Dans cette section, nous allons tout d’abord donner la définition d’un objet équivalent aux bigèbres de Lie impaires, les triples de Manin impairs, puis donner une méthode pour construire des triples de Manin impairs et enfin détailler un exemple : en partant d’un triple de Manin impair pd,g,g1q, nous déterminons le groupe de Poisson-Lie impair G associé à la bigèbre de Lieget les structures surΩπpG˚q. Pour mémoire,ΩπpG˚qest la déformation filtrée de UCg construite dans la preuve du théorème 5. On écrira ici "algèbre de Lie" en lieu et place de "super algèbre de Lie", etc. pour alléger la lecture.
Définition. Triple de Manin impair. Soitpd,r,sd,x,ydq une algèbre quadratique impaire, i.e. une algèbre de Lie pd,r,sdq munie d’une forme bilinéaire symétrique x,yd non-dégénérée ad´invariante impaire. Soientg,g1deux sous-algèbres de Lie lagrangiennes (isotropiques maxi-males telles que g‘g1 “d). On appelle le triple pd,g,g1qun triple de Manin impair.
A partir d’un triple de Manin impair, on peut assez aisément obtenir une bigèbre de Lie impaire. En effet, soit pd,g,g1qun triple de Manin impair. La forme non-dégénéréex,yd nous permet d’identifierg1 avecpΠgq˚, et le crochet de Lie surg1 » pΠgq˚ nous donne un cocrochet de Lie impair sur g. (Pour les détails, cf. section 6.2).
On peut aussi construire un triple de Manin impair à partir d’une bigèbre de Lie impaire, cf.
[14] p.310 pour le cas non super commutatif.
Si nous arrivons à construire un triple de Manin impair, nous serons en mesure d’en déduire une bigèbre de Lie impaire, et, partant, un groupe de Poisson-Lie impair. Procédons de la manière suivante :
Soitd0 une algèbre de Lie ; on construit une super algèbre de Lie en posant :d:“d0‘ pΠd0q˚ et en la munissant du crochet de Lie :
1. d0bd0Ñd0 est le crochet surd0;
2. d0b pΠd0q˚ Ñ pΠd0q˚ est l’action coadjointe ; 3. pΠd0q˚b pΠd0q˚Ñd0 est donné parcP pS3d0qd0
L’algèbre de Lie dest donc munie d’une forme bilinéaire symétrique impaire invariante x,yd. On peut montrer que tout davec forme bilinéaire symétrique impaire invariante est de cette forme.
On cherche deux sous-super algèbres de Lie lagrangiennes non triviales g,g1 Ăd. Voici com-ment caractériser une sous-super algèbre de Lie lagrangienne gde d:
1. g0 Ă d0 comme sous-algèbre de Lie ; pour que g soit lagrangienne, il faut alors que g1“Annpg0q:“ tαP pΠd0q˚ | xα, Xy “0, @X Pg0u;
2. condition non-triviale : il faut que rAnnpg0q, Annpg0qs Ăg0. En d’autres termes, si on considère la projectiond0Ñd0{g0, on peut construireS3d0ÑS3pd0{g0q. La condition est que cs’envoie sur 0 par cette flèche.
En résumé, les deux sous-algèbres de Lie get g1 doivent satisfaire les conditions : 1. cÞÑ0PS3pd0{g0qet cÞÑ0PS3pd0{g10q;
2. g0‘g10“d0 avec g0,g10Ăd0 deux sous-algèbres de Lie Utilisons cette approche pour construire un exemple :
Exemple. SoitK un corps,d0 “K2 avec r,s “0. On notetx, yu les coordonnées sur K2. On choisit un élément c P S3pd0qd0 “ S3pd0q qui est donc un polynôme homogène cubique en x et y. Choisissons ici c“xypx`yq : il nous donne le crochet g1ˆg1 Ñg0.
Dans ce cas on a trois sous-algèbres de Lie lagrangiennes convenables (leur partie paire est donnée par les conditions :x“0; y “0; px`yq “0) ; on en choisit deux : soitg10 :“ tx“0u et g0 :“ ty “0u. Il s’agit d’expliciter la quantification dans ce cas-là.
