BACCALAUREAT GENERAL
Session de Juin 2008 MATHEMATIQUES
- Série S -
Enseignement Obligatoire Polynésie
EXERCICE 1
1. Le discriminant de l’équationz2−6z+13=0est
∆= (−6)2−4×13=36−52= −16= (4i)2.
∆ < 0et donc l’équationz2−6z+13=0admet deux solutions non réelles conjuguées à savoir 6−4i
2 ou encore3−2iet 3−2i=3+2i.
Les solutions de l’équationz2−6z+13=0sont les nombres a=3−2ietb=3+2i.
2.
1 2 3
−1 1 2 3 4
−1
−2 b
b b
b
b b
O
A B C
Ω
3. z−OA−→ =a=3−2iet z−CB→ =b−c= (3+2i) −4i=3−2i. Doncz−OA−→ =z−CB→ ou encore−−OA→=−CB. On en déduit que→ le quadrilatèreOABCest un parallélogramme.
4. Ωest le milieu de la diagonale[OB]et donczΩ= 0+b 2 = 3
2+i.
zΩ= 3 2+i.
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5. Notons(E)l’ensemble considéré. D’après le théorème du barycentre partiel, bar(O(1), A(1), B(1), C(1)) =bar(O(1), B(1), A(1), C(
bar(Ω(2), Ω(2)) =Ω.Ωest donc l’isobarycentre du parallélogrammeOABCet on sait que pour tout pointMdu plan on a
−−→ MO+−−→
MA+−−→ MB+−−→
MC=4−−MΩ.→
SoitMun point du plan.
M∈(E)⇔k−−→ MO+−−→
MA+−−→
MB+−−MCk→ =12⇔k4−−MΩk→ =12⇔4k−−MΩk→ =12⇔MΩ=3.
L’ensemble des pointsMdu plan tel quek−−→ MO+−−→
MA+−−→ MB+−−→
MCk=12est le cercle de centreΩet de rayon3.
6. a)L’abscisse deMest3 et son ordonnée estβ. DonczM=3+βi. Ensuite
zN =eiπ/2(zM−zΩ) +zΩ=i(3+βi− (3
2 +i)) +3
2 +i=i(3
2 + (−1+β)i) +3
2 +i= 3
2i− (−1+β) +3 2 +i
= 5
2 −β+ 5 2i.
Le pointNa pour affixe 5
2 −β+5 2i.
b)On a vu que le vecteur−→
CB a pour affixe3−2i. D’autre part, z−CN−→ =zN−c= 5
2 −β+5
2i−4i= 5
2 −β− 3 2i.
Par suite,
N∈(BC)⇔−→ CNet−→
CBcolinéaires⇔det(−→ CN,−→
CB) =0
⇔
5
2 −β 3
−3 2 −2
=0⇔−2(5
2−β) + 9
2 =0⇔−5+2β+ 9
2 =0⇔β= 1 4.
Nappartient à la droite(BC)si et seulement siβ= 1 4.
Dans ce cas, le pointMa pour coordonnées(3,1
4)et le pointNa pour coordonnées(9 4,5
2).
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