BACCALAUREAT GENERAL
Session de Juin 2008 MATHEMATIQUES
- Série S -
Enseignement Obligatoire Rochambeau
EXERCICE 1
1.
1 2 3
1 2
b
b b
b
b
b b
b
(Γ)
(Γ′) A
B C
D
M
M′ N
2. a)Une équation du cercle(Γ)est(x−2)2+ (y−1)2=2. SoitM(x, y)un point du plan.
M∈(O,−→u)∩(Γ)⇔
y=0
(x−2)2+ (0−1)2=2 ⇔
y=0
(x−2)2=1 ⇔
y=0
x−2=1 ou
y=0 x−2= −1
⇔
y=0 x=3 ou
y=0 x=1
Les points d’intersection de (Γ)et de l’axe(O,−→u)sont les pointsBet Cd’affixeszB=1et zC=3.
b)Dest le symétrique de Bpar rapport àAet donc zB+zD
2 =zA ou encorezD=2zA−zB=2(2+i) −1=3+2i.
zD=3+2i.
http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.
3. a)
zD−zM
zB−zM
=
(3+2i) − (3 5 +6
5i) 1− (3
5+ 6 5i)
= 12
5 + 4 5i 2 5 −6
5i
= 6+2i
1−3i = 2i(1−3i) 1−3i =2i.
zD−zM
zB−zM
=2i.
b)Puisque zD−zM
zB−zM 6=0, on sait que arg
zD−zM
zB−zM
=−−→ MB,−−→
MD
. On en déduit que −−→
MB,−−→ MD
=arg(2i) = π 2 [2π].
Ainsi, le triangleBMDest rectangle enM.Mest appartient donc au cercle de diamètre [BD]c’est-à-dire au cercle(Γ).
Le pointMappartient au cercle(Γ).
4. a)Le pointNest sur le cercle(Γ′)et donc la droite(AN)est perpendiculaire à la droite(MB)de même que la droite (DM). On en déduit que
les droites(DM)et (AN)sont parallèles.
b)Dans le triangleMBD, le pointAest le milieu du côté[BD]et puisque la droite(AN)est parallèle au côté[DM], on en déduit queNest le milieu du segment [BM]. Mais alors,
zN = zM+zB
2 = 1 2
3
5+ 6 5i+1
= 4 5 +3
5i.
zN = 4 5 +3
5i.
5. a)L’expression complexe de la rotation de centreBet d’angle−π
2 estz′ =e−iπ/2(z−zB) +zB ou encore z′= −i(z−1) +1ou enfinz′= −iz+1+i. Par suite,
zM′ = −i 3
5 +6 5i
+1+i= −3 5i+ 6
5+1+i= 11 5 + 2
5i.
zM′ = 11 5 + 2
5i.
b)On aA(2, 1),B(1, 0)et M′
11
5 ,2 5
et donc −−−→ M′A
−1 5,3
5
et−−→ M′B
−6 5,−2
5
puis
−−−→ M′A.−−→
M′B=
−1 5
×
−6 5
+3
5 ×
−2 5
= 6 25 − 6
25 =0.
Ainsi, le triangleAM′Best rectangle en M′ et donc le point M′ appartient au cercle de diamètre [AB] c’est-à-dire au cercle(Γ′).
Le pointM′ appartient au cercle(Γ′).
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