On complète la basetx, yu de d0 par tx˚, y˚u la base duale (impaire), qui est une base de la partie impaired1. On a les crochets suivants :
rx, xs “ rx, ys “ ry, ys “ rx, x˚s “ ry, x˚s “ rx, y˚s “ ry, y˚s “0 puisqued0 est abélienne.
Pour calculer le crochet de deux éléments de d1, on doit contracter c de manière symétrique avec ces deux éléments. Par exemple,
rx˚, x˚s “ xc,px˚, x˚,¨qy “ xxyx`xyy,px˚, x˚,¨qy
“2x˚pxqx˚pyqx`2x˚pxqx˚pxqy`2x˚pyqx˚pxqx
`2x˚pxqx˚pyqy`2x˚pyqy˚pxqy`2x˚pyqx˚pyqx
“2x˚pxqx˚pxqy
“2y
En faisant un calcul semblable, on obtient
rx˚, x˚s “2y; rx˚, y˚s “2px`yq; ry˚, y˚s “2x.
Comme l’algèbre de Lie d est nilpotente (tous les crochets de crochets sont nuls), on peut calculer le produit sur le groupe de LieD en utilisant la formule de Campbell-Hausdorff :
s1¨s2 “pa1x`b1y`α1x˚`β1y˚q ¨ pa2x`b2y`α2x˚`β2y˚q
“pa1`a2qx` pb1`b2qy` pα1`α2qx˚` pβ1`β2qy˚
`1
2rα1x˚, α2x˚s `1
2rα1x˚, β2y˚s ` 1
2rβ1y˚, α2x˚s `1
2rβ1y˚, β2y˚s
“pa1`a2qx` pb1`b2qy` pα1`α2qx˚` pβ1`β2qy˚
´α1α2y´α1β2px`yq ´β1α2px`yq ´β1β2x
“pa1`a2´α1β2´β1α2´β1β2qx
` pb1`b2´α1β2´β1α2´α1α2qy
` pα1`α2qx˚
` pβ1`β2qy˚
Déterminons maintenant le crochet de Poisson surOpDq “SpΠdq˚. On a la formule suivante : tf, gu “ ÿ
eiPtx,y,x˚,y˚u
p´1qeif´
LeipfqLe˚
ipgq ´ReipfqRe˚ ipgq¯
Pour calculer le crochet de Poisson, nous devons donc tout d’abord déterminer les opérateurs LX et RX. Soit s P D, on note Ls : dÑ sd la translation à gauche par s et Rs : dÑ ds la
translation à droite par s. En coordonnées, et avec les mêmes notations que précédemment, on a :
Ls1ps2q “pa1`a2´α1β2´β1α2´β1β2qx
` pb1`b2´α1β2´β1α2´α1α2qy
` pα1`α2qx˚
` pβ1`β2qy˚ et
Rs2ps1q “pa1`a2´α1β2´β1α2´β1β2qx
` pb1`b2´α1β2´β1α2´α1α2qy
` pα1`α2qx˚
` pβ1`β2qy˚ Alors pourX Pdon définit
LX :
"
OpDq Ñ OpDq
f ÞÑ sÞÑXpf ˝Lsq , RX :
"
OpDq Ñ OpDq f ÞÑ sÞÑXpf ˝Rsq
Dans notre exemple, d a pour base tx, y, x˚, y˚u; notons tξ, η, ξ˚, η˚u la base duale sur d˚1. On calcule f ˝Ls1 pour les éléments de base ded˚ :
ξ˝Ls1 “ξps1q `ξ´ξ˚ps1qη˚´η˚ps1qξ˚´η˚ps1qη˚ η˝Ls1 “ηps1q `η´ξ˚ps1qη˚´η˚ps1qξ˚´ξ˚ps1qξ˚ ξ˚˝Ls1 “ξ˚ps1q `ξ˚
η˚˝Ls1 “η˚ps1q `η˚ de même pour f ˝Rs2 :
ξ˝Rs2 “ξ`ξps2q ´ξ˚η˚ps2q ´η˚ξ˚ps2q ´η˚η˚ps2q η˝Rs2 “η`ηps2q ´ξ˚η˚ps2q ´η˚ξ˚ps2q ´ξ˚ξ˚ps2q ξ˚˝Rs2 “ξ˚`ξ˚ps2q
η˚˝Rs2 “η˚`η˚ps2q De là on tire d’une part
Lxpξq “1 Lypξq “ 0 Lx˚pξq “η˚ Ly˚pξq “ξ˚`η˚ Lxpηq “ 0 Lypηq “1 Lx˚pηq “ξ˚`η˚ Ly˚pηq “ ξ˚ Lxpξ˚q “ 0 Lypξ˚q “0 Lx˚pξ˚q “1 Ly˚pξ˚q “0 Lxpη˚q “0 Lypη˚q “0 Lx˚pη˚q “0 Ly˚pη˚q “1
1. La formex,ypermet d’identifier les basestx, y, x˚, y˚uettξ, η, ξ˚, η˚u; cependant, pour des raisons de clarté (les lettres romaines désignent une base de l’algèbre de Lied, les lettres grecques la base correspondant sur son dual), nous maintenons les deux notations.
