EXERCICE 1 EXERCICE 2

(1)

Vdouine – Terminale S – 2015/2016

Contrôle 1 - Correction Page 1

EXERCICE 1

EXERCICE 2

(2)

EXERCICE 3

On considère la suite

 

un d’entiers naturels définis par ⁰

1

14

5 6

n n

u

u _ u

 

  



1. Calculer les premiers termes de la suite u₁, u₂, u₃, u₄ et u₅. 64/314/1564/7814/39064

2. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de u_n ? Il semblerait que les deux derniers chiffres soient 64 ou 14.

3. Montrer que pour tout nIN on a u_n_2 u_n

 

4 .

 

2 5 1 6 5 5 6 6 25 36

n n n n

u _  u _   u    u  or ^{25 1 4}^

 

et ³⁶^^{0 4}

 

donc u_n_2 u_n

 

4 4. En déduire que, pour tout entier naturel k on a u2_k 2 4

 

et u2_k_10 4

 

.

2_k 0 14 2 4

 

u u   et u2_k_1 u1640 4

 

(3)

5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2u_n 5ⁿ^²3. Initialisation : si n0, 2u₀28 et 5² 3 28 donc la relation est vraie au rang 0.

Hérédité : supposons la relation vraie au rang p c’est-à-dire 2u_p 5^p^²3

Calculons 2u_p_1 2 5



u_p 6



 2 5u_p12 5 2u_p125 5



^p^² 3



125^p^³3 L’initialisation et l’hérédité sont vérifiées donc la relation est vraie pour tout n.

6. On admet que le résultat précédent permet de démontrer que pour tout nIN on a

 

2u_n 28 100 . Sauriez-vous en déduire les deux derniers chiffres du nombre u_n ?

2u_n28 100 k donc nous pouvons en déduire que u_n 14 50 k. Ainsi lorsque k est pair nous savons que le nombre se termine par les chiffres 1 et 4, tandis que lorsque k est impair nous savons que le nombre se termine par 64.

EXERCICE 4 5 points

1. On appelle x l’abscisse des points M et M’. Déterminer, à l’aide de l’équation du cercle trigonométrique rappelée en préambule, les ordonnées respectives des points M et M’. En déduire une expression de l’aire du triangle AMM’ en fonction de x.

1 2

yM  x et y_M_  1 x² . L’aire du triangle est donnée par



¹^^x



¹^^x²

2. On considère la fonction f définie sur l’intervalle



^^1;1



^par ^{f x}

  

^{ }¹ ^x



¹^^x² ^.

Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur l’intervalle



^^1;1



. Justifier.

f est croissante sur l’intervalle 1; ¹ 2

  

 

  et décroissante sur l’intervalle ¹;1 2

 

 

 

3. Pour quelle valeur de x l’aire du triangle AMM’ est-elle maximale ? Quelle est cette aire maximale ? Préciser, dans ce cas, la position des points A, M et M’ et la nature du triangle.

L’aire est maximale lorsque 1

x 2, dans ce cas l’aire vaut ^{3 3}

4 et ³ y 2 Le triangle AMM’ est alors équilatéral.

4. Démontrer que l’aire du triangle AMM’ est égale à 1 lorsque M est en B et lorsque M est en un autre point du cercle dont vous préciserez un encadrement des coordonnées au centième près. Votre démarche sera, dans chaque cas, justifiée et détaillée.

Sur l’intervalle 1; ¹ 2

  

 

  on a : ^f

 

^{  }¹ ^{0 1}^, ¹ ^{3 3} ¹

2 4

f    , f croissante et continue par conséquent par le théorème de la valeur intermédiaire, il existe une valeur x₀ telle que f x

 

0 1. Par méthode par balayage 0,84x₀ 0,83 et 0,54y₀0,55. D’autre part ^f

 

⁰ ^¹^.