Premier cas : a= 2011, le côté 2011 est un côté de l’angle de 60◦

Enoncé D1920 (Diophante)

La saga de l’angle de 60^◦ (3ème épisode)

Trouver tous les triangles scalènes dont l’un des angles vaut 60^◦et dont les dimensions des côtés sont des nombres entiers de centimètres, l’une d’elles étant égale à 2011 cm.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Soit c le côté opposé à l’angle de 60^◦, les autres étant aetb.

Par Al-Kashi a²−ab+b² =c².

Premier cas : a= 2011, le côté 2011 est un côté de l’angle de 60^◦. 2011(2011−b) = (c+b)(c−b).

2011, premier, divise un des facteurs du second membre ; il ne peut diviser

|c−b|à cause de l’inégalité du triangle. Donc c+b= 2011k,k entier.

2011 = c+b

k =b+k(c−b) =c 2k−1

k²−k+ 1 =b 2k−1 k²−1

Si 2011 ne divise pas 2k−1, il divisebetc; 2k−1 doit diviser k²−k+ 1, donc 3, car 3 = 4(k²−k+ 1)−(2k−1)². Cela exigek= 1 (triangle plat, l’angle 60^◦ sépare le côté 0 d’un des côtés 2011) ou k= 2 (b=c= 2011, triangle équilatéral).

Si 2011 divise 2k−1 = (2m+ 1)2011, k = 1006 + 2011m, 2m+ 1 doit diviser k²−k+ 1 etk²−1, à nouveau c’est un diviseur de 3, d’où m= 0 et k= 1006, ou m= 1 etk= 3017.

Outre le triangle équilatéral, ce cas donne les triangles a= 2011,b= 1012035, c= 1011031,

et a= 2011,b= 3034096, c= 3033091.

Second cas :c= 2011

a²−ab+b² =c² entraîne (2a−b)²+ 3b²= 4·2011².

La décomposition 2011 = 44²+ 3·5² est unique, 2011 étant premier. D’où pour 2011² les décompositions 2011²+ 3·0² et 1861²+ 3·440².

Comme 4 = 2²+ 3·0² = 1²+ 3·1², on obtient pour 4·2011² les décom- positions

4022²+ 3·0²,b= 0, a=c= 2011, triangle plat.

2011²+ 3·2011²,b= 2011 =a=c, triangle équilatéral.

3722²+ 3·880²,b= 880,a= 2301.

3181²+ 3·1421²,b= 1421,a= 2301.

541²+ 3·2301²,b= 2301,a= 1421, identique au précédent.

En conclusion, il existe, outre le triangle équilatéral, 4 triangles non dégé- nérés, deux pour chaque cas.

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