et d’autre :
Rxpξq “1 Rypξq “0 Rx˚pξq “ ´η˚ Ry˚pξq “ ´ξ˚´η˚ Rxpηq “0 Rypηq “1 Rx˚pηq “ ´ξ˚´η˚ Ry˚pηq “ ´ξ˚ Rxpξ˚q “0 Rypξ˚q “0 Rx˚pξ˚q “1 Ry˚pξ˚q “0 Rxpη˚q “0 Rypη˚q “ 0 Rx˚pη˚q “ 0 Ry˚pη˚q “1
On a tout ce qu’il faut pour calculer le crochet de Poisson, voici un exemple de calcul : tξ, ξu “LxpξqLx˚pξq ´RxpξqRx˚pξq
`LypξqLy˚pξq ´RypξqRy˚pξq
`Lx˚pξqLxpξq ´Rx˚pξqRxpξq
`Ly˚pξqLypξq ´Ry˚pξqRypξq
“1¨η˚´1¨ p´η˚q
`0¨ pξ˚`η˚q ´0¨ p´ξ˚´η˚q
`η˚¨1´ p´η˚q ¨1
` pξ˚`η˚q ¨0´ p´ξ˚´η˚q ¨0
“4η˚ On obtient donc :
tξ, ξu “4η˚ tξ, ηu “4pξ˚`η˚q tξ, ξ˚u “0 tξ, η˚u “ 0 tη, ξu “4pξ˚`η˚q tη, ηu “4ξ˚ tη, ξ˚u “0 tη, η˚u “0 tξ˚, ξu “0 tξ˚, ηu “0 tξ˚, ξ˚u “0 tξ˚, η˚u “0 tη˚, ξu “0 tη˚, ηu “0 tη˚, ξ˚u “0 tη˚, η˚u “0
On a donc déterminé complètement la structure de Poisson sur D. Le groupe de Poisson-Lie impair correspondant à la bigèbre de Lie impairepΠgq˚ est le groupe G˚:“K1|1; son algèbre de fonctions polynomiales estA:“Krξ, η˚s. D’autre part, leA-module des 1-formes est donné par Ω1pAq:“Krξ, η˚sdξ‘Krξ, η˚sdη˚ et l’ancre est
$&
%
Ω1pAq Ñ DerpAq dξ ÞÑ BξB dη˚ ÞÑ BBη˚
Le crochet sur A‘Ω1pAqest donné par :
rξ, dξs “4η˚; rdξ, dξs “dtξ, ξu “4dη˚; rdξ, dη˚s “ rdη˚, dη˚s “0 On déduit le coproduit sur ΩπpG˚q à partir du produit surG :
"
GˆG ÞÑ G
pa1x`β1y˚, a2x`β2y˚q ÞÑ pa1`a2´β1β2qx` pβ1`β2qy˚ Ce qui nous donne le coproduit sur les fonctions :
OpG˚q bOpG˚q Ð OpG˚q ξb1`1bξ´η˚bη˚ Ð� ξ
η˚b1`1bη˚ Ð� η˚ ,. -: ∆S
Et comme le coproduit ∆ surΩπpG˚qdoit vérifier ∆˝d“ p1bd`db1q∆, on obtient : ΩπpG˚q bΩπpG˚q Ð ΩπpG˚q
ξb1`1bξ´η˚bη˚ Ð� ξ η˚b1`1bη˚ Ð� η˚ dξb1`1bdξ´dη˚bη˚`η˚bdη˚ Ð� dξ dη˚b1`1bdη˚ Ð� dη˚
,/ // /. // //
-: ∆
Chapitre 6
Quantification d’action d’une bigèbre de Lie impaire sur une variété de Poisson impaire.
