Terminale S1 DS1 (durée 2 heures) Le 28 septembre 2005

Terminale S1 DS1 (durée 2 heures) Le 28 septembre 2005

Exercice 1 :

On considère la suite numérique (u_n) définie sur Npar :

½ u0 =a

u_n+1 =u_n(2−u_n) où aest un réel donné tel que0< a <1.

1. On suppose dans cette question que a= 1 8. 1.a. Calculer u₁ etu₂.

1.b. Dans un repère orthonormal, (unités graphiques 8cm ou 8 carreaux), tracer, sur l’intervalle [0; 2], la droite(D) d’équationy=xet la courbe (P) représentative de la fonctionf :x7→x(2−x).

1.c.Utiliser (D)et(P) pour construire sur l’axe des abscisses les pointsA₁, A₂ etA₃ d’abscisses respectives u1, u2 etu3.

2. On suppose dans cette question que aest un réel quelconque de l’intervalle]0; 1[. 2.a.Montrer par récurrence que, pour tout entiern,0< u_n<1.

2.b. Montrer que la suite(u_n) est croissante.

2.c. Que peut-on en déduire ?

3. On suppose à nouveau dans cette question quea= 1

8 et on considère la suite numérique (vn) définie surNpar vn= 1−un.

3.a.Exprimer, pour tout entier n, vn+1 en fonction devn. 3.b. En déduire l’expression devn en fonction de n.

3.c. Déterminer la limite de la suite(v_n) et en déduire celle de la suite (u_n).

Exercice 2 :

Soit à étudier la fonctionf(x) = (1−x)√

1−x² sur l’intervalle[−1; 1] . 1. Etudier la dérivabilité de la fonction sur]−1; 1[.

2.Dresser le tableau des variations de f sur ]−1; 1[

3.Etudier la dérivabilité de la fonction en −1et1

4. En déduire, si elle existe, l’équation de la tangente aux points de la courbe de f d’abscisses−1 et1.

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