D20289. Formez les faisceaux
Par un point P on m`ene les deux tangentes P S et P T `a une conique C `a centre. Le cercle orthoptique Γ de C et le cercle γ de diam`etre ST d´efinissent un faisceau de cercles. Montrer queP est l’un des points de Pon- celet (ou points-limites) de ce faisceau, et caract´eriser g´eom´etriquementQ, second point de Poncelet.
Solution
La coniqueC, le couple de points (S, T) et le pointP compt´e deux fois sont trois coniques du faisceau lin´eaire tangentiel Φ des coniques bitangentes `a C en S etT.
Selon une propri´et´e classique (*), les cercles orthoptiques des coniques d’un faisceau lin´eaire tangentiel forment un faisceau lin´eaire ponctuel. C’est pour Φ le faisceau d´efini par Γ et γ, auquel appartient aussi P comme cercle de rayon nul, et donc point de Poncelet du faisceau.
Le faisceau Φ contient une et une seule hyperbole ´equilat`ere H : outre les contacts en S et T avec C (condition commune aux coniques de Φ), la condition d’avoir ses directions asymptotiques rectangulaires – c’est `a dire conjugu´ees par rapport aux directions isotropes – est une cinqui`eme condition lin´eaire qui ach`eve de la d´eterminer. Le cercle orthoptique de H est de rayon nul ; c’est son centre Q, qui est donc le second point de Poncelet du faisceau des cercles Γ et γ.
Le faisceau Φ contient aussi une parabole, qui a pour courbe orthoptique sa directrice : celle-ci est la m´ediatrice de P Q, cercle d´eg´en´er´e du faisceau de cercles.
(*) Voici deux d´emonstrations de cette propri´et´e.
a) Les couples de tangentes men´ees d’un point aux coniques d’un faisceau tangentiel sont en involution (th´eor`eme dual du th´eor`eme de Desargues sur les coniques d’un faisceau lin´eaire ponctuel coup´ees par une droite). Si le point est commun aux cercles orthoptiques de deux coniques du faisceau, deux couples de cette involution ´etant form´es de droites rectangulaires, tous les couples sont form´es de droites rectangulaires : c’est dire que d’un tel point on voit toute conique du faisceau tangentiel sous un angle droit, et tous les cercles orthoptiques passent par ce point.
b) Soitf(u, v, w) = 0 l’´equation tangentielle d’une conique ; le point (x, y) d’intersection de deux tangentes orthogonales v´erifie les relations (o`u ϕ d´efinit l’orientation des tangentes)
f(cosϕ,sinϕ,−xcosϕ−ysinϕ) = 0, f(−sinϕ,cosϕ, xsinϕ−ycosϕ) = 0.
Ajoutant membre `a membre, on obtient l’´equation ponctuelle d’un cercle ind´ependant de ϕ, le cercle orthoptique. En rempla¸cant f(u, v, w) par g(u, v, w) +λh(u, v, w), on voit que l’´equation ponctuelle du cercle orthop- tique, comme l’´equation tangentielle de la conique, d´epend lin´eairement du param`etre λ.
1
