[ Baccalauréat S 2009 \ L’intégrale d’avril à novembre 2009

(1)

L’intégrale d’avril à novembre 2009

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bleus

Pondichéry 16 avril 2009 . . . . 3

Amérique du Nord 4 juin 2009 . . . . 6

Liban 11 juin 2009 . . . . 11

Antilles-Guyane 18 juin 2009 . . . . 16

Asie 18 juin 2009 . . . . 20

Centres étrangers 15 juin 2009 . . . . 24

La Réunion 22 juin 2009 . . . . 28

Métropole 23 juin 2009 . . . . 33

Métropole dévoilé 23 juin 2009 . . . . 38

Polynésie 17 juin 2009 . . . . 43

Antilles-Guyane septembre 2009 . . . . 48

Métropole et La Réunion 10 septembre 2009 . . . . 53

Polynésie septembre 2009 . . . . 57

Amérique du Sud novembre 2009 . . . . 61

Nouvelle-Calédonie novembre 2009 . . . . 64

(2)

Baccalauréat S : l’intégrale 2009 A. P. M. E. P.

2

(3)

A.P.M

[ Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2009 \

EXERCICE1 7 points

Commun à tous les candidats

Soitf la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[

par :

f(x)=xe⁻^x².

On désigne parC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormal³

O ;−→ı ,−→

´

du plan. Cette courbe est représentée ci-contre. 0 1 2

0 1

−

→ı

−

→

O

Partie A

1. a. Déterminer la limite de la fonctionf en+∞.

(On pourra écrire, pourxdifférent de 0 : f(x)=1 x× x²

e^x²

¶ . b. Démontrer quef admet un maximum en

p2

2 et calculer ce maximum.

2. Soitaun nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d’aire et en fonction dea, l’aire F(a) de la partie du plan limitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équa- tions respectivesx=0 etx=a.

Quelle est la limite deF(a) quandatend vers+∞? Partie B

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturelnpar : un=

Zn+1

n f(x) dx.

On ne cherchera pas à expliciterun.

1. a. Démontrer que, pour tout entier naturelndifférent de 0 et de 1 f(n+1)6un6f(n).

b. Quel est le sens de variation de la suite (un)n>2? c. Montrer que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ?

2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positifn,F(n)=

n−1

X

k=0

uk.

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On donne ci-dessous les valeurs deF(n) obtenues à l’aide d’un tableur, pournentier compris entre 3 et 7.

n 3 4 5 6 7

F(n) 0,499 938 295 1 0,499 999 943 7 0,5 0,5 0,5

Interpréter ces résultats.

(4)

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct³

O ;−→u,−→v´

. On prendra pour unité graphique 2 cm.

Soit A, B et C les points d’affixes respectives :

a=3−i, b=1−3i et c= −1−i.

1. a. Placer ces points sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

b. Quelle est la nature du triangle ABC ?

c. Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercleΓde centre O, dont on calculera le rayon.

2. SoitMun point quelconque du plan d’affixe notéemetNle point d’affixe notéen, image de A dans la rotationrde centreMet d’angle de mesureπ

2. a. Donner l’écriture complexe de la rotationr.

b. En déduire une expression denen fonction dem.

3. On appelleQle milieu du segment [AN] etqson affixe.

Montrer que :q=(1−i)m 2 +2+i.

4. Dans cette question,Mest un point du cercleΓ.

a. Justifier l’existence d’un réelθtel que :m=p 10e^iθ.

b. Calculer|q−2−i|. Quel est le lieuΓ^′deQlorsqueMdécrit le cercleΓ?

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct³

O ;−→u,−→v´

. On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit A et B les points d’affixes respectiveszA=i et

zB=1+2i.

1. Justifier qu’il existe une unique similitude directeStelle que : S(O)=A et S(A)=B.

2. Montrer que l’écriture complexe deSest :

z^′=(1−i)z+i.

Préciser les éléments caractéristiques deS(on noteraΩle centre deS).

On considère la suite de points (An) telle que :

• A0est l’origine du repère et,

• pour tout entier natureln,An+1=S(An).

On notezn, l’affixe deAn. (On a doncA0=O,A1=A etA2=B).

3. a. Démontrer que, pour tout entier natureln,zn=1−(1−i)ⁿ.

b. Déterminer, en fonction den, les affixes des vecteurs−−−→ΩA_n et−−−−−−→A_nA_n₊₁.

Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l’angle³−−−→ΩAn,−−−−−−→AnAn+1

´. c. En déduire une construction du pointAn+1connaissant le pointAn.

Construire les pointsA3etA4.

4. Quels sont les points de la suite (A_n) appartenant à la droite (ΩB) ?

Pondichéry 4 16 avril 2009

(5)

EXERCICE3 4 points Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé de l’espace³

O ;−→ı,−→

,−→k´

on considère les points :

A de coordonnées (1; 1; 0), B de coordonnées (2; 0; 3), C de coordonnées (0 ;−2 ; 5) et D de coordonnées (1 ;−5 ; 5).

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse :

Proposition 1 :L’ensemble des pointsM de coordonnées (x,y,z) tels quey =2x+4 est une droite.

