Lemme 9. SoitS la catégorie des algèbres de Poisson impaires et des morphismes de Poisson, etDla catégorie des algèbres différentielles filtrées et des morphismes d’algèbres différentielles flitrées.
On a un foncteur contravariant
Ωπ :S ù D tel que ΩπpAq “V1
2pA‘Ω1KpAqq.
Démonstration. Définissons l’image d’un morphisme :
Soient A, B des algèbres de Poisson impaires, et ϕ : A Ñ B un morphisme d’algèbres de Poisson. Tout d’abord, remarquons que |ϕ| “ 0, puisque ϕpaa1q “ ϕpaqϕpa1q. On définit Φ :“Ωπpϕqpar :
Φ :
$&
%
A‘Ω1KpAq Ñ V1
2pB‘Ω1KpBqq AQa ÞÑ ϕpaq PB Ω1pAq Qf dg ÞÑ ϕpfqdϕpgq
Vérifions queΦ satisfait aux trois conditions pour pouvoir utiliser la propriété universelle de V1
2.
1. Φ est un homomorphisme d’algèbres de Lie. Rappelons la formule :
rpdq, f dgs “ p´1qq`1ptq, fudg` p´1qpp`q`1qff pdtq, gu ` p´1qpf`g`1qpq`1q`pfftp, gudq Alors d’une part
Φprpdq, f dgsq “Φpp´1qq`1ptq, fudg` p´1qpp`q`1qff pdtq, gu
` p´1qpf`g`1qpq`1q`pfftp, gudqq
“ p´1qq`1ϕpptq, fuqdϕpgq ` p´1qpp`q`1qfϕpf pqdϕptq, guq
` p´1qpf`g`1qpq`1q`pfϕpftp, guqdϕpqq
“ p´1qq`1ϕpptq, fuqdϕpgq ` p´1qpp`q`1qfϕpf pqdϕptq, guq
` p´1qpf`g`1qpq`1q`pfϕpftp, guqdϕpqq
Et d’autre part :
rΦppdqq,Φpf dgqs “ rϕppqdϕpqq, ϕpfqdϕpgqs
“ p´1qq`1ϕppqtϕpqq, ϕpfqudϕpgq ` p´1qpp`q`1qfϕpf pqdtϕpqq, ϕpgqu
` p´1qpf`g`1qpq`1q`pfϕpfqtϕppq, ϕpgqudϕpqq
“ p´1qq`1ϕpptq, fuqdϕpgq ` p´1qpp`q`1qfϕpf pqdϕptq, guq
` p´1qpf`g`1qpq`1q`pfϕpftp, guqdϕpqq
2. Φ|A est un homomorphisme de super-algèbres : c’est le cas carΦ|A “ϕ.
3. Φpa¨f dgq “Φpaq bΦpf dgq ` p´1qapf`g`1q12Φprf dg, asq En effet :
Φpa¨f dgq “ϕpafqdϕpgq et
Φpaq bΦpf dgq ` p´1qapf`g`1q1
2Φprf dg, asq
“ϕpaq bϕpfqdϕpgq ` p´1qapf`g`1q`g`11
2ϕpftg, auq
“ϕpaq bϕpfqdϕpgq ` p´1qapf`g`1q`g`11
2ϕpftg, auq
“ϕpaqϕpfqdϕpgq ´ p´1qapf`g`1q`g`11
2ϕpftg, auq
` p´1qapf`g`1q`g`11
2ϕpftg, auq
“ϕpafqdϕpgq
CommeΦ vérifie ces trois conditions-là, il passe en un morphisme d’algèbres (encore notéΦ) V1
2pA‘Ω1KpAqq ÑV1
2pB‘Ω1KpBqq
Finalement cette association vérifie clairement les conditions pour être un foncteur.
Lemme 10.SoitAla catégorie des variétés de Poisson impaires et des morphismes de Poisson, etD la catégorie des algèbres différentielles filtrées et des morphismes d’algèbres différentielles flitrées.
On a un foncteur contravariant
Ωπ :Aù D tel que ΩπpMq “V1
2pApMq ‘Ω1ZpApMqqq.
Démonstration. Ce lemme découle du précédent et du fait que l’application can : Ω1KpAq Ñ Ω1ZpAqdéfinie au paragraphe 2.4 est surjective pourA“C8pMq, l’algèbre des fonctions d’une super variété.
Chapitre 4 Exemples
Dans ce chapitre, nous allons exprimer explicitement les algèbres ΩπpMq pour le cas où la variété de Poisson impaire M est un point, puis dans celui où elle est le fibré cotangent impair d’une variété différentiable (paire).
