Variétés de Poisson impaires, bigèbres de Lie impaires et leurs quantifications

Thesis

Reference

Variétés de Poisson impaires, bigèbres de Lie impaires et leurs quantifications

EXTERMANN, Cyrille

Abstract

Ce travail s'inscrit dans le contexte de la super géométrie de Poisson. Nous donnons une preuve de trois résultats de quantification par déformation dans le cas des structures de Poisson impaires. Tout d'abord nous redémontrons un résultat de Pavol Severa sur la quantification des variétés de Poisson impaires, en étendant le théorème au cas des variétés algébriques; puis nous donnons deux résultats originaux, l'un donnant une quantification des bigèbres de Lie impaires et le dernier une quantification de l'action d'une bigèbre de Lie impaire sur une variété de Poisson impaire.

EXTERMANN, Cyrille. Variétés de Poisson impaires, bigèbres de Lie impaires et leurs quantifications. Thèse de doctorat : Univ. Genève, 2014, no. Sc. 4710

URN : urn:nbn:ch:unige-407124

DOI : 10.13097/archive-ouverte/unige:40712

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:40712

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UNIVERSITÉ DE GENÈVE FACULTÉ DES SCIENCES

Section de mathématiques Docteur Pavol Ševera

. Professeur Anton Alekseev

Variétés de Poisson impaires, bigèbres de Lie impaires et leurs quantifications

THÈSE

présentée à la Faculté des Sciences de l’Université de Genève pour l’obtention du grade de Docteur ès sciences, mention mathématiques

par

Cyrille Extermann

de Genève (GE)

Thèse N°4710

GENÈVE

Atelier de reproduction ReproMail de l’Université de Genève 2014

Remerciements

En premier lieu, je désirerais remercier les membres de mon jury de thèse, le Pr. Roubtsov pour avoir accepté de lire mon travail et de venir à Genève pour prendre part à ma soutenance ; le Pr. Alekseev pour avoir accepté de reprendre la codirection de ma thèse en 2012 et par là même m’avoir accordé sa confiance et son soutien pour l’achèvement de ce travail, et le Dr.

Pavol Ševera pour avoir repris la direction de ma thèse en 2012, pour son engagement, sa disponibilité, son optimisme, et pour l’amitié qu’il m’a témoignés.

D’autre part, j’aimerais remercier le Dr. Thierry Vust d’avoir dirigé ce travail entre 2007 et 2012, pour ses encouragements, sa patience tout au long de ces années, et pour les nombreuses discussions que nous avons eues au tableau, où nous avons essayé ensemble de tordre le cou aux problèmes que je rencontrais.

La section de mathématique de l’Université de Genève m’a offert un cadre exceptionnel pour étudier durant les cinq premières années de ma thèse, puis la Fondation Ernst et Lucie Schmidheiny m’a soutenu une année supplémentaire. Ces deux institutions ont contribué d’une manière essentielle à la réussite de mon travail.

Lors de ces longues années à la section de mathématiques, j’ai eu la chance de côtoyer des mathématiciens brillants, mais surtout des personnes avec qui j’ai eu du beaucoup de plaisir à collaborer. En particulier, je pense à mes compères du bureau 301, Michel, David, Mucyo, Martin, Benjamin, Noémie, Luc, Fabien, Mounir, Minh... mais aussi aux locataires du 6ème étage Аглая, Caterina, Caroline, Yves... et tous les autres ! Merci pour ces belles années.

Ma famille - lausannoise, coponne, genevoise, montalbanaise et berlinoise - m’a encouragé durant toutes ces années, m’a entouré de son affection pour finalement partager ma joie lors du dénouement heureux de ce travail. Vous êtes formidables !

Jetzt möchte ich mich noch bei jemandem ganz besonders bedanken, nämlich meiner Frau Mandy, die mich ab jetzt nicht mehr mit meiner Arbeit teilen muss. Danke für deine Un- terstützung im Laufe der Jahre, dein Verständnis für die vielen Stunden, die ich mit Studieren verbracht habe und die Liebe die du mir jeden Tag gezeigt hast.

Table des matières

1 Introduction 1

2 Algèbres de Lie-Rinehart 3

2.1 Définitions . . . 3

2.2 Super algèbres de Lie-Rinehart . . . 7

2.3 L’algèbre de Lie-Rinehart Ω¹_KpAq. . . 10

2.4 L’algèbre de Lie-Rinehart Ω¹_ZpAq . . . 15

2.5 Les homomorphismes de faisceaux sur une super variété sont déterminés par l’homomorphisme entre les sections globales. . . 26

3 Quantification de variétés de Poisson impaires 29 3.1 Résultats de Kaplansky . . . 29

3.2 Théorème de Poincaré-Birkoff-Witt . . . 33

3.3 Théorème de P. Ševera . . . 38

3.4 Fonctorialité de Ωπ . . . 40

4 Exemples 43 4.1 Cas où M est un point . . . 43

4.2 Cas où M est le fibré cotangent impair d’une variété différentiable. . . 45

5 Quantification de bigèbres de Lie impaires 61 5.1 Préliminaires . . . 61

5.2 Théorème . . . 67

5.3 Exemple . . . 74

6 Quantification d’action d’une bigèbre de Lie impaire sur une variété de Poisson impaire. 79 6.1 Action d’une bigèbre de Lie impaire sur une variété de Poisson impaire. . . 79

6.2 Constantes de structures pour la bigèbre de Lie impaire pΠgq^˚ . . . 82

6.3 Structure de Poisson sur M ˆG^˚. . . 85

6.4 Preuve du théorème 6 . . . 86

Références . . . 91

Chapitre 1 Introduction

Le problème de quantification des variétés de Poisson – déformations des algèbres de fonctions en une algèbre associative – a été résolu par Kontsevich [11]. D’autre part le problème de quantification des bigèbres de Lie – déformation de l’algèbre enveloppante en une algèbre de Hopf – a été résolu par Etingof et Kazhdan [7].

Nous allons nous intéresser aux variétés de Poisson impaires (super variétés munies d’une structure de Poisson impaire) et aux bigèbres de Lie impaires (super bigèbres de Lie, dont la structure de cogèbre de Lie est impaire).