Proposition 2 :La transformation qui, à tout point Mde l’espace associe le point M^′ tel que

−−−−→

M M^′=−−→MA+−−→MB+2−−→MC est l’homothétie de centreG, oùGdésigne le barycentre du système {(A, 1), (B, 1), (C, 2)}, et de rapport 3.

Proposition 3 :A, B, C et D sont quatre points coplanaires.

Proposition 4 :La sphère de centreΩde coordonnées (3; 3; 0) et de rayon 5 est tangente au plan d’équation : 2x+2y+z+3=0.

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en ap- parence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir 6 lors d’un lancer est égale à1

3.

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne parX la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.

a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoireX? b. Quelle est son espérance ?

c. CalculerP(X=2).

2. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.

On considère les évènements D et A suivants :

• D« le dé choisi est le dé bien équilibré » ;

• A: « obtenir exactement deux 6 ».

a. Calculer la probabilité des évènements suivants :

• « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;

• « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».

(On pourra construire un arbre de probabilité).

b. En déduire que :p(A)= 7 48.

c. Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?

3. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dén fois de suite (ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).

On noteBnl’évènement « obtenir au moins un 6 parmi cesnlancers successifs ».

a. Déterminer, en fonction den, la probabilitépnde l’évènementBn. b. Calculer la limite de la suite¡

pn¢

. Commenter ce résultat.

Pondichéry 5 16 avril 2009

(6)

A.P.M.E.P.

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Amérique du Nord 4 juin 2009 \

Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population.

Partie A : Étude de la progression de l’épidémie pendant 30 jours Au début de l’épidémie on constate que 0,01 % de la population est contaminé.

Pourtappartenant à [0; 30], on notey(t) le pourcentage de personnes touchées par la maladie aprèstjours.

On a doncy(0)=0,01.

On admet que la fonctionyainsi définie sur [0; 30] est dérivable, strictement positive et vérifie : y^′=0,05y(10−y).

1. On considère la fonctionzdéfinie sur l’intervalle [0; 30] parz=1 y. Démontrer que la fonctionysatisfait aux conditions

½ y(0) = 0,01

y^′ = 0,05y(10−y)

si et seulement si la fonctionzsatisfait aux conditions

½ z(0) = 100

z^′ = −0,5z+0,05

2. a. En déduire une expression de la fonctionzpuis celle de la fonctiony.

b. Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l’entier le plus proche.

Partie B : Étude sur l’efficacité d’un vaccin

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92 % des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10 % des individus sont malades.

On choisit au hasard un individu dans cette population.

1. Montrer que la probabilité de l’évènement « l’individu n’est pas vacciné et tombe malade » est égale à 0,08.

2. Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n’est pas vacciné ?

Partie A : Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants :

Soientuetvdeux fonctions continues sur un intervalle [a;b] aveca<b.

• Siu>0 sur [a;b] alors Zb

a u(x) dx>0.

(7)

• Pour tous réelsαetβ, Zb

a [αu(x)+βv(x)] dx=α Zb

a u(x) dx+β Zb

a v(x) dx.

Démontrer que sif etgsont deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] aveca<bet si, pour toutxde [a;b],f(x)6g(x) alors

Z_b

a f(x) dx6 Z_b

a g(x) dx.

Partie B

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle [0 ; 1] parf(x)=e⁻^x²et on définit la suite (un) par :









 u0=

Z₁

0 f(x) dx= Z₁

0 e⁻^x²dx

pour tout entier naturelnnon nul,un= Z₁

0 xⁿf(x) dx= Z₁

0 xⁿe⁻^x²dx 1. a. Démontrer que, pour tout réelxde l’intervalle [0 ; 1],1

e6f(x)61.

b. En déduire que1

e6u061.

2. Calculeru1.

3. a. Démontrer que pour tout entier natureln, 06un. b. Étudier les variations de la suite (un).

c. En déduire que la suite (un) est convergente.

4. a. Démontrer que, pour tout entier natureln,u_n6 ¹ n+1. b. En déduire la limite de la suite (un).

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

A B

D C

E F

I

J H G

K +

+ +

On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].

L’espace est rapporté au repère orthonormal³

A ;−−→AB,−−→AD,−→AE´ .

Amérique du Nord 7 4 juin 2009

(8)

1. Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère.

2. Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.

3. a. Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG).

c. Vérifier que le point D appartient au plan (AKG).

4. Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G.

Soit L le centre du carré DCGH.

a. Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL].

b. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que K est le barycentre des points A. D et G affectés de coefficients que l’on précisera.

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct³

O ;−→u,−→v´ . Soit A le point d’affixea=1+ip

3 et B le point d’affixeb=1−p 3+¡

1+p 3¢

i.

Partie A : étude d’un cas particulier

On considère la rotationrde centre O et d’angle2π 3 .

On note C le point d’affixecimage du point A par la rotationret D le point d’affixedimage du point B par la rotationr.

La figure est donnée en annexe (figure 1).

1. a. Exprimer −a

b−asous forme algébrique.

b. En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A.

2. Démontrer quec= −2. On admet qued= −2−2i.

a. Montrer que la droite (AC) a pour équationy= p3

3 (x+2).

b. Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).

