Exercice 3 31 32 − u Exercice 2 Terminale S2 Devoir surveillé n°1 le jeudi 6 octobre 2005 Nom : ……………………… Exercice 1

(1)

Terminale S2 Devoir surveillé n°1 le jeudi 6 octobre 2005 Nom : ………

Exercice 1

(/3points)

On considère les cinq suites suivantes :

Numéro 1 2 3 4 5 Suite u

( )

⁻ⁿ _n_∈_N

*

1

n n_∈

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ N

(

^{( 1)}⁻ ⁿ

)

_n∈_N ₍ ¹₎

2

n n∈

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ N

(

^{( 2)}⁻ ⁿ

)

_n∈_N

Chacune des suites suivantes remplit l’une des conditions du tableau suivant.

Indiquer sur chaque ligne le numéro de la suite qui remplit la condition énoncée si c’est le cas, et répondre par « aucune » sinon.

Condition à remplir Numéro de la suite

La suite u est bornée et divergente La suite u est majorée et non minorée

La suite u converge vers 0 et n’est pas monotone La suite u converge vers 0 et est monotone La suite u diverge vers +∞

La suite u n’est pas majorée et ne tend pas vers +∞

Exercice 2

(/2 points)Indiquer (sans justifier) pour chacune des propositions si elle est vraie ou si elle est fausse. Une bonne réponse rapporte 0.5 point, une mauvaise réponse enlève 0.5 point, une absence de réponse n’apporte ni n’enlève de point. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à 0 pour cet exercice.

a) La suite définie par un = 3n + 2 pour tout n∈N est une suite arithmétique de raison 3. Vrai / Faux b) La suite définie par un = 3ⁿ – 2 pour tout n∈N est une suite géométrique de raison 3. Vrai / Faux c) La suite définie par u0 ≠ 0 et un – un-1 = ₁

3 1

− u

_n− pour tout n∈N^* est une suite géométrique de raison

3

2

. Vrai / Faux

d) La suite définie paru₀ ≠0, ₀ 1

u ≠2 et un+1 = 2(un)² pour tout n∈N est une suite géométrique de raison 2. Vrai / Faux

Exercice 3

(/2 points)

On a représenté dans le plan muni d’un repère orthonormal une fonction f définie sur

]

^{0;+ ∞}

[

. On définit la suite u de la

manière suivante ⁰

1

3 , _n ( _n) u

n u ₊ f u

⎧ =

⎨∀ ∈ =

⎩ N . A l'aide de cette courbe, placer (et laisser les traits de construction) sur l’axe des abscisses les six premiers termes de la suite u. Emettre deux conjectures sur la suite u.

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-1 1 2 3 4 5

y=f(x)

(2)

Exercice 4

(/ 3 points)

Déterminer une forme factorisée (produit de facteurs du premier degré) du polynôme P x( )= −2x²−5x+3, puis étudier le signe du polynôme f x( )= −2x⁴−5x²+3

Exercice 5

(/ 7 points)

On considère la suite u définie par

0

1

5 , 4

3

n n

u n u ₊ u

⎧ =

⎪ +

⎨∀ ∈ =

⎪⎩ N 1°) Calculer u₁ et u₂

2°) Démontrer que pour tout entier naturel n, u_n >2

3°) Montrer (sans utiliser un raisonnement par récurrence) que la suite u est une suite décroissante.

4°) On définit une nouvelle suite t en posant, pour tout entier naturel n, t_n=u_n−2 Montrer que la suite t est une suite géométrique.

En déduire l'expression de t_npuis de u_n en fonction de n.

5°) Soit S_n = + + +t₀ t₁ ... t_n et ∑ =_n u₀ + + +u₁ ... u_n

Déterminer l'expression de S_n, puis l'expression de ∑_n en fonction de n.

6°) En déduire lim _n

n S

→+∞ puis, lim _n

n→+∞∑

Exercice 6

(/ 3 points)

Pour tout entier naturel n, n≥1, on appelle S_nla somme des cubes des nombres entiers de 1 à n :

3 3 3 3

1 2 3 ...