Le premier résultat principal de ce travail est le théorème 4. Il est dû à P. Ševera [19] et traite de la déformation de l’algèbre différentielle des formes ΩpMq d’une variété de Poisson impaire M. Nous en donnons une démonstration détaillée et traitons quelques exemples, à savoir si la variété est un point et si elle est le fibré cotangent impair à une variété différentiable.

Nous nous intéresserons ensuite aux bigèbres de Lie impaires. Le deuxième résultat prin- cipal de ce travail, le théorème 5, traite de leur quantification.

Supposons maintenant qu’une bigèbre de Lie impaire agisse convenablement sur une va- riété de Poisson impaire. Comme nous savons déformer les bigèbres de Lie impaires et les variétés de Poisson impaires, il est naturel de se poser la question de savoir si l’action elle aussi se déforme en une action sur leur quantifiés. C’est le sujet du théorème 6. Ce dernier résultat principal est propre aux variétés de Poisson impaires et aux bigèbres de Lie impaires et n’est pas vrai dans le cas pair.

Chapitre 2

Algèbres de Lie-Rinehart

Dans ce chapitre, nous allons donner le cadre dans lequel s’inscrit ce travail, à savoir la géométrie et l’algèbre Z²-graduées, ou super géométrie (resp. super algèbre). Puis nous étu- dierons plus attentivement les super algèbres de Lie-Rinehart et leurs algèbres enveloppantes, qui sont les outils que nous utiliserons par la suite. Il s’agit du pendant algébrique des algé- broïdes de Lie. Nous donnerons enfin des exemples particuliers d’algèbres de Lie-Rinehart, en explicitant leurs structures.

2.1 Définitions

Soit K un corps de caractéristique différente de 2.

Définition. Super espace vectoriel.Un super espace vectoriel surKest un espace vectoriel V muni d’une décomposition en somme directe V “ V0‘V1. On dit que les éléments de V0

(resp.V1) sontpairs(resp.impairs). Les éléments deV0YV1 ĂV0‘V1sont dithomogènes, et on notera la parité d’un élément homogène v par

|v|:“

"

0 si v PV0

1 si v PV1 .

Par convention, toute formule où intervient des parités doit être comprise comme étant définie pour les éléments homogènes, puis prolongée par linéarité à des éléments quelconques.

Notation. Il arrivera régulièrement au cours de ce travail que nous devions élever´1 à une puissance dépendant de la parité d’éléments d’un super espace vectoriel. Dans ce cas-là, nous allégerons la notation en ce sens que nous écrirons systématiquement (par exemple), pour u, v PV

p´1q^{upv`1q</sup> en lieu et place dep´1q<sup>|u|p|v|`1q}.

Les super espaces vectoriels forment une catégorie symétrique monoïdale linéaire, dont les objets sont les super espaces vectoriels et les morphismes les applications linéaires qui préservent la parité (appelés ci-après morphismes pairs).

En effet, soientU “U0‘U1etV “V0‘V1deux super espaces vectoriels. On munit le produit tensorielU bV d’une structure de super espace vectoriel en posant :

pU bVq0 :“U0bV0‘U1bV1, pU bVq1 :“U0bV1‘U1bV0.

La symétrie est le morphisme (pair)

"

U bV Ñ V bU ubv ÞÑ p´1q^uvvbu .

Comme nous disposons d’une catégorie monoïdale symétrique linéaire, cela nous permet de parler de super algèbres, super algèbres commutatives, de super algèbres de Lie, et de super algèbres de Poisson (paires).

Définition. Super algèbre.Une super-K-algèbreAest une algèbre munie d’uneZ²-graduation, A“ A0‘A1, telle que la multiplication AˆAÑA soit un morphisme pair de A-modules.

On dit qu’elle est super commutative si ab“ p´1q^abba pour touta, bPA.

Exemple. SoitA:“Rrx1, . . . , xn, θ1, . . . , θmslaR-algèbre des polynômes en x1, . . . , θm, avec les relations de commutations suivantes : xixj “ xjxi, xiθj “θjxi et θiθj “ ´θjθi pour tout i, j. NotonsθI :“θi₁¨. . .¨θi_n pourI “ pi1, . . . , inqune suite d’indices, que l’on peut supposer croissante.

Les éléments pair (resp. impair) deAsont de la formeř

IfIpxqθI, avecfIpxqun polynôme en les xi, et où la somme porte sur des multi-indicesI de longueur paire (resp. impaire). Cette algèbre est super commutative.

Définition. Une super algèbre de Liepg,r, sqest un super espace vectorielgmuni d’une application bilinéaire paire

r , s:

"

gbg ÝÑ g abb ÞÝÑ ra, bs satisfaisant les deux conditions suivantes

1) Antisymétrie graduée : ra, bs “ ´p´1q^abrb, as, pour touta, bPg;

2) Identité de Jacobi graduée :ra,rb, css “ rra, bs, cs ` p´1q^abrb,ra, css, pour touta, b, c P Si, de plus, le super espace vectoriel a une structure d’algèbre (notéeg. ¨) et que le crochet vérifie la relation suivante :

3) Identité de Leibniz graduée : ra, b¨cs “ ra, bs ¨c` p´1q^abb¨ ra, cs, pour a, b, c dans l’algèbre,

on dit que pg,r, s,¨q est une super algèbre de Poisson(paire).

Dans la catégorie des super espaces vectoriels, les morphismes sont des applications paires.

Afin de pouvoir parler d’applications impaires, on a besoin de la définition suivante :

Définition. ΠV. Soit V “ V0 ‘V1 un super espace vectoriel. On définit le super espace vectoriel ΠV comme

pΠVq0:“V1, pΠVq1:“V0

Une application impaire V Ñ W est définie comme étant égale au morphisme (pair) ΠV ÑW.

On dit quegest une algèbre de Lie impaire siΠgest une algèbre de Lie (paire) – explicitement cela veut dire :

Définition. ([12], p.423) Une super algèbre de Lie impairepg,r, sq est un super espace vectorielg muni d’une application bilinéaire impaire

r, s:

"

gbg ÝÑ g abb ÞÝÑ ra, bs qui a les deux propriétés suivantes :

1) Antisymétrie graduée impaire : ra, bs “ ´p´1q^pa`1qpb`1qrb, as, pour tout a, bPg; 2) Identité de Jacobi graduée impaire : ra,rb, css “ rra, bs, cs ` p´1q<sup>pa`1qpb`1q</sup>rb,ra, css,

pour touta, b, cPg.