Partie B : étude du cas général

Soitθun réel appartenant à l’intervalle ]0 ; 2π[. On considère la rotation de centre O et d’angleθ.

On note A^′le point d’affixea^′, image du point A par la rotationr, et B^′le point d’affixeb^′, image du point B par la rotationr.

La figure est donnée en annexe (figure 2).

L’objectif est de démontrer que la droite (AA^′) coupe le segment [BB^′] en son milieu.

1. Exprimera^′en fonction deaetθetb^′en fonction debetθ.

2. Soit P le point d’affixepmilieu de [AA^′] et Q le point d’affixeqmilieu de [BB^′].

a. Exprimerpen fonction deaetθpuisqen fonction debetθ.

b. Démontrer que −p q−p = −a

b−a.

c. En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ).

d. Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA^′).

(9)

EXERCICE4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

SoitAl’ensemble des entiers naturels de l’intervalle [1 ; 46].

1. On considère l’équation

(E) : 23x+47y=1 oùxetysont des entiers relatifs.

a. Donner une solution particulière¡ x0,y0¢

de (E).

b. Déterminer l’ensemble des couples (x,y) solutions de (E).

c. En déduire qu’il existe un unique entierxappartenant àAtel que 23x≡1 (47).

2. Soientaetbdeux entiers relatifs.

a. Montrer que siab≡0 (47) alorsa≡0 (47) oub≡0 (47).

b. En déduire que sia²≡1 (47) alorsa≡1 (47) ou aa≡ −1 (47).

3. a. Montrer que pour tout entierpdeA, il existe un entier relatifqtel quep×q≡1 (47).

Pour la suite, on admet que pour tout entierpdeA, il existe un unique entier, notéinv(p), appartenant àAtel quep×i nv(p)≡1 (47).

Par exemple :

inv(1)=1 car 1×1≡1 (47), inv(2)=24 car 2×24≡1 (47), inv(3)=16 car 3×16≡1 (47).

b. Quels sont les entierspdeAqui vérifientp=inv(p) ? c. Montrer que 46!≡ −1 (47).

(10)

ANNEXE

Cette page ne sera pas à rendre avec la copie Exercice 4

−

→u

−

→v

O

A B

C

D

Partie A : figure 1

−

→u

−

→v

O

A B

A^′

B^′

Partie B : figure 2

(11)

A.P.M

[ Baccalauréat S Liban 11 juin 2009 \

Pour chacune des trois questions, une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification.

Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1. On désigne par AetB deux évènements indépendants d’un univers muni d’une loi de probabilitép.

On sait quep(A∪B)=4 5etp³

A´

=3 5. La probabilité de l’évènementBest égale à :

a. 2

5 b. 2

3 c. 3

5 d. 1

2

2. On note X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ=0,04.

On rappelle que pour tout réeltpositif, la probabilité de l’évènement (X6t), notéep(X6 t), est donnée parp(X6t)=

Zt

0 λe⁻^λxdx.

La valeur approchée dep(X>5) à 10⁻²près par excès est égale à :

a. 0,91 b. 0,18 c. 0,19 d. 0,82

3. Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre.

S’il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à 1

10; s’il ne pleut pas, je sors mon chien avec une probabilité égale à 9

10.

Je sors mon chien ; la probabilité qu’il ne pleuve pas est égale à : a. 9

10 b. 27

40 c. 3

4 d. 27

28

On considère la fonctionf définie surRpar f(x)=ln¡

1+e⁻^x¢ +1

3x.

La courbe (C) représentative de la fonctionf dans le plan muni d’un repère orthogonal est don- née en annexe.

Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Partie A

1. a. Déterminer la limite de la fonctionf en+∞. b. Montrer que la droite (D) d’équationy=1

3xest asymptote à la courbe (C). Tracer (D).

c. Étudier la position relative de (D) et de (C).

(12)

d. Montrer que pour tout réelx,f(x)=ln (e^x+1)−2 3x.

e. En déduire la limite def en−∞.

2. a. On notef^′la fonction dérivée de la fonctionf. Montrer que pour toutxréel,f^′(x)= e^x−2

3(e^x+1). b. En déduire les variations de la fonctionf. Partie B

Soitnun entier naturel non nul. On appelledn, l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan déli- mité par la courbe (C), la droite (D) d’équationy=1

3xet les droites d’équationsx=0 etx=n.

1. Justifier que pour tout entier naturelnnon nul,dn= Zn

0 ln¡ 1+e⁻^x¢

dx.

2. On admet que pour tout réelx, ln(1+e⁻^x)6e⁻^x.

Montrer que pour tout entier natureln supérieur ou égal à 1,dn 61. La suite (dn)_n>1

est-elle convergente ? Partie C

Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe (C).

On note (T) la tangente à la courbe (C) au point d’abscisse 0.

1. Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

SoientMetN deux points de la courbe (C) d’abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (M N) est parallèle à la droite (T).

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1. On désigne par I le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F.

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormal³

A ;−−→AB,−−→AD,−→AE´ .

