Terminale S1 DS2 (durée 2 heures) Le 19 octobre 2005 EXERCICE 1 : (10 points)
On considère la fonction f définie sur R parf(x) = x ex−x.
On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal ³
O;−→i ,−→j´
,l’unité graphique est 2cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées.
Partie A
Soit g la fonction définie sur Rpar g(x) =ex−x−1.
1.Etudier les variations de la fonction gsur R.En déduire le signe deg(x).
2. Justifier que pour tout x,(ex−x) est strictement positif.
Partie B
1.a. Calculet la limite de la fonctionf en −∞.
On admettra (en ce début d’année) que la limite de f en +∞ est0.
1.b. Intrepréter graphiquement les résultats précédents.
2.a. Calculer f0(x), f0 désignant la fonction dérivée def.
2.b. Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.
3.a.Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe(C) au point d’abscisse 0.
3.b. A l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe(C) par rapport à la droite (T). 4. Tracer la droite(T),les asymptotes et la courbe (C).
EXERCICE 2 : (10 points)
On considère les deux suites(un)et(vn) définies pour tout entier naturel npar : u0= 3etun+1 = un+vn
2 ; v0 = 4etvn+1= un+1+vn 2 1. Calculer u1, v1, u2 etv2.
2. Soit la suite(wn)définie pour tout entier naturel npar :wn=vn−un. 2.a. Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique de raison 1
4. 2.b. Exprimer wn en fonction den et préciser la limite de la suite(wn).
3. Après avoir étudié le sens de variation des suites (un) et(vn),démontrer que ces deux suites sont adjacentes.
Que peut-on en conclure ?
4. On considère à présent la suite(tn) définie pour tout entier npar :tn= un+ 2vn
3 .
4.a.Démontrer que la suite (tn) est constante.
4.b. En déduire la limite des suites(un) et(vn).
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