Si le super espace vectoriel a une structure d’algèbre (notée¨) et que le crochet vérifie en outre la condition :

3) Identité de Leibniz graduée impaire : ra, b¨cs “ ra, bs ¨c` p´1q<sup>pa`1qb</sup>b¨ ra, cs, pour a, b, cdans l’algèbre,

alors on parle d’uncrochet de Poisson impair, oucrochet de Schouten. Un super espace vectoriel muni d’un crochet de Poisson impair s’apellera une algèbre de Poisson impaire.

On notera dans ce cas le crochett,u.

Remarque. Une structure de super algèbre de Lie sur g est équivalente à une structure de super algèbre de Lie impaire surΠg. La relation entre les deux structures est donnée par :

"

ΠgbΠg ÝÑ Πg

ΠabΠb ÞÝÑ rΠa,Πbs:“Πra, bs

Lemme 1. a) Soit gune super algèbre de Lie. Le crochet de Lie sur g se prolonge de manière unique en un crochet de Poisson surSg, l’algèbre symétrique deg.

b) Soit Πg une super algèbre de Lie impaire. Le crochet impair sur Πgse prolonge de manière unique en un crochet de Poisson impair (crochet de Schouten) surSΠg.

Démonstration. Preuve dans le cas pair – le cas impair est analogue.

1. Soit g une super algèbre de Lie. Pour tout l P N et tout xP g homogène, on définit une application

r¨, xs:

"

gˆ. . .ˆg ÝÑ S^lg

py1, . . . , ylq ÞÝÑ ry1. . . yl, xs:“řl

i“1p´1q<sup>řlj“i`1yjx</sup>y1. . . yi´1ryi, xsyi`1. . . yl

qui est multilinéaire. Elle passe donc au produit tensoriel r¨, xs:T^lg:“gb. . .bgÝÑS^lg

et définit ainsi une application de degré zéroTgÑSg, notée aussir¨, xs.

SoitI “ ‘mPNI^m, où I^m:“I XT^mg, l’idéal bilatère de Tg engendré par les éléments de la forme

y1b. . .bys´1b pysbys`1´ p´1q<sup>yspys`1q</sup>ys`1bysq bys`2b. . .bym.

Comme I est dans le noyau de r¨, xs, la construction passe à l’algèbre symétrique, et nous donne une application de degré zéro :

r¨, xs:SgÑSg.

2. On en déduit, pour aPSghomogène, une application multilinéaire ra,¨s:

"

gˆ. . .ˆg ÝÑ S^k`degpaq´1g px1, . . . , xkq ÞÝÑ ra, x1. . . xks:“řk

i“1p´1q^{ři´1j“1xja}x1. . . xi´1ra, xisxi`1. . . xk

Par le même raisonnement que précédemment, cette application passe à l’algèbre sy- métrique en une application de degrépdegpaq ´1q:

ra,¨s :

"

S^kg ÝÑ S^k`degpaq´1g x1. . . xk ÞÝÑ ra, x1. . . xks

Comme on a une telle application @a P Sg homogène, cela nous définit un crochet SgbSgÑSg tel queS^kgbS^lgÑS^k`l´1g.

3. Ce crochet a la propriété de Leibniz à droite (LD)

ra, b¹b²s “ ra, b¹sb²` p´1q^ab1b¹ra, b²s. Soitxin

i“1 une base de g. Par multilinéarité du crochet, il suffit de vérifier pLDqsur les éléments

ra, x1. . . xky1. . . yls, oùxi, yj P txiuⁿi“1

4. Cela implique que ce crochet est antisymétrique en tout degré. (Calculer les crochets ra¹a², b¹b²set rb¹b², a¹a²s)

5. Cela nous implique la formule de Leibniz à gauche

6. Finalement il s’agit d’un crochet de Poisson car il satisfait l’identité de Jacobi. En effet, soient a, b, c P Tg homogènes ; supposons sans perte de généralité que degpaq ą 1, et décomposons aen a“a¹a². Calculons :

1)

ra¹a²,rb, css “a¹ra²,rb, css ` p´1q<sup>a2pb`cq</sup>ra¹,rb, cssa² 2)

rra¹a², bs, cs “ ra¹ra², bs, cs ` p´1q^a2brra¹, bsa², cs

“a¹rra², bs, cs ` p´1q<sup>cpa2`bq</sup>ra¹, csra², bs

` p´1q<sup>a2b</sup>ra<sup>1</sup>, bsra<sup>2</sup>, cs ` p´1q^a2pb`cqrra¹, bs, csa² 3)

p´1q^{bpa1`a2q</sup>rb,ra<sup>1</sup>a<sup>2</sup>, css “ p´1q<sup>bpa1`a2q}rb, a¹ra², cs ` p´1q^a2cra¹, csa²s

“ p´1q<sup>bpa1`a2q</sup>rb, a<sup>1</sup>sra<sup>2</sup>, cs ` p´1q^ba2a¹rb,ra², css

` p´1q<sup>bpa1`a2q`a2c</sup>rb,ra<sup>1</sup>, cssa<sup>2</sup>` p´1q^ba2`bc`a2cra¹, csrb, a²s En effectuant 1q ´2q ´3q, on obtient l’identité de Jacobi graduée.

2.2 Super algèbres de Lie-Rinehart

Dans cette section nous donnons la définition de super algèbre de Lie-Rinehart, introduites par Rinehart dans [17]. Nous définirons ensuite les algèbres enveloppantes de tels objets, puis montrerons qu’elles ont une propriété universelle. Il s’agit du concept central nécessaire à la preuve du théorème 4.

Définition. Super algèbre de Lie-Rinehart ([17]). Soit A une K-algèbre super com- mutative. Une super algèbre de Lie-Rinehart L sur A est une super-K-algèbre de Lie et un super-A-module qui possède un homomorphisme de super-A-modules et de super algèbres de Lie pair

ρ:

"

L Ñ Der_KpAq α ÞÑ rf ÞÑρpαqpfqs ; on exige la condition :

rα, f βs “ρpαqpfqβ` p´1q^αffrα, βs, @f PA, @α, βPL.