+ +

A B

C D

E

F

G H

I J

1. a. Déterminer les coordonnées des points I et J.

Liban 12 11 juin 2009

(13)

b. Vérifier que le vecteur−→DJ est un vecteur normal au plan (BGI).

c. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).

d. Calculer la distance du point F au plan (BGI).

2. On note (∆) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).

a. Donner une représentation paramétrique de la droite (∆).

b. Montrer que la droite (∆) passe par le centre K de la face ADHE.

c. Montrer que la droite (∆) et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordon- nées

µ2 3 ; 1

6; 5 6

¶ .

d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le point L est-il l’orthocentre du triangle BGI ?

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³

O ;−→u,−→v´

(unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B et C d’ affixes respectives : zA= −3

2+i p3

2 ,zB=zAetzC= −3.

Partie A

1. Écrire les nombres complexeszAetzBsous forme exponentielle.

2. Placer les points A, B et C.

3. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

Partie B

Soitf l’application qui, à tout pointMdu plan d’affixez, associe le pointM^′d’affixe z^′=1

3iz².

On note O^′, A^′, B^′et C^′les points respectivement associés parf aux points O, A, B et C.

1. a. Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A^′, B^′et C^′. b. Placer les points A^′, B^′et C^′.

c. Démontrer l’alignement des points O, A et B^′ainsi que celui des points O, B et A^′. 2. Soit G l’isobarycentre des points O, A, B et C. On note G^′le point associé à G parf.

a. Déterminer les affixes des points G et G^′.

b. Le point G^′est-il l’isobarycentre des points O^′A^′, B^′et C^′?

3. Démontrer que siMappartient à la droite (AB) alorsM^′appartient à la parabole d’équa- tiony= −1

3x²+3

4. (On ne demande pas de tracer cette parabole)

(14)

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un entier natureln dont l’écriture décimale du cube se termine par 2 009, c’est-à-dire tel quen³≡2009 mod 10000.

Partie A

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2009²par 16.

2. En déduire que 2009⁸⁰⁰¹≡2009 mod 16.

Partie B

On considère la suite (u_n) définie surNpar :

u₀=2009²−1 et, pour tout entier natureln,u_n₊₁=(u_n+1)⁵−1.

1. a. Démontrer queu0est divisible par 5.

b. Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier natureln,

un+1=un£ un4+5¡

un3+2un2+2un+1¢¤

.

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,unest divisible par 5ⁿ⁺¹. 2. a. Vérifier queu₃=2009²⁵⁰−1 puis en déduire que 2009²⁵⁰≡1 mod 625.

b. Démontrer alors que 2009⁸⁰⁰¹≡2009 mod 625.

Partie C

1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que 2009⁸⁰⁰¹−2009 est divisible par 10 000.

2. Conclure, c’est-à-dire déterminer un entier naturel dont l’écriture décimale du cube se termine par 2 009.

(15)

ANNEXE

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve

Exercice 2

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3

x y

C

O

(16)

A.P.M.E.P.

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane 23 juin 2009 \

Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions.

On dispose de deux dés tétraédriques identiques : les quatre faces sont numérotées A, B, C et D.

1. On lance les deux dés simultanément et on note la lettre de la face sur laquelle repose chacun des dés.

Déterminer la probabilité des évènements suivants :

— E0: « ne pas obtenir la lettre A »,

— E1: « obtenir une fois la lettre A »,

— E2: « obtenir deux fois la lettre A ».

2. On organise un jeu de la façon suivante :

— Le joueur lance les deux dés simultanément.

— Si les deux dés reposent sur les faces « A », le jeu s’arrête.

— Si un seul dé repose sur la face « A », le joueur relance l’autre dé et le jeu s’arrête.

— Si aucun dé ne repose sur la face « A », le joueur relance les deux dés et le jeu s’arrête.

a. Recopier et compléter l’arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.

Nombre de

faces « A » Nombre de

faces « A »

0

0 1 2

1

0 1

2

1^erlancer 2^elancer

b. Le joueur gagne si, lorsque le jeu s’arrête, les deux dés reposent sur les faces « A ».

Montrer que, pour le joueur, la probabilité de gagner est de 49 256.

c. Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S’il gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque le jeu s’arrête, un seul dé repose sur la face « A », il est remboursé. Sinon, il perd sa mise.

Le jeu est-il favorable au joueur ?

(17)

EXERCICE2 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal³

O ;−→u,→−v´ .

On considère l’applicationf du plan dans lui-même qui, à tout pointMd’affixez, associe le pointM^′d’affixez^′telle que

z^′=(1+ip

3)z+2p 3.

On noteAle point d’affixe 2i.

Affirmation :f est la similitude directe, de centreA, d’angle^π₃et de rapport 2.

2. Affirmation :1991²⁰⁰⁹≡2 (7).

3. aetbsont deux entiers relatifs quelconques,netpsont deux entiers naturels premiers entre eux.

Affirmation :a≡b(p) si et seulement sina≡nb(p).

4. L’espace est muni d’un repère orthonormal³

O ;−→ı ,−→

,→− k´

.

