A10219. Progressions maximales
Soient knombres entiers de 4 chiffres, en progression g´eom´etrique. Si k est le plus grand possible, quelle est la valeur maximum du plus grand de ces nombres ? Et avec des nombres de 7 chiffres ?
Solution
La raison de la progression est un rationnel (fraction irr´eductible) q/p, les termes extrˆemes sont dpk−1 et dqk−1, avec la chaˆıne d’in´egalit´es (pour des nombres de 4 chiffres)
103/d≤pk−1< pk−2q < . . . < pqk−2 < qk−1 <104/d.
Le rapport des termes extrˆemes (q/p)k−1<10, avecp≤q−1, d’o`u 1−1/q >
10−1/(k−1). Commeqk−1 <104, on a 10−4/(k−1) <1/q <1−10−1/(k−1).
L’in´egalit´e 10−4/(k−1) < 1−10−1/(k−1) exige k ≤ 8, mais la valeur k = 8 conduit `a 3,57 < q < 3,73 et q ne peut pas ˆetre entier. Il faut se rabattre surk= 7,q = 4,p= 3 et la plus longue progression de termes de 4 chiffres est (avec d= 2)
1458, 1944, 2592, 3456, 4608, 6144, 8192.
Pour des nombres de 7 chiffres, la mˆeme m´ethode conduit `a k= 11,q = 5, p= 4,d= 1 et les termes extrˆemes sont 410= 1048576 et 510= 9765625.
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