Soit L une super algèbre de Lie-Rinehart sur A. On définit sur la somme directe A‘L un crochet de Lie en posant

rf `α, g`βs:“ pρpαqpgq ´ p´1q^αβρpβqpfqq ` rα, βs pour toutf, gPA,α, β PL tels que |f| “ |α| et|g| “ |β|.

Définition. Algèbre enveloppante à un paramètre d’une super algèbre de Lie- Rinehart ([17]). Soit L une super algèbre de Lie-Rinehart sur A et soit A‘L munie de la structure d’algèbre de Lie définie ci-dessus. L’algèbre enveloppante de paramètre tPK de A‘L, notéeVtpA‘Lq, est définie par :

VtpA‘Lq “TpA‘Lq^`{I,

où — TpA‘Lq^` est le sous-anneau de l’algèbre tensorielle TpA‘Lq (algèbre tensorielle surK) composé des éléments de degréě1;

— I est l’idéal bilatère deTpA‘Lq^` engendré par les éléments suivants : pI1q xby´ p´1q^xyybx´ rx, ys,@x, y PA‘L;

pI2q ab´abb,@a, bPA;

pI3q aµ´abµ´ p´1q^aµtµpaq,@a,PA, µPL.

VtpA‘Lqest un super anneau et un super-K-espace vectoriel.

Lemme 2. Soit γ : A‘L ãÑ T^`pA‘Lq � VtpA‘Lq l’application canonique. Alors sa restriction γ|^A est injective.

Démonstration. Montrons queAXI “ t0u, où I est comme plus haut.

Soit aPAXI. Comme aPI, a“ÿ

AibR1,ibBi`ÿ

CjbR2,j bDj`ÿ

EkbR3,kbFk

oùAi, Bi, Cj, Dj, Ek, Fk PTpA‘Lq, et où R_‚,iest un élément de la formepI_‚q. CommeaPA, cela implique que les Ai, . . . , Fk PK et on peut écrire :

a“ÿ

uiR1,i`ÿ

vjR2,j`ÿ

wkR3,k

avec ui,vj et wk PK. Plus précisément, ř

iuiR1,i “ ř

iuipaibbi´ p´1q^aibibibaiq PAbA p1q

` ř

lslpalbβl´ p´1q^alβlβlbal´βlpalqq P pAbLq ‘ pLbAq ‘A p2q

` ř

iuipαibβi´ p´1q^αiβiβibαi´ rαi, βisq P pLbLq ‘L p3q řvjR2,j “ ř

vjpajbj´ajbbjq P pAbAq ‘A p4q řwkR3,k “ ř

wkpakαk´akbαk´ p´1q^akαktαkpakqq P pAbLq ‘L‘A p5q avec a_‚, b_‚PA,α_‚, β_‚ PL;sl étant une somme signée des ui.

En analysant les expressions ci-dessus, on remarque : 1. (a) 0“prLbLpaq “ ř

iuiprLbLpR1,iq “ř

iuipαibβi´ p´1q^αiβiβibαiq.

(b) Considérant l’application f :

"

LbL Ñ L αbβ ÞÑ rα, βs , on remarque :

0“fp0q “ fpÿ

i

uipαibβi´ p´1q^αiβiβibαiqq

“ÿ

i

uipγpαibβiq ´ p´1q^αiβiγpβibαiqqq

“ÿ

i

uiprαi, βis ´ p´1q^αiβirβi, αisqq “2ÿ

i

uirαi, βis. Ce qui nous dit que la ligne p3qest égale à zéro.

2. (a) 0“prLbApaq “ř

lslprLbApR1,iq “ ´ř

lp´1q^alαlslαlbal. (b) Soit

g :

"

LbA Ñ AbL αba ÞÑ p´1q^aαabα On calcule : 0 “ gp0q “ gp´ř

lp´1q^alαlslαl balq “ ´ř

lslgpp´1q^alαlαl balq “

´ř

lslalbαl. (c) Soit

h:

"

LbA Ñ A αba ÞÑ αpaq Alors 0“hp0q “ hpř

lslprLbApR1,iqq “ř

lslhpαlbalq “ř

lslαlpalq.

La ligne p2qest donc égale à zéro.

3. (a) Premièrement on remarque : 0“prAbLpaq “prAbLpř

kwkR3,kq “ř

kwkakbαk; (b) de même : 0“prLpaq “prLpř

kwkR3,kq “ ř

kwkakαk;

(c) finalement, en considérant l’application :

"

AbL Ñ A

abα ÞÑ p´1q^aααpaq on conclut comme précédemment queř

kwkR3,k “0. Ce qui en résumé nous dit que la lignep5qvaut zéro.

4. On remarque que

´aibi`aibbi` p´1q^aibipbiai´bibaiq “aibbi´ p´1q^aibibibai,

et donc la somme de la lignep4qest composée d’éléments de même type que celle de la lignep5q. On peut les réunir dans une grosse somme :ř

qpqpaqbq´aqbbqq, avecpq PR.

(a) Premièrementř

qpqpaq bbqq “0, puisque aPA; (b) et finalement, au moyen de la multiplication :

"

AbA Ñ A abb ÞÑ ab ,

on conclut que la somme de la ligne p1qet de la ligne p4qvaut zéro.

Et donc a“0.

Lemme 3. γp1qest central dansVtpA‘Lq(et doncVtpA‘Lqest une super-K-algèbre).

Remarque. En résumé, γ|A : AÑ VtpA‘Lq est un homomorphisme injectif de K-algèbre avec unité ; dans la suite on identifie A et γpAq de sorte qu’on dispose d’une extension de K-algèbre VtpA‘Lq{A.

Proposition 1. Propriété universelle de l’algèbreVtpA‘Lq. Soitγ :A‘LÑVtpA‘Lq comme plus haut. Soit B une super algèbre associative avec unité. Soit ϕ : A‘L Ñ B un homomorphisme pair tel que

— ϕ est un homomorphisme de super algèbres de Lie ;

— ϕ|A est un homomorphisme de super-K-algèbres ;

— ϕpaµq “ϕpaqϕpµq ` p´1q^aµtϕpµpaqq,@aPA,@µPL.

Alors il existe un unique homomorphisme de super algèbres unitairesϕ¯ :VtpA‘Lq ÑB tel queϕ¯˝γ “ϕ.

