Exercice 2 : Un encadrement de

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Utilisation des symboles de somme et de produit, principe de r´ ecurrence

Exercice 1 : Encadrement de Gauss de la factorielle

1Montrer que pout toutn∈N^∗ :

n! = Y

i+j=n+1,

i>1,j>1

pij.

2Montrer que sii>1 etj>1, alors

i+j−16ij 6 i+j

2 ²

.

3En d´eduire l’encadrement :

n^n/26n!6

n+ 1 2

n

.

Exercice 2 : Un encadrement de

1Montrer que :

Q

16k62n,

kimpair

k

Q

16k62n,

kpair

k = (2n)!

2²ⁿ(n!)² =

2n n

4ⁿ .

2En d´eduire que pourn>1 :

4ⁿ 2n 6

2n n

64ⁿ

2 .

Exercice 3 : In´ egalit´ e de convexit´ e g´ en´ eralis´ ee

Soit f une fonction convexe sur I (intervalle d’int´erieur non vide). Alors pour tout entier natureln > 2, pour tous pointsx1, . . . , xn deI, tous r´eels positifs ou nulsλ1, . . . , λn, de somme 1, on a :

f(λ1x1+· · ·+λnxn)6λ1f(x1) +· · ·+λnf(xn)