Applications de la diagonalisation

(1)

ECS2 Lycée Louis Pergaud

Diagonalisation

TD13

Diagonalisation

Exercice 13.1 (F)

À l’aide des commandesspec etrank donnant respectivement le spectre et le rang d’une matrice, déterminer en utilisantScilabsi les matrices suivantes sont diagonalisables.

A=





0 1 −1

2 1 1

−2 −1 −1



, B=





−1 2 −1

−3 4 −1

0 0 2



, C=





1 −12 2

1 1 1

4 8 3



, D=





−5 6 3

−3 4 3

−3 6 1



.

Déterminer par le moins de calcul possible si les matrices suivantes sont diagonalisables.

A=

−1 7

0 −1

, B=

−1 7

0 1

, C=





1 0 0

0 −1 1

0 0 2



, D=





2 −1 1

0 1 1

0 0 2





E=





1 0 0 0 2 1 0 1 2



, F =





1 0 0 0 2 1 0 0 2



, G=





1 −1 1

0 1 1

0 0 1



.

Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables dansR? dansC? Si oui, les diagonaliser et expliciter la matrice de passage. Afin de vérifier ses calculs sur Scilab, on pourra utiliser la commande [P,D] = spec(A)qui àA associe deux matricesP etD telles queP⁻¹AP =D.

A= 2 4

1 −1

, B=

1 −1

1 1

, C=





3 0 1

−1 2 −1

−2 0 0



, D=





−4 0 −2

0 1 0

5 1 3



, E=





3 1 −1

0 4 0

−1 1 3



.

Exercice 13.4 (FF)

Soienta, b∈R. DansMn(R), on pose :

M =







a b . . . b b . .. . .. ... ... . .. . .. b b . . . b a





 et J=







1 1 . . . 1 1 . .. . .. ... ... . .. . .. 1 1 . . . 1 1







1. Montrer qu’il existe une matrice ∆ diagonale et une matrice P inversible telle que J = P∆P⁻¹. On explicitera ∆ etP.

2. Écrire M comme combinaison linéaire deIn et J. En déduire que M est diagonalisable, et déterminer une matrice diagonale semblable àM.

SoitF l’espace vectoriel des fonctions définies surRà valeurs réelles etEle sous-espace vectoriel deF engendré par la famille (f₀, f₁, f₂, f₃) oùf_k:x7→x^ke^−x pourk= 0,1,2,3.

1. Montrer queB est une base deE. En déduire la dimension deE.

2. SoitD l’application définie surE par :

∀f ∈E, D(f) =f⁰ oùf⁰ désigne la dérivée première def.

Montrer queD est un endomorphisme deE et écrire sa matriceM dans la baseB.

1

(2)

3. M est-elle inversible ? diagonalisable ?

Soitf l’application définie surRn[X] parf(P)(X) =XP⁰(X+ 1).

1. Montrer quef est un endomorphisme deRn[X].

2. Déterminer la matrice de f dans la base canonique deRⁿ[X].

3. f est-elle diagonalisable ?

Soient (a, b, c)∈R³. Pour quelles valeurs dea,bet cla matrice





1 a 1 0 b c 0 0 2



est-elle diagonalisable ?

Exercice 13.8 (FFF)

SoitE un espace vectoriel de dimension finien, et soit f ∈L(E) un endomorphisme de rang 1. Soit B une base deE et A=M_B(f).

1. Montrer qu’il existe une baseB⁰deEdans laquelle la matrice def est de la formeM =







0 . . . 0 α1

... ... α2

... ... ... 0 . . . 0 αn





 .

2. Montrer queM est diagonalisable si et seulement siα_n6= 0.

3. En déduire quef est diagonalisable si et seulement siT r(A)6= 0.

Exercice 13.9 (FFF - QSP HEC 2016 - )

Soitn un entier supérieur ou égal à 1. SoitA et B deux matrices carrées d’ordren, diagonalisables et ayant chacunenvaleurs propres distinctes.

Montrer que les matricesAet B commutent si et seulement si elles sont diagonalisables avec la même matrice de passage.

Exercice 13.10 (FFF)

SoientX etY des variables aléatoires indépendantes sur (Ω,A, P) suivant une loi géométriqueG(p),p∈]0,1[.

Déterminer la probabilité que la matrice

X 0 X+Y Y

soit diagonalisable.

Exercice 13.11 (FFFF - Oral ESCP 2007)

Soitnun entier naturel non nul etQun polynôme à coefficients réels de degréd≤n.

On définit l’application suivante :

ϕ: (

Rn[X]→Rn[X] P 7→(P Q)⁽ⁿ⁾

où (P Q)⁽ⁿ⁾indique que l’on prend la dérivée n^iemedu produit de P parQ.

1. Justifier queϕest un endomorphisme deRn[X].

2. Donner une CNS sur le polynôme Qpour queϕsoit un automorphisme de Rn[X].

3. Montrer que la matrice de ϕ dans la base canonique deRn[X] est triangulaire supérieure. Que dire de plus dans le cas particulier où d < n?