Démonstration. On prolonge ϕ en ϕ˜ :T^`pA‘Lq Ñ B au moyen de la formule ϕ˜pxbyq “ ϕpxqϕpyq(propriété universelle du produit tensoriel). Vérifions que ϕ˜pIq “ t0u :

pI1q ϕ˜pxby´ p´1q^xyybx´ rx, ysq “ϕpxqϕpyq ´ p´1q^xyϕpyqϕpxq ´ rϕpxq, ϕpyqsB “0 puisqueϕ est un morphisme d’algèbres de Lie ;

pI2q ϕ˜pab´abbq “ ϕpabq ´ϕpaqϕpbq “ 0 puisque ϕ est un morphisme de super-K- algèbres ;

pI3q ϕ˜paµ´abµ´ p´1q^aµtµpaqq “ϕpaµq ´ϕpaqϕpµq ´ p´1q^aµtϕpµpaqq “0, d’après la troisième condition ci-dessus.

L’homomorphisme ϕ˜ passe donc au quotient en un homomorphisme ϕ.¯

2.3 L’algèbre de Lie-Rinehart Ω

p A q .

Dans la première section, nous allons tout d’abord rappeler la construction des 1-formes de Kähler sur un anneau super commutatif, Ω¹_KpAq, avec différentielle impaire. Puis nous rappellerons trois manières de définir une structure de Poisson impaire sur A. Finalement nous montrerons que si Aest une algèbre de Poisson impaire, alorsΩ¹_KpAqest une algèbre de Lie-Rinehart sur A.

La section suivante sera consacrée à la construction d’une différentielle sur V¹

2pA‘Ω¹_KpAqq.

Définition et premières propriétés

Dans cette construction, on définit d’abord les 1-formes de Kähler Ω¹_KpAq, puis on re- marque que les dérivations DerpAq sont égales au dual impair de Ω¹_KpAq. Pour un exposé détaillé de cette construction dans le cas pair, cf [14], chapitre 3.

Voici un premier exemple d’algèbre de Lie-Rinehart.

Définition. Ω¹_KpAq.SoitAun anneau super commutatif. LeA-module des 1-formes de Kähler Ω¹_KpAqest défini par

Ω¹_KpAq:“FpAq{I où — FpAqest le A-module libre sur les tdau^aPA

— I est l’idéal bilatère deFpAqengendré par les éléments dpabq ´da¨b´ p´1q^aadb, a, bPA.

Au niveau de la parité, |da| “ |a| `1. En d’autres termes, on a une différentielle impaire d:

"

A Ñ Ω¹_KpAq

a ÞÑ da .

A partir de l’anneauAet duA-moduleΩ¹_KpAq, on peut construire l’algèbre des formes de Kähler :

Définition. ΩKpAq.SoitAun anneau super commutatif. L’algèbre des formes de Kähler sur A, notéeΩKpAq, est donnée par :

ΩKpAq:“à

iě0

S_AⁱΩ¹_KpAq “SAΩ¹_KpAq.

En d’autres termes, ΩKpAqest le quotient de la A-algèbre super commutative engendrée par tda|a P Au par l’idéal bilatère engendré par tdpabq ´da¨b ´ p´1q^aadb|a, b P Au. On note Ωⁱ_KpAq:“S_AⁱΩ¹_KpAq.

Si on définit

Définition. Différentielle impaire sur une super algèbre. Soit B une super algèbre.

Une application D :B ÑB est appelée différentielle impaire sur B si elle satisfait les deux conditions suivantes :

1. D² “0;

2. Dpabq “Dpaqb` p´1q^aaDpbq.

On peut prolonger d : A ÞÑ Ω¹_KpAq en une différentielle impaire sur l’algèbre SΩ¹_KpAq, d: SⁱΩ¹_KpAq Ñ S<sup>i`1</sup>Ω<sup>1</sup><sub>K</sub>pAq, au moyen de la formule dpα¨βq “ dpαq ¨β` p´1q^ααdpβq, pour α, β PΩKpAq.

Remarque. Les dérivations de l’algèbreAs’identifient au dual impair deΩ¹_KpAq, c’est-à-dire : DerpAq “HomApΠΩ¹_KpAq, Aq,

la correspondance étant, àξ PHomApΠΩ¹_KpAq, Aq, on associeX PDerpAqpar X :“dΠξ

Soit ξ PDerpAq. On définitιξ PDerpΩKpAqq par : 1. ιξpfq:“0, pour f PA;

2. ιξpαq:“ξpΠαq, pour αPΩ¹_KpAq. En particulier, pour α“da, on aιξpαq “Xpaq, où X “dΠξ;

3. ιξpµ¨νq “ ιξpµq ¨ν` p´1q^µξµ¨ιξpνq, pour µ, ν PΩKpAq.

On noteraιξpµq:“ rξ, µs, pour ξ PDerpAqet µPΩKpAq.

On prolongeιξ aux champs multivectoriels en posant, pour ξ, η PDerpAqet µPΩKpAq: ιξηpµq “ ιηιξpµq

Définition. ApplicationA-bilinéaire impaire.SoitAun anneau super commutatif. Soient M, N, P desA-modules. On dit que l’application ϕ:MbKN ÑP estA-bilinéaire impaire si

— ϕpam, nq “ p´1q^aaϕpm, nq

— ϕpm, naq “ϕpm, nqa pour tousaPA, mPM, nPN.

Remarque. Puisque les structures deA-modules à gauche et à droite surP sont compatibles, on vérifie que en réalitéϕ est défini sur le produit tensoriel sur A:

ϕ:M b^AN ÑP.

Nous allons donner trois manières équivalentes de définir une structure de Poisson impaire surA:

Lemme 4. Soit Aun anneau super commutatif. Sont équivalents : 1. un crochet de Poisson impairt,u sur A;

2. une applicationA-bilinéaire impaire π: Ω¹_KpAq bΩ¹_KpAq ÑAqui soit antisymétrique et telle queπ˝ pdb1q ˝ pπb1qp1`τ `τ²q “ 0, où τ est un trois-cycle ;

3. un élément impairπP pS²DerpAqq1 tel querπ, πs “0.

Remarque. Le crochetrπ, πsest le crochet de Poisson pair sur l’algèbre symétriqueSDerpAq qui prolonge le crochet de Lie sur les dérivations.

Démonstration. Montrons l’équivalence entre 1. et 2.

