DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
Utilisation des symboles de somme et de produit, principe de r´ ecurrence
Exercice 1 : Encadrement de Gauss de la factorielle
1Soitn∈N∗. On a :
Y
i+j=n+1,
i>1,j>1
pij =
Y
i+j=n+1,
i>1,j>1
√ i
Y
i+j=n+1,
i>1,j>1
pj
= Y
i+j=n+1,
i>1,j>1
i (l’indice j est muet)
=
n
Y
i=1
i (j est d´etermin´e par la valeur de i)
= n!
2Soiti, j∈N∗. On a d’une part
ij−(i+j−1) =ij−i−j+ 1 = ((i−1)(j−1)>0, et, d’autre part
i+j 2
2
−ij =1
4(i2+ 2ij+j2−4ij) = i−j
2 2
>0, d’o`u le r´esultat demand´e.
3En combinant les deux premi`eres questions, il vient
Y
i+j=n+1,
i>1,j>1
pi+j−16n!6 Y
i+j=n+1,
i>1,j>1
s i+j
2 2
,
soit
Y
i+j=n+1,
i>1,j>1
√n6n!6 Y
i+j=n+1,
i>1,j>1
n+ 1 2
,
soit enfin, puisque chaque produit comportentermes, l’encadrement demand´e : nn/26n!6
n+ 1 2
n
.
Exercice 2 : Un encadrement de
2nn1Soitn∈N∗. Tout d’abord,
Y
16k62n,
kpair
k =
n
Y
i=1
(2i)
=
n
Y
i=1
2
! n Y
i=1
i
!
= 2nn!
Par ailleurs,
Y
16k62n,
kimpair
k
Y
16k62n,
kpair
k
=
2n
Y
k=1
k= (2n)!,
d’o`u
Q
16k62n,
kimpair
k
Q
16k62n,
kpair
k = (2n)!
(2nn!)2 = (2n)!
22n(n!)2.
Comme 2nn
=(2n)!(n!)2, on a bien ´egalement
(2n)!
(2nn!)2 =
2n n
4n . 2Soitn∈N∗. Observons que
Y
16k62n,
kimpair
k= Y
36k62n,
kimpair
k,
et que ce dernier produit comporte (n−1) termes.
Par ailleurs, le produit Q
16k62n,
kpair
k comportentermes. L’id´ee est d’observer l’entrelacement des termes de ces deux produits : on a
Q
36k62n,
kimpair
k
Q
16k62n,
kpair
k = 1 2
Q
36k62n,
kimpair
k
Q
46k62n,
kpair
k =1 2
n−1
Y
i=1
2i+ 1 2i+ 2 61
2,
et, de mˆeme,
Q
36k62n,
kimpair
k
Q
16k62n,
kpair
k = 1 2n
Q
36k62n,
kimpair
k
Q
26k62(n−1),
kpair
k = 1 2n
n−1
Y
i=1
2i+ 1 2i > 1
2n,
d’o`u, grˆace `a la premi`ere question,
1 2n6
2n n
4n 6 1
2, puis l’encadrement voulu.
