Au début de l’an 2015, on comptait 400 poissons. Une étude a permis de modéliser ce nombre de poissons par la suite (u n ) définie par :

CONTRÔLE N°3 TS.

Vendredi 24 novembre 2017.

2 heures I. Dans cet exercice, on étudie une population de poissons.

Au début de l’an 2015, on comptait 400 poissons. Une étude a permis de modéliser ce nombre de poissons par la suite (u n ) définie par :

 

 u 0 0,4

u _{n 1} 0,9u _n ( ^{1 u} n )

, où pour tout entier naturel n, u n modélise le nombre de poissons, en milliers, au début de l’année 2015 n .

1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de poissons au début de l’année 2016 puis de l’année 2017.

On admet que, pour tout entier naturel n, u n et 1− u n appartiennent à l’intervalle [0 1].

2.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0 u n 1 0,9u n .

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 u n 0,6 0,9 ⁿ .

c. Déterminer la limite de la suite (u n ). Que peut-on en conclure sur l’avenir de cette population de poissons ?

3. Des études permettent d’affirmer que, si le nombre de poissons à une date donnée est inférieur au seuil critique de 50 individus, alors l’espèce est menacée d’extinction.

On souhaite qu’à la fin de l exécution de l algorithme suivant, la variable A soit égale à la dernière année avant laquelle il reste au moins 50 poissons.

Recopier et compléter l’algorithme afin qu’il satisfasse cette exigence.

u 0,4 n 0

Tant que ………

Fin tant que A ……….

II. f est la fonction définie sur \{1} par f( x) x ⁴ x ³ x 2

x 1 et g est la fonction définie sur par g( x) 3 x ⁴ 2 x ³ 3x ² 1.

Partie A. Etude de la fonction g.

1. Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous :

x 1/2 0 1 + g (x )

+ 1 + 11

16 1 2. Montrer que l équation g (x ) 0 admet deux solutions dans .

On note et ces solutions, avec .

3. Donner une valeur approchée à 10 ² près de chacune de ces solutions.

4. Donner le tableau de signes de g( x) sur . Partie B. Etude de la fonction f.

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition (4 limites). Soigner la rédaction !

2. Construire le tableau de variation de f.

3. Montrer que f( ) 5 ³ 3 ² 3 7

3( 1)

III. Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. f est la fonction définie sur par f( x) x ² 2 . a. Déterminer lim

x

f( x).

b. On admet que f est dérivable sur . Déterminer f (x ).

2. g est la fonction définie sur \{2} par g (x )

 

  x 3 2 x 4

8

. Déterminer g ( x).

IV. Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

f est la fonction définie sur par f( x) 2

3 x ³ 3x ² m où m est un réel.

C _f est la courbe de f dans un repère.

1. A l aide de votre calculatrice, conjecturer le nombre de points d intersection de C f et de l axe des abscisses selon les valeurs de m.

2. Démontrer votre conjecture.

CORRECTION DU CONTRÔLE N°3 TS.

I.

1. u ₁ 0,9u ₀ ( ^{1 u} 0 ) 0,9 0,4 (1 0,4) 0,216. Au début de l année 2016, il y avait 216 poissons.

u 2 0,152. Au début de l année 2017, il y avait 152 poissons.

2.

a. Soit n un entier naturel.

0 1 u n 1 d après l énoncé

donc 0 u n ( ^{1 u n} ) ^{u n car u n} 0 d après l énoncé donc 0 0,9u n ( ^{1 u n} ) ^{0,9u n car 0,9 0}

c'est-à-dire 0 u n 1 0,9u n .

b. Initialisation : pour n 0 0 : u 0 0,4 et 0,6 0,9 ⁰ 0,6 donc 0 u 0 0,6 0,9 ⁰ . Hérédité : soit p un entier 0 tel que 0 u _p 0,6 0,9 ^p .

Montrons que 0 u p 1 0,6 0,9 ^{p 1} .

