Théorème

Dans cette section, nous démontrons le théorème 5 qui dit que les déformations filtrées de UCg sont en bijection avec les structures de Lie impaires sur g. Au cours de la preuve, on s’aidera de la construction faite lors de la preuve du théorème 4 et on identifiera les déformations filtrées deUCgavecΩπpG^˚q, les déformations des formes du groupe de Poisson-Lie impair G^˚, défini ci-après.

Définition. On dit qu’un espace vectoriel V muni d’une filtration décroissante V “ V⁰ Ą V¹Ą. . .est complets’il est complet par rapport à la métrique :

dpu, vq “2^´degpu´vq avec degpu´vq “maxtn|u´vPVⁿu.

Si l’espace vectoriel V muni de la filtration V “V⁰ ĄV¹ Ą. . . n’est pas complet, on notera Vp son complété, i.e. la limite projective du systèmetV{Vⁱu.

Définition. Groupe de Poisson-Lie dual impair G^˚. Soit pg,r,s, δq une bigèbre de Lie impaire. Son dual impair pΠgq^˚ est donc aussi une bigèbre de Lie impaire (pour plus de précisions, voir la section 6.2). On définit G^˚ comme étant le groupe de Poisson-Lie formel correspondant à pΠgq^˚; son algèbre de fonctions OpG^˚q “ zSΠg est le complété de l’algèbre des polynômes, c’est-à-dire l’algèbre des séries formelles ; les champs de vecteurs sur G^˚ sont donnés parzSΠgbpΠgq^˚; les formes surG^˚sont données parΩpG^˚q »zSΠgbSg(en particulier, les 1-formes sont données par Ω¹pG^˚q »zSΠgbg).

Le théorème suivant est un des résultats principaux de ce travail.

Théorème 5. Soit pg,r,sq une super algèbre de Lie. Il existe une bijection naturelle entre les déformations filtrées complètes de UpCgq et les structures de bigèbre de Lie impaires compatibles avec pg,r,sq.

Démonstration. Soit H une déformation filtrée de UCg, notons ∆ son coproduit et ∆^op :“ σ˝∆ son coproduit opposé, où σ est la transposition. Notons encore ∆ le coproduit sur le gradué associé GrpHq.

Sur H, on définit δˆ:H ÑHbH par

ˆδ :“ p1bdq ˝ p∆´∆^opq.

Affirmation. δˆpasse au quotient H⁰{H¹ enδ :H⁰{H¹ ÑH⁰{H¹bH⁰{H¹

En effet, comme GrpHq » UpCgqest un isomorphisme d’algèbre de Hopf graduées diffé-rentielles, on a que ∆ “∆_UCg. Et donc p∆´∆^opqpH1{H2q “ p∆_UCg´∆^op_UCgqpΠgbUgq “ 0 puisque∆_UCgest cocommutative. Et doncp∆´∆^opqpH¹q Ă p∆´∆^opqpH²q ĂH²bH⁰`H<sup>1</sup>b H<sup>1</sup>`H⁰bH²; cela induit donc queδˆpH¹q “ p1bdq ˝ p∆´∆^opqpH¹q ĂH⁰bH¹`H<sup>1</sup>bH<sup>0</sup>. Finalement on a que δpH<sup>0</sup>{H<sup>1</sup>q ĂH<sup>0</sup>bH<sup>0</sup>{pH<sup>0</sup>bH<sup>1</sup>`H¹bH⁰q »H⁰{H¹‘H⁰{H¹ par le lemme 19. Ce qui prouve l’affirmation.

Comme H⁰{H¹ “GrpHq⁰»Ugon obtient

δ :UgÑUgbUg.

Montrons maintenant que δ est un cocrochet de Poisson-Lie impair.

1. δ est cocommutative :

On calcule tout d’abord :ˆδ´σδˆ“ p1bdqp∆´∆^opq ´σp1bdqp∆´∆^opq “ p1bdqp∆´

∆^opq ´ pdb1qσp∆´∆^opq “ p1bd`db1q∆´ p1bd`db1q∆^op“ p∆´∆^opqd Or, par un argument similaire à ci-dessus, on a∆´∆^oppH⁰q ĂH⁰bH¹`H<sup>1</sup>bH<sup>0</sup>, et doncpδˆ´σ˝δˆqpH<sup>0</sup>q “ p∆´∆<sup>op</sup>qdpH<sup>0</sup>q ĂH<sup>0</sup>bH<sup>1</sup>`H¹bH⁰. En passant au quotient, cela implique que pδ ´σδqpH⁰{H¹q “ 0 P pH⁰bH⁰q{pH⁰bH¹`H¹bH⁰q et δ est par conséquent cocommutative.

2. δpxyq “δpxq∆pyq ` p´1q^x∆pxqδpyq. En effet,

(a) δˆpxyq “ p1 bdqp∆ ´σ∆qpxyq “ p1 bdqp∆pxq∆pyqq ´ p1 bdqpσ∆pxqσ∆pyqq “ p1bdqp∆pxqq¨∆pyq`p´1q^x∆pxq¨p1bdqp∆pyqq´p1bdqpσ∆pxqq¨σ∆pyq´p´1q^xσ∆pxq¨

p1bdqpσ∆pyqq

(b) δˆpxq∆pyq ` p´1q<sup>x</sup>∆pxqδˆpyq “ p1b dqp∆pxq ´σ∆pxqq ¨ ∆pyq ` p´1q^x∆pxq ¨ p1b dqp∆pyq ´σ∆pyqq “ p1bdqp∆pxqq ¨∆pyq ´ p1bdqpσ∆pxqq ¨∆pyq ` p´1q^x∆pxq ¨ p1b dqp∆pyqq ´ p´1q^x∆pxq ¨ p1bdqpσ∆pyqq

Dans le quotient, ces deux expressions sont égales, vu que le coproduit y est cocom-mutatif, et doncσ∆_Ugpxq “∆_Ugpxq.