Sn = + + + +n qu’on peut aussi noter ³

1 k n n

k

S k

=

∑

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n≥1,

2 2

( 1)

n 4

S n n+

=

(3)

Eléments de corrigé du DS1

Exercice 1

(/3points)

Condition à remplir Numéro de la suite

La suite u est bornée et divergente n°3 :

(

^{( 1)}⁻ ⁿ

)

_n∈_N

La suite u est majorée et non minorée n°1 :

( )

⁻ⁿ _n_∈_N

La suite u converge vers 0 et n’est pas monotone

n°4 : 1 ( )

2

n n∈

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ N

La suite u converge vers 0 et est monotone

n°2 :

*

1

n n_∈

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ N

La suite u diverge vers +∞ aucune

La suite u n’est pas majorée et ne tend pas vers +∞

n°5 :

(

^{( 2)}⁻ ⁿ

)

_n∈_N

Exercice 2

(/2 points)

a) La suite définie par un = 3n + 2 pour tout n∈N est une suite arithmétique de raison 3. Vrai on peut reconnaître la formule u_n =u₀+n r b) La suite définie par un = 3ⁿ – 2 pour tout n∈N est une suite géométrique de raison 3. Faux

u₀ = −1, u₁= =1 u₀× −( 1), u₂ = = ×7 u₁ 7 et − ≠1 7 c) La suite définie par u0 ≠ 0 et un – un-1 = ₁

3 1

− u

_n− pour tout n∈N^* est une suite géométrique de raison

3

2

. Vrai

₁ 1 ₁ ₁ 1 ₁ 2 ₁

3 3 3

n n n n n n n n

u −u ₋ = − u ₋ ⇒u =u ₋ − u ₋ ⇒u = u ₋ d) La suite définie paru₀ ≠0, ₀ 1

u ≠2et un+1 = 2(un)² pour tout n∈N est une suite géométrique de raison 2. Faux

( )

²

( )

1 2 0 0 2 0

u = u =u × u , ^u²⁼²

( )

^u¹ ² ^{= ×}^u¹

( )

²^u¹ ^{= ×}^u¹

(

^{2 2}

( )

^u⁰²

)

^{= ×}^u¹

( )

⁴û⁰² êt²û⁰ ^≠⁴û⁰²^carû⁰^≠⁰^,û⁰ ^≠¹₂

Exercice 3

(/2 points)

Conjectures possibles : La suite u n’est pas monotone, la suite u parait bornée et parait converger (vers l’abscisse du point d’intersection de la courbe représentative de f et de la droite d’équation y=x)

Exercice 4

(/ 3 points)

En calculant le discriminant ∆du polynôme, on trouve ∆ =7² ce qui donne deux racines ₁ 1

x =2et x₂ = −3, la forme factorisée cherchée est ^{( )} ² ¹

(

³

)

P x = − ⎛⎜⎝x−2⎞⎟⎠ x+ , on remarque que f x( )=P x( ²)d’où ^{f x}^{( )}^{= −}²^⎛⎜⎝^x²⁻¹₂^⎞⎟⎠

(

^x²⁺³

)

^{, on}

peut alors dresser un tableau de signe pour f x( )en utilisant le théorème donnant le signe d’un polynôme du second degré.

x −∞ 2

− 2 2

2 +∞

signe de

2 1

2⎛x 2⎞

− ⎜⎝ − ⎟⎠

− 0 + 0 −

signe de x² +3 + + + signe de f x( ) − 0 + 0 −

Exercice 5

(/ 7 points)

1°) La suite u est définie par

0

1

5 , 4

3

n n

u n u ₊ u

⎧ =

⎪ +

⎨∀ ∈ =

⎪⎩ N

0 1

4 5 4

3 3 3

u u + +

= = = et ₂ ¹ 4 3 4 7

3 3 3

u u + +

= = =

2°)

Prouvons par récurrence que pour tout entier n, u_n >2 Nommons P(n) l’inégalité u_n >2

Initialisation : Vérifions que P(0) est vraie On a u₀=5et 5>2P(0) est bien vraie Caractère héréditaire de la propriété