Dans la première partie de ce travail, on s’est employé à déformer ΩZpMq en ΩπpMq, puis on a déformé UCg enΩπpG˚q. Supposons que la bigèbre de Lie impaire gagisse sur M (dans un sens à préciser plus bas), et qu’on prolonge cette action en une action ρ de UCg sur ΩZpMq. Il est alors naturel de se demander si cette action se déforme en une action de ΩπpG˚qsurΩπpMq. C’est le sujet du théorème 6.
6.1 Action d’une bigèbre de Lie impaire sur une variété de Poisson impaire.
Dans ce paragraphe, on va définir ce que signifie une action d’une bigèbre de Lie impaire g sur une variété de Poisson impaire M. En particulier, nous allons donner la condition de compatibilité entre la structure de cogèbre de Lie impaireδ degetπ, la structure de Poisson surM. Cette définition sera déduite de la définition d’une action d’une bigèbre de Lie paire sur une variété de Poisson paire. En effet, comme nous l’avons vu dans le lemme 18, à partir d’une bigèbre de Lie impaire g, on peut construire une bigèbre de Lie différentielle paire Cg“Πg‘g.
Soit ρ:gÑXpMq une action de gsur M. On peut la prolonger en une action d’algèbre de Lie deCg surΩZpMq “C8pΠT Mq(toujours notéeρ) en posant :
$&
%
Cg Ñρ EndpΩZpMqq gQX ÞÑ LX
ΠgQΠX ÞÑ ιΠX
.
Pour que cette action soit une action de la bigèbre de Lie différentielle Cg, on requiert pre-mièrement que cette action soit d-équivariante, c’est-à-dire pour u P Cg et α P ΩZpMq on ait
dpρpuqpαqq “ρpduqpαq ` p´1quρpuqpdαq
Remarques. En particulier, cette condition entraîne :
1. pour u“ΠX PΠgĂUCget α“f PC8pMq ĂΩZpMq, on obtient dpρpΠXqpfqq “ρpdΠXqpfq ` p´1qΠXρpΠXqpdfq, c’est-à-dire
dpιloomoonΠXpfq
“0
q “LXpfq ` p´1qX`1ιΠXpdfq, et donc
LXpfq “ p´1qXιΠXpdfq.
2. pour u“X PgĂUCget α“f PC8pMq ĂΩZpMq, on obtient dpρpXqpfqq “ρploomoondx
“0
qpfq ` p´1qXρpXqpdfq et donc
dLXpfq “ p´1qXLXpdfq.
La deuxième propriété qu’on exige de cette action est que ce soit une action d’une bigèbre de Lie (paire) – Cg– sur une variété de Poisson (paire) –ΠT M – dont l’algèbre des fonctions est pΩZpMq,t,upq; c’est-à-dire, pour uPCg, α, βPΩZpMqon ait :
Lutα, βup“ tLuα, βup` p´1qαutα, Luβup`multpρbρqδCgpuqpαbβq.
Remarque. Si on spécialise cette condition pour u“ X P g, α “ f P C8pMq et β “ dg P Ω1pMq, on obtient :
LXtf, dgup“ tLXf, dgup` p´1qf Xtf, LXpdgqup`multpρbρqδCgpXqpf bdgq.
