w_n) = 0 □

lim

n→+∞(v_n) = 2

□ la suite (v_n) n’a pas de limite.

Partie B :

5. Une suite (u_n) vérifie :

pour tout n > 100 l’inégalité 1 ₂

n 1 u n

− ≤n

+ .

□ (u_n) est bornée.

□ (u_n) tend vers 1

□ (u_n) est croissante

6.

Soit (u

) et (v

) deux suites telles que :

∀ n ∈ IN, u

> 0 et v

= 1 + 1 u

.

□

si (u

) est croissante alors (v

) est décroissante

□

si lim

v

= −1 alors lim

u

= +∞

□

si (u

) diverge alors (v

) converge.

1. u_n≤ v_n et lim_n→+∞ v_n = −∞ donc lim_n→+∞ u_n = −∞ 2. w_n – u_n = 2u_n – u_n = u_n et lim

n→+∞ u_n = l donc lim

n→+∞ ( w_n – u_n) = l 3. v_n peut faire n’importe quoi entre −2 et 2 …

4. lim

n→+∞ u_n = lim

n→+∞ (2n²/n²) = 2 et lim

n→+∞ w_n = lim

n→+∞ (2n²/n²) = 2 donc d’après le théorème des gendarmes, lim

n→+∞ v_n = 2 5. 0 ≤ |u_n – 1| ≤ n

n² + 1 et lim_n→+∞ n

n² + 1 = lim_n→+∞1 n = 0

donc d’après le théorème des gendarmes lim_n→+∞ |un – 1| = 0 ce qui prouve que lim_n→+∞ un = 1

6. v_n+1 – v_n = 1 u_n+1 − 1

u_n = u_n - u_n+1

u_n+1 u_n et comme u_n u_n+1 > 0, v_n+1 – v_n et u_n+1 – u_n sont de signes contraires.

ou si (u_n) est alors (1

u_n ) est car la fonction x → 1/x est sur ]0 ; +∞[

et (1 + 1

u_n ) est car la fonction x → 1 + x est