L3 - Physique-Chimie 5 novembre 2015 M´ ecanique quantique
Devoir ` a rendre le 26 novembre 2015 :
Oscillateur harmonique et th´ eor` eme d’Ehrenfest
La r´ edaction doit ˆ etre synth´ etique (mais compl` ete !)
On consid` ere une particule quantique soumise ` a un potentiel quadratique en une dimension.
L’Hamiltonien (l’op´ erateur
´ energie
) est de la forme H = p ˆ 2
2m + 1
2 mω 2 x ˆ 2 , (1)
o` u ˆ x et ˆ p sont respectivement les op´ erateurs position et impulsion.
1/ Commutateurs.– On rappelle la d´ efinition du commutateur de deux op´ erateurs A et B : [A, B]
def= AB − BA.
a ) Retrouver rapidement la relation de commutation canonique [ˆ x, p] = i~. ˆ
b) Verifier que [A, BC ] = [A, B]C + B[A, C]. D´ eduire les deux commutateurs [H, x] et [H, ˆ p]. ˆ 2/ Th´ eor` eme d’Ehrenfest.– On note | ψ(t) i la solution de l’´ equation de Schr¨ odinger
i~ ∂
∂t | ψ(t) i = H| ψ(t) i . (2) Que vaut ∂t ∂ h ψ(t) | ? Montrer
∂
∂t hAi ψ(t) = i
~
h[H, A]i ψ(t) (3)
o` u hAi ψ(t)
def= h ψ(t) |A|ψ(t) i est la moyenne d’une observable A (suppos´ ee ind´ ependante de t).
3/ ´ Equations du mouvement.
a ) D´ eduire deux ´ equations diff´ erentielles coupl´ ees du premier ordre pour h xi ˆ ψ(t) et h pi ˆ ψ(t) . b) R´ esoudre ce couple d’´ equations diff´ erentielles.
c) Pourrait-on proc´ eder de la mˆ eme mani` ere pour ´ etudier la dynamique de l’oscillateur quartique H = ˆ p 2 /(2m) + λ x ˆ 4 ?
4/ Op´ erateurs cr´ eation/annihilation.– Nous introduisons l’op´ erateur d’annihilation 1 a
def=
r mω
2 ~ x ˆ + i
√
2m ~ ω p . ˆ (4)
Analyser la dimension de a.
a ) Calculer [a, a † ] et exprimer H en fonction de a et a † . D´ eduire [H, a].
b) En utilisant ` a nouveau le th´ eor` eme d’Ehrenfest trouver une ´ equation diff´ erentielle pour hai ψ(t) puis la r´ esoudre. Commenter le r´ esultat et comparer aux calculs de la question 3.
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