En utilisant la remarque précédente, la relation tf, dgup “ tf, gu et la définition de δCg, on peut réécrire cette condition comme ceci :
LXtf, gu “ tLXf, gu ` p´1qpf`1qXtf, LXgu `multpρbρqp1bd`db1qpΠbΠqδgpXqpfbdgq On utilise maintenant l’identité tf, gu “ rf,rπ, gss (lemme 4), ce qui nous permet d’écrire :
LXrf,rπ, gss “ rLXf,rπ, gss ` p´1qpf`1qXrf,rπ, LXgss `multpρbρqp1bΠqδgpXqpf bdgq Or on a
LXrf,rπ, gss “ rLXf,rπ, gss ` p´1qf Xrf,rLXπ, gss ` p´1qpf`1qXrf,rπ, LXgss et donc
multpρbρqp1bΠqδgpXqpf bdgq “ p´1qf Xrf,rLXπ, gss
Ecrivons maintenantδgpXq “ abb` p´1qabbbaPS2g. Le membre de gauche devient : multpρbρqp1bΠqδgpXqpf bdgq “ p´1qa`pb`1qfLapfqιΠbpdgq ` p´1qab`b`pa`1qfLbpfqιΠapdgq
“ p´1qa`pb`1qf`bLapfqLbpgq ` p´1qab`b`pa`1qf`aLbpfqLapgq
“ p´1qa`pb`1qf`bra, fsrb, gs ` p´1qab`b`pa`1qf`arb, fsra, gs
“ p´1qa`pb`1qf`b`af`1rf, asrb, gs ` p´1qab`b`pa`1qf`a`bf`1rf, bsra, gs
“ p´1qpf`1qX`
rf, asrb, gs ` p´1qabrf, bsra, gs˘
“ p´1qpf`1qXrf,rab, gss
“ p´1qpf`1qX1
2rf,rab` p´1qabba, gss Le calcul précédent nous permet donc d’écrire
rf,rLXπ, gss “ p´1qX1
2rf,rab` p´1qabba, gss
et, comme les bivecteurs sont complètement déterminés par leurs action sur les fonctions, on obtient finalement :
rρpXq, πs “LXπ“ p´1qX1
2multpρbρqδgpXq On peut résumer ces conditions dans la définition suivante :
Définition. Une action ρ d’une bigèbre de Lie impaire pg,r,s, δq sur une variété de Poisson impairepM, πqest une action d’algèbre de Lie telle que la condition de compatibilité entre δ et π est vérifiée pour toutX Pg:
rρpXq, πs “LXπ“ p´1qX1
2multpρbρqδgpXq.
Remarque. Comparer cette formule avec une action d’une bigèbre de Lie (paire) sur une variété de Poisson (paire).
Remarque. SoitpG, πGqun groupe de Poisson-Lie impair. Sa bigèbre de Lie impairepg,r,sg, δgq agit naturellement surG, en identifiant les éléments de la bigèbre avec les champs de vecteurs invariants à gauche (ou à droite). Et doncCg agit sur ΩZpGq, qui est l’algèbre des fonctions de la variété de Poisson paireΠT G. Dans ce cas-là, on sait que l’action vérifie la condition :
LXtα, βup“ tLXα, βup` p´1qαXtα, LXpβqup`multpρbρqδCgpXqpαbβq.
On peut donc faire le même raisonnement que ci-dessus, et la formule de compatibilité devient dans ce cas-ci :
rXL{R, πGs “ p´1qX1
2mult˝δgpXqL{R,
où l’indiceL{R signifie qu’on translate les vecteurs/bivecteurs à gauche ou à droite.
Enonçons maintenant le résultat principal de ce chapitre :
Théorème 6. Soit ρ, une action de la bigèbre de Lie impaire g sur la variété de Poisson impaire M. On rappelle que G˚ désigne le groupe de Poisson-Lie formel dont la bigèbre de Lie est pΠgq˚. Si on note H :“ΩπpG˚qet A:“ΩπpMq, l’action ρse déforme en une action
HbAÑA
de telle sorte que cette action soit une action d’une bigèbre (H) sur une algèbre pAq, i.e.
h¨ paa1q “ php1q¨aqphp2q¨a1q, @hPH,@a, a1 PA
Avant de démontrer ce théorème, nous allons donner quelques résultats techniques.