BACCALAUREAT GENERAL

(1)

BACCALAUREAT GENERAL

Session 2004 MATHEMATIQUES

- Série S -

Enseignement Obligatoire Centres étrangers

EXERCICE 1 1.

a^′ = −2a+2i= −2(2i) +2i= −2i,

et

b^′= −2b+2i= −2(3+2i) +2i= −6−2i.

a^′=a= −2iet b^′= −6−2i.

2.SoitMun point du plan dont l’affixe est notéez. Posonsz=x+iy oùxet ysont deux réels.

z^′= −2(x−iy) +2i= −2x+i(2y+2).

Ainsi,M^′ est le point de coordonnées(x^′, y^′)oùx^′= −2xety^′=2y+2. Mais alors, si le pointMappartient à la droite (∆)alorsy= −2et doncy^′ =2(−2) +2= −2 ce qui montre que le pointM^′ appartient aussi à la droite(∆).

Si le point Mappartient à la droite(∆)d’équationy= −2, le pointM^′ appartient à(∆).

3.Soitzun nombre complexe.

|z^′+2i|=|−2z+4i|=|−2(z−2i)|=|−2|×|z−2i|=2

z+2i

=2|z+2i|.

Pour tout pointMd’affixez, on a|z^′+2i|=2|z+2i|.

Géométriquement, cela signifie queAM^′ =2AM.

4. a.On sait qu’une mesure de l’angle−→u ,−−AM→

est arg(z−z_A)ou encore arg(z+2i)c’est-à-direθ.

b.Soitzun nombre complexe.

(z+2i)(z^′+2i) = (z+2i)(−2z+4i) = −2(z+2i)(z−2i) = −2(z+2i)(z+2i) = −2|z+2i|², et comme|z+2i|²est un réel positif ou nul, on a montré que

(z+2i)(z^′+2i)est un réel négatif ou nul.

c. Soit z un nombre complexe. Si z = −2i, la question 1. montre que z^′ = −2i. Réciproquement, si z^′ = −2i, alors (z+2i)(z^′+2i) =0puis−2|z+2i|²=0puisz+2i=0 et doncz= −2i. Finalement,

pour tout nombre complexez,(z= −2i⇔z^′ = −2i).

Dans cette question,M6=Aet doncz6= −2i. Puisque(z+2i)(z^′+2i)est un réel strictement négatif, on a arg(z+2i)(z^′+ 2i) =π[2π]ou encore arg(z+2i) +arg(z^′+2i) =π[2π]ou enfin arg(z^′+2i) =π−arg(z+2i) =π−θ[2π].

(2)

Pour tout pointMdistinct deA, arg(z^′+2i) =π−θ[2π].

d.Par suite, pour tout pointMdistinct deA,−→u ,−−−→ AM^′

=π−−→u ,−−AM→

[2π]. On en déduit que la droite passant parA et de vecteur directeur−→v est bissectrice des demi-droites[AM)et[AM^′)ou encore que les demi-droites[AM)et [AM^′) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

5.Si M=A, alorsM^′ =A. Sinon, un point Mdistinct de Aétant donné, on construit la symétrique de la demi-droite [AM)par rapport à l’axe des ordonnées etM^′ est le point de cette demi-droite vérifiantAM^′=2AM.

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

b b

b

A=A^′

B M

M^′

(∆)