Pour cela, commençons par définir une application A-bilinéaire impaire

˜ π:

"

FpAq bKFpAq Ñ A dabdb ÞÑ ta, bu Cette application passe au quotient FpAq{I, en effet :

˜

πpda, dpbcq ´db¨c´ p´1q^bbdcq “π˜pda, dpbcqq ´π˜pda, dbqc´ p´1q^bcπ˜pda, dcqb

“ ta, bcu ´ ta, buc´ p´1q^bcta, cub

“ ta, bcu ´ ta, buc´ p´1q^pa`1qbbta, cu “0 (Idem de l’autre côté)

On note π : Ω¹_KpAq bK Ω¹_KpAq Ñ A l’application quotient. Comme π est une application A-bilinéaire impaire à valeur dans un anneau supercommutatif, on peut prendre le produit tensoriel sur Aet on écrit

π: Ω¹_KpAq b^AΩ¹_KpAq ÑA,

c’est-à-dire queπest un homomorphisme deA-modules :πPHomA´modpΩ¹_KpAqb^AΩ¹_KpAq, Aq.

On voit alors maintenant clairement l’équivalence entre les propriétés de π et celles de t,u.

Pour a, b, cPA, on a

1. π est antisymétrique si et seulement sit,u est antisymétrique impaire : πpda, dbq ` p´1q<sup>pa`1qpb`1q</sup>πpdb, daq “ ta, bu ` p´1q^pa`1qpb`1qtb, au;

2. la condition π˝ pdb1q ˝ pπb1qp1`τ `τ²q “0 correspond à l’identité de Jacobi pour t,u :

πpdπbidqpdabdbbdc` p´1q<sup>pa`1qpb`cq</sup>dbbdcbda` p´1q^pc`1qpa`bqdcbdabdbq

“ tta, bu, cu ` p´1q<sup>pa`1qpb`cq</sup>ttb, cu, au ` `p´1q<sup>pc`1qpa`bq</sup>ttc, au, bu

3. L’identité de Leibniz pour t,ucorrespond au fait que π soit bien définie surΩ¹_K bΩ¹_K. Les points 1. et 3. sont reliés par la formule, pour a, bPA :

ra,rπ, bss “ ta, bu

On note que π P pS²DerpAqq¹ est uniquement déterminé par la formule ci-dessus. Les pro- priétés de t,u correspondent aux propriétés de π :

1.

ta, bu “ ra,rπ, bss “ rra, πs, bs “ p´1q^1`bpa`1qrb,ra, πss

“ p´1q^bpa`1q`arb,rπ, ass “ ´p´1q^pa`1qpb`1qtb, au 2.

ta,tb, cuu “ ra,rπ,rb,rπ, cssss “ ra,rrπ, bs,rπ, csss ` p´1q^bra,rb,rπ,rπ, cssss

“ tta, bu, cu ` p´1q<sup>pa`1qpb`1q</sup>tb,ta, cuu ` p´1q^b1

2ra,rb,rrπ, πs, csss

Proposition 2. Soit pA,t,uq une algèbre de Poisson impaire. Alors Ω¹_KpAq est une algèbre de Lie-Rinehart surA avec l’ancre

ρ:

"

Ω¹_KpAq Ñ DerpAq “ HomApΠΩ¹_KpAq, Aq α ÞÑ rΠβÞÑ p´1q^απpα, βqs . et le crochet, pour α, βPΩ¹_KpAq:

rα, βs:“dπpα, βq `ιρpαqdβ´ p´1q^αβιρpβqdα.

Démonstration. Le crochet est antisymétrique pair et vérifie l’identité de Jacobi pour les 1-formes exactes. Il vérifie de plus, pour f PAet α, β PΩ¹_KpAq, la formule

rα, f βs “ιρpαqdf ¨β` p´1q^αffrα, βs. En utilisant le fait que la flèche

D :

"

Ω¹_KpAq Ñ DerpAq α ÞÑ rf ÞÑι_ρpαqdfs

est un homomorphisme pair deA-modules et vérifie l’identitéDprα, βsq “ rDpαq, Dpβqs, @α, β P Ω¹_KpAq, on montre l’identité de Jacobi pour des 1-formes généralesα, β, γ PΩ¹_KpAq; et le cro- chet ainsi défini est donc un crochet de Lie. On a donc défini une structure de super algèbre de Lie-Rinehart surΩ¹_KpAq.

Différentielle sur V¹

2pA‘Ω¹_KpAqq

Dans le cas oùt“ ¹2, on peut définir une différentielledimpaire sur V¹

2pA‘Ω¹_KpAqq.

Proposition 3. Il existe une unique différentielleδ surV¹

2pA‘Ω¹_KpAqqtelle que 1. δpaq “da, et

2. δpadbq “dabdb´ ¹₂dta, bu.

Démonstration. Définissons tout d’abord : δ :

$&

%

A‘FpAq Ñ V¹

2pA‘Ω¹_KpAqq

a ÞÑ da

adb ÞÑ dabdb´¹₂dta, bu . On remarque, en posant a“1, que

δpdbq “δp1¨dbq “0 (i) et, en utilisant le fait que l’algèbre est super commutative, que

δppdaqbq “ p´1q^bpa`1qpdbbda´ 1

2dtb, auq. (ii)

Cette application passe au quotient A‘Ω¹_KpAq: δpdpabq ´ pdaqb´ p´1q^aapdbqq

piq,piiq,def

“ p´1q^bpa`1qpdbbda´1

2dtb, auq ` p´1q^apdabdb´ 1

2dta, buq

“ p´1q^apdabdb` p´1q<sup>bpa`1q`a</sup>dbbdaq ´ p´1q^a1

2pdta, bu ` p´1q<sup>bpa`1q`a</sup>dtb, auq

“ p´1q^apdabdb´ p´1q^pa`1qpb`1qdbbdaq ´ p´1q^a1

2 ¨2dta, bu

pI₁q

“ p´1q^aprda, dbs ´dta, buq “0.

C’est une raison pour laquelle on pose t“ ¹2 pour obtenir une algèbre différentielle.

Appelons l’application quotient aussi δ : A‘Ω¹_KpAq Ñ V¹

2pA‘Ω¹_KpAqq. On la prolonge à T^`pA‘Ω¹_KpAqq au moyen de la formule :

δpxbyq “δpxq by` p´1q^xxbδpyq.