E est l’ensemble des pointsMde l’espace dont les coordonnées (x;y;z) vérifient l’équa- tion :z=x²+y². On noteS la section deE par le plan d’équationy=3.

Affirmation :S est un cercle.

O ;−→ı ,−→

,→− k´

. Pest la surface d’équationx²+y²=3z².

Affirmation :O le seul point d’intersection dePavec le plan (yOz) à coordonnées entières.

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse.

O ;−→u,→−v´ .

Soit le point A d’affixe 3, le point B d’affixe−4i et l’ensembleE des points M d’affixeztels que|z−3| = |z+4i|.

Affirmation :E est la médiatrice du segment [AB].

O ;−→u,→−v´ .

On considère trois points A, B et C deux à deux distincts, d’affixes respectivesa,betc, tels que c−a

b−a=2i.

Affirmation :A appartient au cercle de diamètre [BC].

3. On considère le nombrez=2eⁱ^π⁷.

Affirmation :z²⁰⁰⁹est un nombre réel positif.

4. On considère trois points A, B et C non alignés de l’espace. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC.

On noteFl’ensemble des points M vérifiant¯

¯

−−→MA+−−→

MB+−−→

MC¯

¯

¯=6.

Affirmation :F est la sphère de centre de G et de rayon 2.

Antilles - Guyane 17 23 juin 2009

(18)

O ;−→ı ,−→

,→− k´

. S est la sphère d’équationx²+y²+z²=5.

Pest le plan d’équationx+y−5=0.

Affirmation :Le planPcoupe la sphèreS suivant un cercle.

Commun à tous les candidats PARTIE A.

La température de refroidissement d’un objet fabriqué industriellement est une fonctionf du tempst.

f est définie sur l’ensemble des nombres réels positifs et vérifie l’équation différentielle : f^′(t)+1

2f(t)=10.

La température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le tempsten heures.

1. Déterminer f(t) pourt>0, sachant que pourt=0, la température de l’objet est 220 ° C.

2. On pourra admettre désormais que la fonctionf est définie surR+par f(t)=200e⁻^t²+20.

On noteC sa représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthogonal ; les unités graphiques sont 2 cm pour un heure en abscisse et 1 cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée.

a. Étudier les variations de la fonctionf surR+. b. Étudier la limite de la fonctionf en+∞.

En déduire l’existence d’une asymptoteDà la courbeC _en_+∞_. c. ConstruireD_etC sur l’intervalle [0 ; 7].

3. a. Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l’objet est 50° C. On laissera apparents les traits de construction.

b. Retrouver ce résultat par le calcul.

PARTIE B.

On considère la suite de terme généraldn=f(n)−f(n+1) oùn∈N.dnreprésente l’abaissement de température de l’objet entre l’heurenet l’heuren+1.

1. a. Calculer des valeurs approchées au dixième ded0,d1etd2. b. Quelle est la limite dednquandntend vers+∞?

2. Déterminer la plus petite valeur de l’entiernà partir de laquelle l’abaissement de tempé- rature est inférieur à 5° C.

On considère la suite (u_n) définie, pour tout entier naturelnnon nul, par : un=

µ 1+1

n

¶n

. 1. On considère la fonctionf définie sur [0 ;+∞[ par :

f(x)=x−ln(1+x).

(19)

a. En étudiant les variations de la fonctionf, montrer que, pour tout réelxpositif ou nul, ln(1+x)6x.

b. En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul, ln(u_n)61.

c. La suite (un) peut-elle avoir pour limite+∞?

2. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturelnnon nul, par :vn=ln (un).

a. On posex=1

n. Exprimervnen fonction dex.

b. Que vaut lim

x→0

ln(1+x)

x ? Aucune justification n’est demandée.

Calculer lim

n→+∞vn.

c. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

(20)

A.P.M.E.P.

[ Baccalauréat S Asie 16 juin 2009 \

Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseursF₁,F₂,F₃. Dans l’entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique.

La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseurF₁, le tiers par le fournisseur F₂et le reste par le fournisseurF₃.

Une étude statistique a montré que :

• 5 % des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseurF₁ont un défaut ;

• 1,5 % des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseurF₂ont un défaut ;

• sur l’ensemble du stock, 3,5 % des paires de chaussettes ont un défaut.

1. On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l’entreprise.

On considère les évènementsF1,F2,F3etDsuivants :

• F1: « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseurF₁» ;

• F2: « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseurF₂» ;

• F3: « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseurF₃» ;

• D: « La paire de chaussettes prélevée présente un défaut ».

a. Traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé en utilisant les évènements précédents.

Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cette expérience.

b. Calculer la probabilité qu’une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le four- nisseurF₁et présente un défaut.

c. Calculer la probabilité de l’évènementF2∩D. d. En déduire la probabilité de l’évènementF₃∩D.

e. Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseurF₃, quelle est la probabilité qu’elle présente un défaut ?

2. L’entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires.

On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, successifs avec remise.

a. Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d’un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.

b. Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus une paire de chaussettes d’un lot présente un défaut est égale à 0,983.

Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct³

O ;→−u,→−v´ .

On place dans ce repère, les points A d’affixe 1,Bd’affixeboùbest un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive.