(4)

Supposons que pour un entier naturel n, n≥0 P(n) est vraie et démontrons qu’alors P(n+1) est vraie

Admis A prouver

(HR) u_n >2 u_n₊₁>2

En utilisant (HR) u_n >2et les propriétés sur les inégalités, on obtient 4 6 4 2 4

3 3

n n

u u +

+ > + ⇒ > soit u_n₊₁>2 P(n+1) est donc vraie

Conclusion : d’après le principe de récurrence, on peut affirmer que pour tout entier naturel n, u_n >2

3°) Pour tout entier n, calculons u_n₊₁−u_n : 1

( )

4 2 4 2

2 0

3 3 3 3

n

n n n n n

u ₊ u u + u u u

− = − = − + = − − < car 2 3 0

− > et u_n >2 4°) Pour tout entier n, t_n =u_n−2. On calcule t_n₊₁. ₁ ₁ 4 4 6 2 1

2 2

3 3 3 3

n n n

u u u

t₊ u ₊ + + − − t

= − = − = = =

La suite t est donc géométrique de raison 1

3et de premier terme t₀ =u₀− = − =2 5 2 3. On sait alors par théorème que pour tout entier n, ₀ 1 1

3 3 3

n n

tn = ×t ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ×⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

On peut écrire aussi 1 1

3

n

tn

⎛ ⎞ −

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^Commet_n =u_n − ⇔2 u_n = +t_n 2on a 1

3 2

3

n

un = ×⎛ ⎞⎜ ⎟ +

⎝ ⎠

5°) S_n = + + +t₀ t₁ ... t_n par théorème

1

1 1

9 1

3 3 1

1 2 3

1 3

n

Sn

+

⎛ ⎞ +

− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞

= × − = ⎜⎜⎝ −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎟⎠ et

( ) ( ) ( ) ( )

¹

0 1 0 1

9 1

... 2 2 ... 2 2 1 1 2( 1)

2 3

n

n u u un t t tn Sn n n

⎛ ⎛ ⎞ + ⎞

∑ = + + + = + + + + + = + × + = ⎜⎜⎝ −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎟⎠+ +

6°) On sait que 1

lim 0

3

n

n→+∞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ^puisque 1 1

3 < , donc par somme et produit 9 lim ⁿ 2

n S

→+∞ = . Comme ^{lim 2}

(

¹

)

n n

→+∞ + = +∞alors par somme avec 9 lim ⁿ 2

n S

→+∞ = , on obtient lim _n

n→+∞∑ = +∞

Exercice 6

(/ 3 points) Prouvons par récurrence que pour tout entier n, n≥1,

2 2

( 1)

n 4

S n n+

= Nommons P(n) l’égalité

2 2

( 1)

n 4

S n n+

=

Initialisation : Vérifions que P(1) est vraie On a d’une part S₁= =1³ 1et d’autre part

2 2

1 (1 1) 4

4 4 1

+ = =

P(1) est bien vraie

Caractère héréditaire de la propriété

Supposons que pour un entier naturel n, n≥1 P(n) est vraie et démontrons qu’alors P(n+1) est vraie

Admis A prouver

(HR)

2 2

( 1)

n 4

S n n+

= ₁ ( 1) (² 2)²

n 4

n n

S ₊ + +

= Or, S_n₊1=S_n+

(

n+1

)

³soit en utilisant (HR)

( )

2 2 2 2 2

3 2 2 2

1

( 1) 4 4 ( 2)

1 ( 1) 1 ( 1) ( 1)

4 4 4 4

n

n n n n n n

S ₊ = + + n+ = n+ ⎛⎜ + + =n ⎞⎟ n+ ⎛⎜ + + ⎞⎟= n+ +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

On a bien

2 2

1

( 1) ( 2)

n 4

n n

S ₊ + +

= . P(n+1) est donc vraie

Conclusion : d’après le principe de récurrence, on peut affirmer que pour tout entier naturel n, n≥1,

2 2

( 1)

n 4

S n n+

=