D après la questi on a, 0 u _{p 1} 0,9 u _p . Or u _p 0,6 0,9 ^p , donc 0 u _{p 1} 0,9 0,6 0,9 ^p

c'est-à-dire 0 u _{p 1} 0,6 0,9 ^{p 1}

Conclusion : pour tout entier naturel n, 0 u _n 0,6 0,9 ⁿ . c. Pour tout n de , on pose v _n 0,6 0,9 ⁿ et w _n 0.

1 0,9 1 donc lim

n

0,9 ⁿ 0 et donc lim

n

v n 0 ; d autre part, lim

n

w n 0 et, pour tout n de , w n u n v n . Alors, d après le th des gendarmes, lim

n

u n 0.

Cela signifie que la population est en voie d extinction.

3.

u 0,4 n 0

Tant que u 0,05 u 0,9u(1 u) n n 1

Fin tant que A 2015 n 1 II.

Partie A. Etude de la fonction g.

1. Justifions les limites de la fonction g : lim

x

g( x) lim

x

3 x ⁴ car 4 est pair. De même, lim

x

g (x ) . Calculons les images apparaissant dans le tableau :

g  

  1

2 3

 

  1 2

4

2  

  1 2

3

3  

  1 2

2

1 11

16 . De même, g (0) 1 et g (1) 1.

Cherchons les variations de la fonction g :

g est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur Pour tout réel x, on a g (x ) 12 x ³ 6x² 6 x 6x (2x ² x 1)

Etudions le signe de 2 x² 6x 1 : 9 donc le trinôme a deux racines qui sont 1 2 et 1.

On peut alors construire le tableau suivant :

x 1/2 0 1 + 6x

2x² -x -1 g (x)

g( x)

+ 1 + 11

16 1 2. Sur ] 0], le minimum de g est 11

16 donc l équation g (x ) 0 n admet pas de solution sur cet intervalle.

Sur ]0 1], la fonction g est continue et strictement décroissante, g (0) 1, g (1) 1 et 0  ] 1 1]. Ainsi, l équation g (x ) 0 admet une unique solution dans ]0 1].

Sur ]1 [, la fonction g est continue et strictement croissante, g (1) 1, lim

x

g( x) et 0  ] 1 [. Ainsi, l équation g( x) 0 admet une unique solution dans ]0 1].

Alors l équation g( x) 0 admet deux solutions et dans . 3. Avec le tableau de valeurs de la calculatrice, on obtient :

f (0,560) 3 10 ³ 0 et f(0,561) 1 10 ⁴ 0. Une valeur approchée de à 10 ² près est donc 0,56.

De même, f (1,287) 0 et f (1,288) 0 donc une valeur approchée de à 10 ² près est 1,29 4. On peut construire le tableau de signes suivant :

x + g (x )

Partie B. Etude de la fonction f.

1. li m

x

f( x) lim

x

x ⁴

x lim

x

x ³ car 3 est impair.

De même, lim

x

f( x) lim

x

x ³ . lim

x 1

x ⁴ x ³ x 2 1 et lim

x 1

x 1 0

Cherchons le signe de x 1 : on a le tableau de signes : x 1 +

x 1 lim

x 1

x ⁴ x ³ x 2 1 et lim

x 1

x 1 0 donc lim

x 1

f( x) lim

x 1

x ⁴ x ³ x 2 1 et lim

x 1

x 1 0 donc li m

x 1

f( x)

2. f est dérivable sur \{1} car c est une fonction rationnelle définie sur cet ensemble.