On construit à l’extérieur du triangle OAB, les carrés directs ODCA et OBEF comme indiqué sur la figure ci-dessous.

(21)

1. Déterminer les affixescetddes points C et D.

2. On noterla rotation de centre O et d’angle +^π₂.

a. Déterminer l’écriture complexe der.

b. En déduire que l’affixef du pointF est ib.

c. Déterminer l’affixeedu pointE. 3. On appelleGle point tel que le quadrilatère

OFGD soit un parallélogramme.

Démontrer que l’affixe g du point G est égale à i(b−1).

4. Démontrer que e−g

c−g =i et en déduire que le triangleEGC est rectangle et isocèle.

−

→u

−

→v

O A

B

C D

E

F

G

Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifsNtels que

½ N ≡ 5 (13) N ≡ 1 (17) a. Vérifier que 239 est solution de ce système.

b. SoitNun entier relatif solution de ce système.

Démontrer queNpeut s’écrire sous la formeN=1+17x=5+13yoùxetysont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17x−13y=4.

c. Résoudre l’équation 17x−13y=4 oùxetysont des entiers relatifs.

d. En déduire qu’il existe un entier relatifktel queN=18+221k.

e. Démontrer l’équivalence entreN≡18 (221) et

½ N ≡ 5 (13) N ≡ 1 (17) .

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même in- fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

a. Existe-t-il un entier naturelktel que 10^k≡1 (17) ? b. Existe-t-il un entier naturelltel que 10^l≡18 (221) ?

On considère l’équation notée (E) : lnx= −x.

Le but de l’exercice est de prouver que l’équation (E), admet une solution unique notéeαappar- tenant à l’intervalle ]0 ;+∞[ et d’utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement.

Partie A : existence et unicité de la solution On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par

f(x)=x+lnx.

Asie 21 16 juin 2009

(22)

1. Déterminer le sens de variation de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

2. Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution notéeαappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[.

3. Vérifier que : 1

26_α6_1.

Partie B : encadrement de la solutionα

On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parg(x)=4x−lnx

5 .

1. Étude de quelques propriétés de la fonctiong.

a. Étudier le sens de variation de la fonctiongsur l’intervalle ]0 ;+∞[.

b. En déduire que pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle

·1 2; 1

¸

,g(x) appartient à cet intervalle.

c. Démontrer qu’un nombre réelx appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ est solution de l’équation (E) si et seulement sig(x)=x.

2. On considère la suite (un) définie paru0=1

2 et pour tout entier natureln, par un+1=g(un).

a. En utilisant le sens de variation de la fonctiong, démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,1

26un6un+161.

b. En déduire que la suite (un) converge versα.

3. Recherche d’une valeur approchée deα

a. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée deu10, arrondie à la sixième décimale.

b. On admet queu10est une valeur approchée par défaut à 5×10⁻⁴près deα.

En déduire un encadrement deαsous la formeu6α6voùuetvsont deux décimaux écrits avec trois décimales.

L’exercice comporte quatre questions indépendantes. Pour chacune d’entre elles, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Il s’agit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix ainsi effectué.

Un choix non justifié ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incom- plète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

1. Question 1

La solutionf de l’équation différentielley^′+2y=6 qui vérifie la condition initialef(0)=1 est définie sur l’ensembleRdes nombres réels par :

Réponse (1) : f(x)= −2e⁻^2x+3

Réponse (2) : f(x)= −2e^2x+3

Réponse (3) : f(x)= −2e⁻^2x−3 2. Question 2

On considère un triangle ABC et on note I le point tel que 2−→IB+−→IC=−→0 . Les points G, I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système :

Réponse (1) : {(A, 1), (C, 2)}

Réponse (2) : {(A, 1), (B, 2), (C, 2)}

Réponse (3) : {(A, 1), (B, 2), (C, 1)}

(23)

3. Question 3

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal³

O ;−→ı ,−→

,−→k´

, on considère le planP d’équa- tion cartésienne :x−3y+2z=5 et le point A(2 ; 3 ;−1).

Le projeté orthogonal du point A sur le planP est le point : Réponse (1) :

H1(3 ;−1 ; 4)

Réponse (2) : H2(4 ;−3 ;−4)

Réponse (3) : H3(3 ; 0 ; 1) 4. Question 4

La valeur moyenne de la fonctionf définie sur l’intervalle [0; 1] par f(x)= 1

1+x² est égale à : Réponse (1) :

−π 2

Réponse (2) : π

4

Réponse (3) : π

2

(24)

A.P.M.E.P.

[ Baccalauréat S Centres étrangers 15 juin 2009 \

1. Restitution organisée de connaissances :

Prérequis :On rappelle que deux évènementsAetBsont indépendants pour la probabi- litépsi et seulement si :p(A∩B)=p(A)×p(B).

SoientAetBdeux évènements associés à une expérience aléatoire.

a. Démontrer quep(B)=p(B∩A)+p³ B∩A´

.

b. Démontrer que, si les évènements AetB sont indépendants pour la probabilitép, alors les évènementsAetBle sont également.

