5 points EXERCICE 1 – Spécialité mathématiques BAC BLANC – Mardi 7 octobre 2015 – Durée 4 heures TERMINALE S

(1)

Vdouine – Terminale S – Contrôle 1 – 2015/2016

Contrôle 1 Page 1

BAC BLANC – Mardi 7 octobre 2015 – Durée 4 heures TERMINALE S – Spécialité mathématiques

La calculatrice est autorisée – Le candidat traitera les quatre exercices – Le sujet comporte 4 pages

EXERCICE 1 5 points

(2)

(3)

On considère la suite

 

un d’entiers naturels définis par ⁰

1

14

5 6

n n

u

u _ u

 

  



1. Calculer les premiers termes de la suite u₁, u₂, u₃, u₄ et u₅.

2. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de u_n ? 3. Montrer que pour tout nIN on a u_n_2 u_n

 

4 .

4. En déduire que, pour tout entier naturel k on a u2_k 2 4

 

et u2_k_10 4

 

.

5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2u_n 5ⁿ^²3.

6. On admet que le résultat précédent permet de démontrer que pour tout nIN on a

 

2u_n 28 100 . Sauriez-vous en déduire les deux derniers chiffres du nombre u_n ?

(4)

Soit C le cercle trigonométrique et A un point du cercle. On se propose d’étudier les aires des triangles isocèles de sommet A inscrits dans le cercle C.

On choisit le repère orthonormal direct



^{O OA OB}^; ^;



. Un triangle AMM’ inscrit dans le cercle C se présentera alors comme la figure ci-dessous (on choisit pour M l’ordonnée positive).

On rappelle que l’équation du cercle trigonométrique dans un repère orthonormé est x²y²1.

1. On appelle x l’abscisse des points M et M’. Déterminer, à l’aide de l’équation du cercle trigonométrique rappelée en préambule, les ordonnées respectives des points M et M’. En déduire une expression de l’aire du triangle AMM’ en fonction de x.

2. On considère la fonction f définie sur l’intervalle



^^1;1



^par ^{f x}

  

^{ }¹ ^x



¹^^x² ^.

Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur l’intervalle



^^1;1



. Justifier.

3. Pour quelle valeur de x l’aire du triangle AMM’ est-elle maximale ? Quelle est cette aire maximale ? Préciser, dans ce cas, la position des points A, M et M’ et la nature du triangle.

4. Démontrer que l’aire du triangle AMM’ est égale à 1 lorsque M est en B et lorsque M est en un autre point du cercle dont vous préciserez un encadrement des coordonnées au centième près. Votre démarche sera, dans chaque cas, justifiée et détaillée.

O

M

M'

A B

O M

M'

A B