Pour tout réel x différent de 1, on a

f ( x) ( 4x ³ 3x ² 1 (x ) 1) ( x ⁴ x ³ x 1 1 )

( x 1) ²

3x ⁴ 2 x ³ 3 x² 1 ( x 1) ²

g (x ) (x 1) ² . On peut alors construire le tableau de variation suivant :

x 1 +

g( x) ( x 1) ²

f (x )

f( x)

3. On sait que g ( ) 0, c'est-à-dire 3 ⁴ 2 ³ 3 ² 1 0 et donc ⁴ 2 ³ 3 ² 1 3 On a alors f( )

2 ³ 3 ² 1 3

3 1

1

5 ³ 3 ² 3 4

3( 1) .

III.

1. f est la fonction définie sur par f( x) x ² 2 . a. On pose X x² 2.

lim

x

X lim

x

x² 2 et lim

X

X . Ainsi, lim

x

f( x) . b. On utilise la formule ( ^u ) ^u

2 u

Pour tout x de , on pose u( x) x² 2. La fonction u est dérivable et strictement positive sur donc f est dérivable sur .

Pour tout réel x, on a u ( x) 2x et donc f (x ) 2x 2 x² 2

1 x ² 2

.

2. On utilise la formule ( ) ^{u n nu u n 1 .}

Pour tout x de \{2}, on pose u( x) x 3 2 x 4 .

La fonction u est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition qui est

\{2}. Alors, la fonction g est dérivable sur \{2}.

Pour tout x de \{2}, on a u ( x) 1(2x 4) (x 3)2 (2x 4) ^{2 )}

10 (2x 4) ² Alors, pour tout x de \{2}, on a g (x) 8

 

  10 (2x 4) ²  

  x 3 2 x 4

7

= 80( x 3) ⁷ (2x 4) ⁹ .

IV. f est la fonction définie sur par f (x ) 2

3 x ³ 3 x² m où m est un réel.

C f est la courbe de f dans un repère.

1. On peut conjecturer que :

si m 9, il y a un point d intersection entre C f et l axe des abscisses.

si m 9, il y a 2 points d intersection entre C f et l axe des abscisses.

si 9 m 0, il y a 3 points d intersection entre C f et l axe des abscisses.

si m 0, il y a 2 points d intersection entre C f et l axe des abscisses.

si m 0, il y a 3 points d intersection entre C f et l axe des abscisses.

2. Chercher le nombre de points d intersection de C f et de l axe des abscisses revient à déterminer le nombre de solutions de l équation f (x ) 0.

Cherchons les limites de la fonction f.

lim

x

f( x) lim

x

2

3 x ³ et lim

x

f(x ) lim

x

2 3 x ³ Construisons le tableau de variation de la fonction f : f est une fonction polynôme donc dérivable sur . f ( x) 2x ² 6x 2x (x 3)

On peut donc construire le tableau suivant :

x 3 0 + 2 x

x 3 f (x)

f( x) 9 m + m

Si m 9, 9 m 0 et m 0.

Sur ] 0], le maximum de f est 9 m 0 donc l équation f (x ) 0 n a pas de solution.

Sur ]0 [, f est continue et strictement croissante ; f (0) m, lim

x

f(x) et 0]m ;+ [ donc l équation f (x ) 0 admet une unique solution sur cet intervalle.

Ainsi, l équation f (x ) 0 admet une unique solution sur , c'est-à-dire : C f et l axe des abscisses ont un unique point d intersection.

Si m 9 :

Sur ] 0[, le maximum de f est 0, atteint uniquement pour x 3 donc l équation f(x ) 0 admet une unique solution dans cet intervalle.

Sur ]0 [, f est continue et strictement croissante ; f (0) m, lim

x

f(x) et 0]m ;+ [ donc l équation f (x ) 0 admet une unique solution sur cet intervalle.

Ainsi, l équation f (x ) 0 admet deux solutions sur , c'est-à-dire : C f et l axe des abscisses ont deux points d intersection.

On montre de même que :

si 9 m 0, C _f et l axe des abscisses ont 3 points d intersection.

si m 0, C f et l axe des abscisses ont 2 points d intersection.

si m 0, C f et l axe des abscisses ont 3 points d intersection.