2. Application :Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux évènements indépendants :

• R: « il n’entend pas son réveil sonner » ;

• S: « Son scooter, mal entretenu, tombe en panne ».

Il a observé que chaque jour de classe, la probabilité deRest égale 0,1 et que celle deSest égale à 0,05. Lorsque qu’au moins l’un des deux évènements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l’heure.

a. Calculer la probabilité qu’un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne.

b. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l’heure au lycée un jour de classe donné.

c. Au cours d’une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu’il entende son réveil sonner un jour de classe donné n’influe pas sur le fait qu’il l’entende ou non les jours suivants.

Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d’une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale.

Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On se propose dans cet exercice, d’étudier des propriétés d’un solide de l’espace.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal³

O ;−→ı ,−→

,−→ k´

.

On considère les points A(3; 4; 0) ; B(0; 5; 0) et C(0; 0; 5). On note I le milieu du segment [AB].

1. Faire une figure où l’on placera les points A, B, C, I dans le repère³

O ;−→ı ,−→

,→−k´ . 2. Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles.

Quelle est la nature du triangle ABC ? 3. Soit H le point de coordonnées

µ15 19; 45

19 ; 45 19

¶ . a. Démontrer que les points H, C, I sont alignés.

b. Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).

c. En déduire une équation cartésienne du plan ABC.

4. Calculs d’aire et de volume.

a. Calculer l’aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC.

(25)

b. Déterminer la distance du point O au plan (ABC).

c. Calculer l’aire du triangle ABC.

Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. On note (E) l’équation 3x+2y=29 oùxetysont deux nombres entiers relatifs.

a. Déterminer un couple d’entiers solution de l’équation (E).

b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

c. Préciser les solutions de l’équation (E) pour lesquelles on a à la foisx>_{0 et}_y>_0;

2. Intersections d’un plan avec les plans de coordonnées L’espace est muni du repère orthonormal³

O ;−→ı,−→

,−→ k´

et on désigne parP le plan d’équa- tion 3x+2y=29.

a. Démontrer queP est parallèle à l’axe (Oz) de vecteur directeur→−k.

b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection du planP avec les axes (Ox) et (Oy) de vecteurs directeurs respectifs−→ı et→−

.

c. Faire une figure et tracer les droites d’intersection du planP avec les trois plans de coordonnées.

d. Sur la figure précédente, placer sur la droite d’intersection des plansP et (xOy), les points dont les coordonnées sont à la fois entières et positives.

3. Étude d’une surface

S est la surface d’équation 4z=x ydans le repère³

O ;→−ı,→−

,−→ k´

.

Les figures suivantes représentent les intersections deS avec certains plans de l’espace.

figure nô1 figure nô2 figure nô3 figure nô4 a. S1désigne la section de la surfaceS par le plan (xOy).

Une des figures données représenteS1laquelle ?

b. S2désigne la section deS par le planRd’équationz=1.

Une des figures données représenteS2, laquelle ? c. S3désigne la section deS par le plan d’équationy=8.

Une des figures données représenteS3, laquelle ?

d. S4désigne la section deS par le planP d’équation 3x+2y=29 de la question 2.

Déterminer les coordonnées des points communs àS4etP dont l’abscissexet l’or- donnéeysont des entiers naturels vérifiant l’équation

3x+2y=29.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, on pourra donner un contre-exemple.

Centres étrangers 25 15 juin 2009

(26)

1. Pour tout complexez, Re¡ z²¢

=

³Re(z)´2

.

2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal³ O ;−→

u,−→ v´

.

Pour tout nombre complexeznon nul, les pointsMd’affixez,Nd’affixezetPd’affixe z² appartiennent à un même cercle de centre O. z

3. Pour tout nombre complexez, si|1+iz| = |1−iz|, alors la partie imaginaire dezest nulle.

4. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal³ O ;−→

u,−→ v´

.

Quels que soient les nombres complexeszetz^′non nuls, d’images respectivesMetM^′ dans le plan complexe, sizetz^′vérifient l’égalité|z+z^′| = |z−z^′|, alors les droites (OM) et (OM^′) sont perpendiculaires.

Commun à tous les candidats Soitnun entier naturel.

On notefn, la fonction définie sur l’ensembleRdes nombres réels par : fn(x)= e⁻^nx

1+e⁻^x.

On noteC_n la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal³

O ;−→ı ,−→

´

. Les courbes C₀,C₁,C₂etC₃sont représentées ci-dessous :

1 1

x y 1

C₀ C₁ C₂

C₃

Partie A :Quelques propriétés des fonctions f_net des courbesC_n

1. Démontrer que pour tout entier naturelnles courbesC_nont un point A en commun. On précisera ses coordonnées.

2. Étude de la fonctionf0

a. Étudier le sens de variation def0.

b. Préciser les limites de la fonctionf0en−∞et+∞. Interpréter graphiquement ces limites.

c. Dresser le tableau de variation de la fonctionf0surR. 3. Étude de la fonctionf₁

a. Démontrer quef0(x)=f1(−x) pour tout nombre réelx.

b. En déduire les limites de la fonctionf1en−∞et+∞, ainsi que son sens de variation.

