1 SUJET A RENDRE AVEC LA COPIE
Nom : ………..
Prénom : ………..
BACCALAUREAT GENERAL
Session mai 2014
MATHEMATIQUES
Série S
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
Durée d’épreuve : 4 heures Coefficient : 7
Les calculatrices de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.
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Exercice 1
Exercice 2 3
Partie A
On considère la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0; +∞[ par : = 5 ln + 3 −
1. a. On appelle ′ la fonction dérivée de la fonction sur [0; +∞[. Calculer ′ et étudier son signe sur [0; +∞[. b. Donner, dans un tableau, les variations de sur l’intervalle [0; +∞[
c. Montrer que, pour tout strictement positif, on a
= 5ln
− 1 + 5 ln 1 +3 d. En déduire la limite de en +∞
e. Compléter le tableau de variations de sur l’intervalle [0 ; +∞[
2. a. Montrer que l’équation = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0; +∞[. On notera cette solution.
b. Après avoir vérifié que appartient à l’intervalle [14; 15], donner une valeur approchée à 10 près.
c. En déduire le signe de sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Partie B
Soit la suite définie par :
= 5 ln = 4 + 3 pour tout entier naturel ) ≠ 0
On considère la fonction + définie sur l’intervalle [0; +∞[ par : + = 5 ln + 3
1. a. Construire sur l’axe des abscisses les termes , , de la suite en utilisant la droite - d’équation . = et la courbe /, courbe représentative de la fonction +. Vous laisserez apparaitre les traits de construction.
b. Formulez une conjecture sur le sens de variations de la suite
2. a. Etudier le sens de variations de la fonction + sur l’intervalle [0; +∞[
b. Vérifier que + = où est définie dans la partie A, question 2.a.
c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel ), on a 0 ≤ ≤ . d. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1.b. de la partie B.
e. En utilisant la question 2.a. de la partie A, justifier que lim→ 3 =
3. On considère l’algorithme suivant :
a. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Justifier que cet algorithme se termine.
b. Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à 5 décimales).
prend la valeur 4
Répéter Tant que − 14,2 0 prend la valeur de 5 ln + 3 Fin du Tant que
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Exercice 3
L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct 0; 56; 76; 896 On considère les points : −2 ; 0 ; 1), ; (1 ; 2 ; −1) <= > (−2 ; 2 ; 2)
1. a. Calculer le produit scalaire (:;999996; :>999996) puis les longeurs :; et :>.
b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angle ;:>.? c. En déduire que les points :, ; et > ne sont pas alignés.
2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (:;>) est : 2 − . + 2@ + 2 = 0
3. Soient Aet A les plans d’équations respectives + . − 3@ + 3 = 0 et − 2. + 6@ = 0
Montrer que les plans Aet A sont sécants selon une droite - dont un système d’équations parmaétriques est :
C = −2
. = −1 + 3= , = ∈ ℝ @ = =
4. Démontrer que la droite - et le plan (:;>) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
5. Soit F la sphère de centre Ω (1 ; −3 ; 1) et de rayon H = 3 a. Donner une équation cartésienne de la sphère F
Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
b. Etudier l’intersection de la sphère Fet de la droite - c. Démontrer que le plan (:;>) est tangent à la sphère F.
Exercice 4
Les deux parties peuvent êtres traitées de façon indépendantesPartie 1 (indépendante de la partie 2)
Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs millers de morceaux musicaux.
L’ensemble des morceaux musicaux qu’il possède se divise en trois genres distincts selon la répaertition suivante : 30% de musique classique, 45% de variété, le reste étant du jazz.
Thomas a utilisé deux qualités d’encodage pour stocker ses morceaux de musique : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que :
• Les I
J des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité
• Les IK des morceaux de musique de variété sont encodés en qualité standard On considerera les événements suivants :
> : « Le morceau écouté est un morceau de musique classique » L : « Le morceau écouté est un morceau de musique de variété » M : « Le morceau écouté est un morceau de jazz »
N : « Le morceau écouté est encodé en haute qualité » O : « Le morceau écouté est encodé en qualité standard »
Thomas décide d’écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction
« lecture aléatoire »
On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.
1. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un morceau de musique classique encodé en haute qualité ? 2. On sait que P(N) = Q
a. Les événements > et N sont-ils indépendants ? b. Calculer P (M ∩ N) <= PS (N)
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Soit une fonction définie sur ℝ. On note / sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère (T; 56; 76). Partie A
Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe / et trois autres courbes / , / , /Q, avec la tangente en leur point d’abscisse 0.
1. Donner par lecture graphique, le signe de ( ) selon les valeurs de . 2. On désigne par U une primitive de la fonction sur ℝ.
a. A l’aide de la courbe /, déterminer UV(0) et UV(−2).
b. L’une des courbes / , / , /Qest la courbe représentative de la fonction U.
Déterminer laquelle en justifiant l’élimination des deux autres.
Partie B
Dans cette aprtie, on admet que la fonction évoquée dans la partie A est la fonction définie sur ℝ par :
= + 2 < W
1. L’observation de la courbe / permet de conjecturer que la fonction admet un minimum.
a. Démontrer que pour tout réel , V = + 4 <XYW b. En déduire une validation de la conjecture précédente.
2. On pose Z = [ \
a. Interprétez géométriquement le réel Z.
b. Soient et ] les fonctions définies sur ℝ par = et ] = <XYW Vérifier que = 2 V] + ]V .
