Terminale S1 DS6 Le 3 mars 2005
Exercice 1
(5 points)A tout nombre complexe z non nul, on associe dans le plan orienté, rapporté au repère (O;−→u ,−→v), les points d’affixes respectives : a=z; b=z; c=z2
z.
1. On noterle module de zetθun argument dez.Exprimer en fonction deretθle module et l’argument debetc.
2. Comment faut-il choisirz pour que les pointsA, B etCsoient distincts deux à deux.
Dans la suite de l’exercice, on supposera cette condition réalisée.
3.a. Montrer que les pointsA, B,etC appartiennent à un même cercle de centreO.
3.b. Montrer queAB=AC.
3.c. Le pointA étant donné, indiquer une construction géométrique des pointsB etC.Justifier et réaliser la construction.
4.a. Montrer que a−c b−c = z
z+z. En déduire que³−−→CB,−→CA´
=θ ouθ+π.
4.b. En déduire l’ensemble (E) des points A tes que le triangle ABC soit équilatéral. Représenter (E) dans le repère (O;−→u ,−→v).
Exercice 2
(11 points)On considère la fonctionf définie surRparf(x) = 1
ex+e−x et on désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthogonal³
O;−→i ,−→i´ . Partie A
1. Etudier la parité def.Que peut-on en déduire pourC ? 2. Démontrer que pour tout réelxpositif ou nul,e−x≤ex. 3.a. Déterminer la limite def en+∞.
3.b. Etudier les variations de f sur[0; +∞[
4. On considère les fonctionsg ethdéfinies sur[0; +∞[parg(x) = 1
ex eth(x) 1 2ex. Sur le graphique ci-dessous sont tracés dans le repère³
O;−→i ,−→i´
,les courbes représentatives degethnotées respectivement : C1 etC2.
1 2 3 4
O 1
C1
C2
CourbesC1 etC2
4.a. Démontrer que, pour tout réelxpositif ou nul,h(x)≤f(x)≤g(x).
4.b. Que peut-on en déduire pour les courbes C, C1 et C2 ? Tracer C sur le graphique précédent, en faisant figurer sa tangente au point d’abscisse 0.
Partie B
Soit(In)la suite définie surNparIn=
n+1Z
n
f(x)dx.
1. Justifier l’existence de In et en donner une interprétation géométrique.
2.a. Démontrer que pour tout entier natureln, f(n+ 1)≤In≤f(n).
2.b. En déduire que la suite(In.)est décroissante
2.c. Démontrer que la suite (In.)est convergente et déterminer sa limite.
Partie C
Soit(Jn.)la suite définie surNparJn= Zn
0
f(x)dx.
1. En utilisant l’encadrement obtenu dans la questionA.4.a.démontrer que, pour tout entier natureln: 1
2(1−e−n)≤Jn ≤1−e−n≤1.
2. Démontrer que la suite(Jn.)est croissante. En déduire qu’elle converge.
3. On noteLla limite de la suite (Jn.)et on admet le théorème suivant :
"Si u, v, et wsont trois suites convergentes de limites respectives a, b, et c,et si, à partir d’un certain rang on a pour tout n, un≤vn≤wn, alors a≤b≤c” Donner un encadrement deL.
4. Soitula fonction définie surRpar : u(x) = 1
1 +x2.On note vla primitive deusurRtelle quev(1) = π 4. On admet que la courbe représentative de v admet en +∞ une asymptote d’équation y= π
2. 4.a. Démontrer que pour tout réelx, f(x) = ex
(ex)2+ 1.
4.b.Démontrer que pour tout réelx, f est la dérivée de la fonctionx7→v(ex).
4.c. En déduire la valeur exacte deL.