(27)

c. Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbesC₀etC₁. 4. Étude de la fonctionfnpourn>₂

a. Vérifier que pour tout entier natureln>2 et pour tout nombre réelx, on a : fn(x)= 1

e^nx+e⁽ⁿ⁻^1)x. b. Étudier les limites de la fonctionfnen−∞et en+∞.

c. Calculer la dérivéef_n^′(x) et dresser le tableau de variation de la fonctionf_nsurR.

Partie B :Étude d’une suite liée aux fonctions fn

On pose, pour tout entier natureln : un= Z₁

0 fn(x) dx.

1. Calculeru1puis montrer queu0+u1=1. En déduireu0. 2. Démontrer que, pour tout entiern : 06un6

Z1

0 e⁻^nxdx.

3. Calculer l’intégrale : Z₁

0 e⁻^nxdx. En déduire que la suite (u_n) est convergente et préciser sa limite.

(28)

A.P.M.E.P.

[ Baccalauréat S La Réunion 23 juin 2009 \

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³ O ;−→

u,−→ v´

.

1. Soit (E) l’ensemble des pointsMd’affixez vérifiant :z=1−2i+e^iθ,θétant un nombre réel.

a. (E) est une droite passant par le point d’affixe 2−2i.

b. (E) est le cercle de centre d’affixe−1+2i et de rayon 1.

c. (E) est le cercle de centre d’affixe 1−2i et de rayon 1.

d. (E) est le cercle de centre d’affixe 1−2i et de rayonp 5.

2. Soitf l’application du plan qui, à tout pointMd’affixezassocie le pointM^′d’affixez^′tel quez^′= −iz−2i.

a. f est une homothétie.

b. Le point d’affixe−1−2i est un antécédent du point d’affixe i.

c. f est la rotation de centre le point d’affixe 1+i et d’angle−π 2. d. f est la rotation de centre le point d’affixe−1−i et d’angle−π

2. 3. Soit (F) l’ensemble des pointsMd’affixezvérifiant|z−1+i| = |z+1+2i|.

Soient les points A, B et C d’ affixes respectives 1−i,−1+2i et−1−2i.

a. C est un point de (F).

b. (F) est la médiatrice du segment [AB].

c. (F) est la médiatrice du segment [AC].

d. (F) est le cercle de diamètre [AB].

4. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z+ |z|²=7+i. Cette équation admet :

a. Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1.

b. Une solution réelle.

c. Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1.

d. Une solution qui a pour partie imaginaire 2.

Soientf etgles fonctions définies sur l’intervalle [0 ;+∞[ par f(x)=xe⁻^x et g(x)=x²e⁻^x.

On noteC_f etC_g les représentations graphiques des fonctions f etg dans le plan muni d’un repère³

O ;−→ı ,−→

´ . Partie A

La courbe représentativeC_f de la fonctionf dans un repère³

O ;→−ı,→−

´

est donnée en annexe (à rendre avec la copie).

(29)

1. D’après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction f et sa limite en +∞?

2. Valider ces conjectures à l’aide d’une démonstration.

3. Tracer sur l’annexe jointe (à rendre avec la copie) la courbeC_greprésentative de la fonctiong.

4. Quelle semble être la position relative de la courbeC_f par rapport à la courbeC_g? Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration.

Partie B

L’objectif de cette partie est de calculer, en unités d’aire, la mesure de l’aireAde la partie du plan comprise entre les courbesC_f etC_g et les droites d’équationsx=0 etx=1.

1. Hachurer sur l’annexe cette partie du plan.

2. Soit I= Z₁

0 f(x) dx.

Démontrer que I=1−2 e.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

SoitHla fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par H(x)= −¡

x²+2x¢ e⁻^x. a. Calculer la dérivéeH^′de la fonctionH.

b. En déduire une primitive sur l’intervalle [0 ;+∞[ de la fonctiong.

4. Déterminer la valeur exacte de l’aireA.

Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défautaet le défautb. Un sac est dit défectueux s’il présente au moins l’un des deux défauts.

1. Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs déci- males exactes.

On prélève un sac au hasard dans la production d’une journée.

On noteAl’ évènement « le sac présente le défauta» etBl’évènement « le sac présente le défautb». Les probabilités des évènementsAetBsont respectivementP(A)=0,02 et P(B)=0,01; on suppose que ces deux évènements sont indépendants.

a. Calculer la probabilité de l’évènementC« le sac prélevé présente le défautaet le défaut b».

b. Calculer la probabilité de l’évènementD« le sac est défectueux ».

c. Calculer la probabilité de l’évènementE« le sac ne présente aucun défaut ».

d. Sachant que le sac présente le défauta, quelle est la probabilité qu’il présente aussi le défautb?

2. On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu’un sac soit défectueux est égale à 0,03.

On prélève au hasard un échantillon de 100 sacs dans la production d’une journée. La production est suffisamment importante pour que l’on assimile ce prélèvement à un ti- rage avec remise de 100 sacs. On considère la variable aléatoireXqui, à tout prélèvement de 100 sacs, associe le nombre de sacs défectueux.

La Réunion 29 23 juin 2009