4. Déterminer une CNS sur le polynôme Qpour queϕsoit diagonalisable.

2

(3)

Utilisation de polynômes annulateurs

Exercice 13.12 (F) Considérons la matriceA=





3 2 −2

−1 0 1

1 1 0



.

1. Trouver une relation entreA²,A etI3.

2. Montrer queA admet une seule valeur propreλ. A est-elle diagonalisable ?

Soitf :Mn(R)→Mn(R) l’endomorphisme défini parf(A) = ^tA.

1. Calculerf². En déduire un polynôme annulateur def et les valeurs propres def. 2. f est-il diagonalisable ?

SoitA= (ai,j)∈Mn(R) la matrice définie parai,j= i j.

1. CalculerA². En déduire un polynôme annulateur deA, puis queSp(A)⊂ {0, n}.

2. Déterminer rg(A). En déduire que 0 est valeur propre de A, et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.

3. Résoudre le systèmeAX=nX, d’inconnueX ∈Mn,1(R). En déduire queAest diagonalisable.

Exercice 13.15 (FF - QSP HEC 2005)

Une matriceN ∈Mn(R) est dite nilpotente s’il existe une puissancep∈N^∗ telle queN^p= 0n. À quelle condition une matrice nilpotente est-elle diagonalisable ?

Exercice 13.16 (FFF - QSP ESCP 2015)

Soitf un endomorphisme d’un espace vectorielEde dimension finien≥1, eta, bdeux scalaires distincts. On suppose que :

(f −aIdE)³◦(f−bIdE) = 0_L_(E) et (f−aIdE)²◦(f−bIdE)6= 0_L_(E). Étudier la diagonalisabilité def.

Exercice 13.17 (FFFF - Oral ESCP 2011 -)

Soitn un entier supérieur ou égal à 2, etE unK-espace vectoriel de dimension n(avecK=RouC). Soitu un endomorphisme deE. On noteidl’endomorphisme identité deE.

On souhaite montrer le résultat suivant :

udiagonalisable ⇔ uannule un polynôme scindé à racines simples dansK.

1. On suppose dans cette question que u est diagonalisable. On note {λ1, λ2, . . . , λk} l’ensemble de ses valeurs propres. Montrer que le polynôme m(X) = (X−λ1)(X−λ2). . .(X−λk) est annulateur deu.

2. Soitf etg deux endomorphismes deE. En considérant la restriction def àKer(g◦f), montrer que : dim Ker(g◦f)≤dim Ker(f) + dim Ker(g).

On suppose dans la suite de l’exercice qu’il existe un polynôme :

P(X) = (X−λ1)(X−λ2). . .(X−λk) annulateur de u, oùλ₁, λ₂, . . . , λ_k∈Ksont des scalaires distincts.

3

(4)

3. (a) Montrer quen≤

k

X

j=1

dim Ker(u−λjid).

(b) En déduire que l’endomorphismeuest diagonalisable.

4. Applications.

(a) Soit u un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel E de dimension finie, et soit F un sous-espace stable paru. Montrer que l’endomorphisme ˜uinduit parusurF est diagonalisable.

(b) SoitA∈GLn(C) telle queA² est diagonalisable. Montrer queAest diagonalisable.

Applications de la diagonalisation

On considère la suite (u_n)n∈Ndéfinie par

u₀= 4, u₁= 2, u₂=−3

∀n∈N, u_n+3= 2u_n+2+u_n+1−2u_n. Pour toutn∈N, on noteXn la matrice colonneXn =



 un

un+1

un+2



.

1. Déterminer une matriceA∈M3(R) telle que pour toutn∈N,Xn+1=AXn. 2. En déduire que∀n∈N,Xn=AⁿX0.

3. CalculerA³−2A²−A. En déduire un polynôme annulateur deA, puis montrer queAest diagonalisable.

4. En déduire qu’il existe trois réelsλ, µ, ν tels que ∀n∈N,u_n=λ+µ(−1)ⁿ+ν2ⁿ. 5. En déduire l’expression deu_n en fonction denpour toutn∈N.

Exercice 13.19 (FF - Racine carrée d’une matrice) SoitC=





9 0 0 0 4 0 0 0 1



.

1. Montrer que siM ∈M3(R) commute avecC, alorsM est diagonale.

2. On cherche à résoudre l’équation matricielleD²=Cd’inconnue D∈M3(R).

(a) Montrer que siD²=C, alorsD est diagonale.

(b) Déterminer l’ensemble des matricesD∈M3(R) telles queD²=C.

3. SoitA=





9 0 0

−5 4 0

8 0 1



. Déterminer l’ensemble des matricesB deM3(R) telles queB²=A.

Les matrices suivantes sont-elles semblables dansM3(R) ? 1. A=

0 1

−1 0

,B=

0 −1

2 0

.

2. A=





−1 1 −3

−1 1 −2

0 0 0



,B =





0 0 0

−3 0 −1

0 0 0



.

3. A=





1 3 −4

0 −5 2

0 0 −1



,B=





−5 0 0

8 −1 0

10 4 1



.

4. A=





−3 4 −4

−2 3 −2

0 0 1



,B=





−1 0 0

6 1 0

6 0 1



.

4