4.1 Cas où M est un point
Nous allons identifier l’algèbre ΩπpMq dans le cas où la variété de Poisson impaire est M “ pΠgq˚, avec g une algèbre de Lie (complètement paire). En d’autre termes, en tant qu’espace annelé, M “ ptptu, SΠgq, et la structure de Poisson impaire t,u sur M est le crochet de Schouten (Poisson impair) surSΠg.
Dans cette situation purement algébrique (la variété sous-jacente est un point), les algèbres de Lie-Rinehart Ω1K et Ω1Z sont identiques ; nous emploierons ici la première. On a d’autre partΩKpMq “SgbΛg.
Notations. On note dans la suite parUg:“ pUg, mUg,∆qla bigèbre enveloppante degmunie du coproduit ∆pour lequel les éléments de gĂUgsont primitifs.
On notera encore SΠg“Λgl’algèbre symétrique de Πg(ou l’algèbre extérieure de g).
Remarques. L’algèbre de Lie gagit à droite surΠgpar l’action adjointe :
"
Πgˆg Ñ Πg pΠX, Yq ÞÑ ΠrX, Ys
On peut étendre cette action en une action sur SΠg. On a donc une flèche d’algèbres de Lie gÑEndpSΠgq. Elle induit une flèche d’algèbres UgÑEndpSΠgq, c’est-à-dire une action à droite de UgsurSΠg. On noterað cette action.
On gradue l’algèbre SΠg de manière naturelle ; l’algèbre Ug est quant à elle complètement paire.
Définition. Produit croisé de Ug et SΠg. Le produit croisé de ces deux algèbres est l’algèbre différentielle filtrée définie par les données suivantes. En tant que super espace vec-toriel, c’est le produit tensoriel UgbSΠg.
Le produit est donné par la composition :
pidbmSΠgq ˝ pmUgbðbidq ˝ pidbσbidbidq ˝ pidbidb∆bidq
Il est ici peut-être préférable d’écrire cette composition en langage diagrammatique1. On désignera par la composante Ug et par la composante SΠg. Le symbole désigne la multiplication dans Ug, le symbole le coproduit de Ug, le symbole la multiplication dans SΠg et le symbole l’action à droite ð de Ug sur SΠg. Dans ce langage, le produit croisé s’écrit de la manière suivante :
La différentielle – impaire – est déterminée par la formule : dp1bΠxq “xb1, pourΠxPΠg, puis prolongée par dérivation. Et finalement, la filtration provient de celle de Ug.
Remarque. Le produit croisé Ugb SΠg est une algèbre associative. Pour le voir, il est pratique de faire le calcul diagrammatique :
= = =
Remarque. Ugb1 et1bSΠg sont des sous-algèbres du produit croiséUgbSΠg; d’autre part ces deux sous-algèbres sont génératrices :
ubλ“ pub1qp1bλq,@uPUg,@λPSΠg.
Lemme 11. L’algèbreΩπpMq est isomorphe au produit croiséUgbSΠg. Démonstration. En effet, l’homomorphisme d’algèbres
ϕ:
$&
%
Ωπ ÝÑ UgbSΠg
f ÞÝÑ 1bf
df ÞÝÑ ř
kxkb BxBfk ´ 12 bř
ktxk,BxBfku est bien défini. En effet, on vérifie que l’idéal I s’envoie sur0 :
1. Pour la première relation, on vérifie que les deux applications suivantes , pourλPSΠg, αλ :
"
SΠg ÝÑ UgbSΠg µ ÞÝÑ 1b tλ, µu
1. Pour un exposé plus complet sur le langage diagrammatique, se référer par exemple à [9]. Nous avons en outre ici utilisé le code LATEX utilisé par T. Johnson-Freyd dans [9] pour représenter les diagramme, généreusement mis à disposition sur son site.
et
βλ:
"
SΠg ÝÑ UgbSΠg µ ÞÝÑ r1bλ, dp1bµqs
sont des dérivations qui coïncident sur les éléments deg. Elles sont donc égales.
2. On peut montrer la seconde relation par récurrence sur le degré def.
Cette relation nous définit une différentielle surΩπ. Vérifier qu’elle est bien danskerpϕq revient à montrer queϕcommute à la différentielle, c’est-à-dire queϕest un morphisme d’algèbres différentielles.
3. La troisième relation est la conséquence différentielle de la première, elle est donc automatiquement satisfaite.
Par ailleurs, l’homomorphisme ψ:
$&
%
Ωπ ÐÝ UgbSΠg f ÐÝ� 1bf dx ÐÝ� xb1,
pour xPgĂUg, est aussi bien défini. En effet, on vérifie que l’idéal de Tg engendré par les éléments de la forme
pxby´ybx´ tx, yuq b1, x, yPg est dans le noyau de ψ.
Ces deux homomorphismes étant inverse l’un de l’autre, il s’ensuit que les algèbres sont isomorphes.