On montre que I ĂKerpδq. Pour cela il suffit de montrer que les générateurs deI sont dans Kerpδq :

δpI2q: δpab´abbq^{def δ}“ dpabq´dabb´p´1q^aabdb“ pdaqb`p´1q<sup>a</sup>adb´pdabb`p´1q^aabdbq “ ppdaqb´dabbq ` p´1q<sup>a</sup>padb´abdbq “ p´1q<sup>pa`1qb</sup>bda´ prda, bs ` p´1q<sup>pa`1qb</sup>bbdaq ´ p´1q^a12ta, bu “ p´1q^{pa`1qb</sup>pbda´bbdaq´rda, bs´p´1q<sup>a1</sup>2ta, bu “ p´1q<sup>pa`1qb}p´¹2tb, auq´

p´1q^a`1ta, bu ´ p´1q^a1₂ta, bu “0

δpI3q: δpadb´abdb` <sup>1</sup><sub>2</sub>ta, buq “dpadbq ´dpabdbq ` ¹₂dta, bu “dabdb´ ¹₂dta, bu ´dab db`¹2dta, bu “0

δpI1q: On sépare ce calcul en plusieurs cas :

(a) δpabb´ p´1q^abbbaq “dabb` p´1q<sup>a</sup>abdb´ p´1q<sup>ab</sup>dbba´ p´1q<sup>ab`b</sup>bbda“ p´1q^{pa`1qb</sup>bbda`rda, bs`p´1q<sup>a</sup>abdb´p´1q<sup>ab</sup>pp´1q<sup>pb`1qa}abdb`rdb, asq´p´1q<sup>ab`b</sup>bb da“ rda, bs ´ p´1q^abrdb, as “ p´1q^{a`1</sup>ta, bu ´ p´1q<sup>ab`b`1}tb, au “0

(b) δpabdb´ p´1q^{apb`1q</sup>dbba´ ta, buq “dabdb´ p´1q<sup>pa`1qpb`1q</sup>dbbda´dta, bu “0 (c) δpdabdb´ p´1q<sup>pa`1qpb`1q}dbbda´dta, buq “0

On montre que les relations pI1,dq “ 0 et pI1,eq “ 0 sont conséquence des relations pI1,aq “0, pI1,bq “0, pI1,cq “0 ainsi que de pI2q “ 0 et pI3q “0. Cela impliquera que pI1,dq etpI1,eqsont dans le noyau de δ.

(d) adbbc´ p´1q^pa`b`1qccbadb´ radb, cs ”abdbbc´ ¹₂ta, bu bc´ p´1q^pa`b`1qccb abdb` p´1q<sup>pa`b`1qc1</sup><sub>2</sub>cb ta, bu ´ radb, cs ” pabdbbc´ p´1q<sup>pa`b`1qc</sup>cbabdbq ´

1

2pta, bubc´p´1q^pa`b`1qccbta, buq´radb, cs ” rabdb, cs´¹2rta, bu, cs´radb, cs ”0 (e) Un (long) calcul nous donne enfin que adbbudv´ p´1q^{pa`b`1qpu`v`1q}udvbadb´

radb, udvs ”0 L’application quotient,

δ :V¹

2pA‘Ω¹_KpAqq ÑV¹

2pA‘Ω¹_KpAqq est par construction une différentielle impaire sur V¹

2pA‘Ω¹_KpAqq.

2.4 L’algèbre de Lie-Rinehart Ω

p A q

Pour construire l’algèbre de Lie-Rinehart Ω¹_ZpAq, nous procéderons d’une manière diffé- rente que pour ΩKpAq. Les 1-formes de Zariski sont définies comme étant le dual impair des dérivations. Ici, nous déduirons le crochet sur Ω¹_ZpAq de celui sur Ω¹_KpAq; une construc- tion alternative aurait été de le définir directement en utilisant les mêmes constructions que pourΩ¹_KpAq. Cette algèbre de Lie-Rinehart a comme avantage que sipA,t,uqest l’algèbre de Poisson impaire des fonctions d’une super variété, alors les modules DerpAq et Ω¹_ZpAq sont projectifs de type fini, ce qui n’est pas toujours le cas avec l’algèbre de Lie-Rinehart Ω¹_KpAq.

Cette propriété sera importante pour pouvoir appliquer le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt (théorème 3) dans la preuve du théorème 4.

Définition. Ω¹_ZpAq.Soit Aun anneau super commutatif. On dénote parΩ¹_ZpAqleA-module des 1-formes différentielles de Zariski, défini par :

Ω¹_ZpAq:“HomA´modpΠDerpAq, Aq.

L’algèbre graduée des formes différentielles de Zariski est la somme directe ΩZpAq:“à

ně1

HomA´modpSⁿΠDerpAq, Aq

On définit une différentielle B impaire de degré 1 sur ΩZ; tout d’abord : B⁰:

"

A Ñ Ω¹_ZpAq

a ÞÑ rΠX ÞÑ p´1q^pX`1qpa`1q`XXpaqs

On vérifie queB0paqest bien un homomorphisme deA-modules de parité |a| `1 et queB0 est une différentielle impaire, c’est-à-dire :

1. pB⁰paqqpbΠXq “ p´1q^pa`1qbbB⁰paqpΠXq;

2. B0pabqpΠXq “ pB0paqbqpΠXq ` p´1q^apaB0pbqqpΠXq.

A l’étape suivante,

B¹ : Ω¹_ZpAq ÑHompS²ΠDerpAq, Aq la différentielleB est définie par

B1pαq “ rpΠX,ΠYq ÞÑ p´1q^XαXpαpΠYqq`p´1q<sup>pX`1qpY`1q`Y α</sup>YpαpΠXqq´p´1q^XαpΠrX, Ysqs Proposition 4. SoitAune algèbre de Poisson impaire. Supposons en outre que DerpAqsoit un module projectif de type fini. Alors Ω¹_ZpAq est une algèbre de Lie-Rinehart avec l’ancre ρ: Ω¹_ZpAq ÑDerpAq donnée par :

ρ:

"

Ω¹_ZpAq Ñ DerpAq

α ÞÑ raÞÑ p´1q^απpα,B⁰paqqs et le crochet de Lie qui se déduit de celui de Ω¹_K

Démonstration. En effet, puisqueDerpAqsoit un module projectif de type fini, on peut identi- fier HomApS²ΠΩ_K¹pAq,Aqet HomApS²ΠΩ_Z¹pAq,Aq. Pour définir l’ancreρ: Ω¹_ZpAq ÑDerpAq nous pouvons donc employer la même formule que pour l’algèbre de Lie-Rinehart Ω¹_KpAq:

ρ:

"

Ω¹_ZpAq Ñ DerpAq

α ÞÑ raÞÑ p´1q^απpα,B⁰paqqs SoitΓl’homomorphisme pair de A-modules

Γ :

"

Ω¹_KpAq Ñ Ω¹_ZpAq

adb ÞÑ rΠX ÞÑ p´1q^pb`1qpX`1q`XaXpbqs On a que Γ˝d“ B⁰.

Soit S²Γl’homomorphisme pair suivant :

S²Γ :

$&

%

Ω²_KpAq “ S²Ω¹_KpAq Ñ Ω²_ZpAq “HompS²ΠDerpAq, Aq

dabdb` p´1q<sup>pa`1qpb`1q</sup>dbbda ÞÑ rpΠX,ΠYq ÞÑ p´1q<sup>bpX`Yq`pX`1qpa`1q</sup>XpaqYpbq

`p´1q<sup>pa`1qpb`1q`apX`Yq`pb`1qpX`1q</sup>XpbqYpaqs On a la formule S²Γ˝dpadbq “ p´1q^a`bB¹˝Γpadbq. En résumé

Ω¹_KpAq Ñ^d Ω²_KpAq Õ

A ÓΓ ÓS²Γ

Œ

Ω¹_ZpAq Ñ^B1 Ω²_ZpAq

le triangle de gauche commute et le carré de droite commute au signep´1q^a`b près (lorsqu’on calcule les deux membres de la formule sur l’élément adbde Ω¹_KpAq).

On va définir un crochet de Lie surΩ¹_ZpAqau moyen de celui précédemment construit sur Ω¹_KpAq. Pour ce faire, on a besoin de supposer que l’homomorphisme Γ est surjectif, ce qui est le cas pour A“C⁸pMq,M une super variété (cf. section 2.4).

Fixons αPΩ¹_KpAq et considérons le diagramme suivant : Ω¹_KpAq ^rÑ^α,.s Ω¹_KpAq

Ó Γ Œ ÓΓ

Ω¹_ZpAq Ω¹_ZpAq Ó

0

où le triangle supérieur droit est commutatif. Pour construire une flècheΩ¹_ZpAq ÑΩ¹_ZpAq qui ferme le diagramme, il faut et il suffit que KerpΓq Ă KerpΓ˝ rα, .sq.

Soit χPKerpΓq,α“adb. A voirΓ˝ rα, .spχq “0. On a

Γ˝ rα, .spχq “Γprα, χsq “Γpradb, χsq “Γpardb, χsq ` p´1q<sup>χpb`1q</sup>Γpra, χsdbq

“aΓprdb, χsq ` p´1q<sup>χpb`1q</sup>ra, χsΓpdbq

(I) Montrons que Γprdb, χsq “0.

En effetΓprdb, χsq “Γpdπpdb, χqq `Γpιρpdbqdχq et (Ia)

"

Ω¹_KpAq Ñ A

χ ÞÑ πpdb, χq est identiquement 0 car χ annule toutes les formes li- néaires surΩ¹_KpAq.

(Ib) On montre queΓpιρpdbqdχq “0. En effet, on est dans la situation :

Ω¹_KpAq Ñ^d Ω²_KpAq ^ιρpdbqÑ Ω¹_KpAq

ÓΓ Ó S²Γ ÓΓ

Ω¹_Z Ñ^B1 Ω²_Z ^ιρpdbqÑ Ω¹_ZpAq

où chacun des deux carrés commute à signe près. On a doncΓpιρpdbqdχq “ ˘ιρpdbq˝ B¹˝Γpχq “0 car χPKerpΓq.

(II) Montrons quera, χs “0 @aPA. En effet, la forme linéaire

"

Ω¹_KpAq Ñ A

β ÞÑ ra, βs “ ˘ι_ρpdaqβ“ ˘πpda, βq est annulée parχ.

Et donc χPKerpΓ˝ rα, .sq. NotonsrΓα, .s: Ω¹_ZpAq Ñ Ω¹_ZpAql’application induite. On peut donc définir un crochet de Lie sur Ω¹_ZpAqpar :

rΓα,Γβs^Z :“Γprα, βs^Kq.

Le crochet sur Ω¹_ZpAq satisfait aux propriétés d’un crochet de Lie grâce aux propriétés du crochet deΩ¹_KpAqet à la linéarité deΓ. De plus, il satisfait à la relation

rα, f βsZ “ rα, fsZβ` p´1q^αffrα, βsZ

pour α, βPΩ¹_ZpAqet f PA, où rα, fsZ “ιρpαqB0pfq.

Remarque. On aurait pu définir directement le crochet sur Ω¹_ZpAq au moyen de la même formule que pour Ω¹_KpAq, en faisant l’hypothèse que ΠDerpAq est un module projectif de type fini. En effet, on a alorspΩ¹_Kq^˚» pΩ¹_Zq^˚, et on peut considérer le bivecteurπcomme une application bilinéaire alternée aussi bien sur S²Ω¹_KpAqque sur S²Ω¹_ZpAq »Ω²_ZpAq.

Remarque. Par [18], paragraphes 7.12 et 8.3, si A est l’algèbre des fonctions d’une super variété (C⁸), alors DerpAq est un A-module projectif de type fini. Et donc, dans ce cas, il s’ensuit queΩ¹_ZpAq est unA-module projectif de type fini.

En conclusion, si A est l’algèbre des fonctions sur une super variété, alorsΩ¹_ZpAqest une super algèbre de Lie-Rinehart sur Aqui est unA-module projectif de type fini.

Plaçons-nous maintenant dans le contexte qui va nous occuper dans la suite de ce travail, à savoir que l’algèbre de Poisson impairepA,t,uqest l’algèbre des fonctions d’une super variété (C⁸) de Poisson impaire. Dans ce cadre-là, on dénotera alternativement Ω¹_ZpAq par Ω¹_ZpMq, voire en omettant l’indice.