Cette relation entraîne que leδainsi construit est compatible avec la structure d’algèbre de Lie sur g. En effet, pour x, yPg:

δprx, ysq “δpxyq ´ p´1q^xyδpyxq “δpxq∆pyq ` p´1q^x∆pxqδpyq

´ p´1q^xyδpyq∆pxq ` p´1q<sup>y`xy</sup>∆pyqδpxq

“ p´1q^xp∆pxqδpyq ´ p´1q^xy`xδpyq∆pxqq

´ p´1q^{xy`y</sup>p∆pyqδpxq ´ p´1q<sup>xy`y}δpxq∆pyqq

“ p´1q^xr∆pxq, δpyqs ´ p´1q^xy`yr∆pyq, δpxqs et la conclusion suit de l’identité :

padxb1`1badxqδpyq “ r∆pxq, δpyqs.

3. δp1q “0. C’est une conséquence de la formule ci-dessus, avecx“y “1. 4. co-Leibniz

(a) p∆b1qδ “ p1bδ` p1bσqpδb1qq∆

i. p∆b1qδ “ p∆b1qp1bdqp∆´∆^opq “ p∆b1qp1bdq∆´ p∆b1qp1bdqσ∆; ii. p1bδ`p1bσqpδb1qq∆“ p1bpp1bdqp∆´σ∆qqq∆`p1bσqppp1bdqp∆´σ∆qqb

1q∆“ p1b1bdqp1b∆q∆´p1b1bdqp1bσqp1b∆q∆`p1bσqp1bdb1qp∆b1q∆´ p1bσqp1bdb1qpσb1qp∆b1q∆^∆ coass“ p1b1bdqp∆b1q∆´p1bσqp1bdb1qp1b

∆q∆`p1bσqp1bdb1qp1b∆q∆´p1bσqp1bdb1qpσb1qp1b∆q∆“ p1b1bdqp∆b 1q∆´p1b1bdqp1bσqpσb1qp1b∆q∆“ p1b1bdqp∆b1q∆´p1b1bdqp∆b1qσ∆

(b) On procède de même pour l’autre formule :p1b∆qδ “ pδb1` pσb1qp1bδqq∆ 5. Co-Jacobi.

Notons τ :“ p1bσqpσb1qla permutation de HbHbH donnée parτpabbbcq “

p´1q^apb`cqbbcba.

On veut montrer l’identité de co-Jacobi, à savoir : pid`τ `τ²qpδb1qδ“0 où l’égalité a lieu dans

UCg b UCg b UCg»H⁰{H¹bH⁰{H¹bH⁰{H¹

»H⁰bH⁰bH⁰{ à

p`q`r“1

H^pbH^qbH^r L’identité de co-Jacobi est donc équivalente à ce que

pid`τ `τ²qpδˆb1qδˆpH⁰q Ă à

p`q`r“1

H^pbH^q bH^r

ce que nous allons maintenant montrer. Commençons par quelques calculs prélimi-naires :

(a)

pˆδb1qδˆ“ pp1bdqp∆´∆^opq b1qp1bdqp∆´∆^opq

“ pp1bdbdqpp∆´∆^opq b1qp∆´∆^opq (5.1) (b) i. τ²p1bdbdq “ ´pdb1bdqτ²

ii. τ²pp∆´∆^opq b1q “ p1b p∆´∆^opqqσ On calcule maintenant :

τ²pδˆb1qˆδ “τ²p1bdbdqpp∆´∆^opq b1qp∆´∆^opq

“ ´pi. db1bdqτ²pp∆´∆^opq b1qp∆´∆^opq

ii.“ ´pdb1bdqp1b p∆´∆^opqqσp∆´∆^opq

“ pdb1bdqp1b p∆´∆^opqqp∆´∆^opq

(5.2)

(c) i. τp1bdbdq “ pdbdb1qτ

ii. τp1b p∆´∆^opqq “ pp∆´∆^opq b1qσ iii.

p1bp∆´∆^opqqp∆´∆^opq “ p1b p∆´∆^opqq∆´ p1b p∆´∆^opqqσ∆

“ p1b p∆´∆^opqq∆´τ²pp∆´∆^opq b1q∆

“ r1´ p1bσq ´τ²` pσb1qp1bσqpσb1qsp∆b1q∆ iv.

pp∆´∆^opq b1qp∆´∆^opq “ pp∆´∆^opq b1q∆´ pp∆´∆^opq b1qσ∆

“ r1´ pσb1q ´τ ´ pσb1qp1bσqpσb1qsp∆b1q∆

v.

p1b p∆´∆^opqqp∆´∆^opq ´ pp∆´∆^opq b1qp∆´∆^opq

“ rpσb1q ´ p1bσq `τ ´τ²sp∆b1q∆ vi.

τpp∆´∆^opq b1qp∆´∆^opq^iv.“ rτ ´ p1bσq ´τ²` pσb1qsp∆b1q∆ De v. et vi. on tire :

τpp∆´∆^opq b1qp∆´∆^opq

“ p1b p∆´∆^opqqp∆´∆^opq ´ pp∆´∆^opq b1qp∆´∆^opq et donc

τpδˆb1qˆδ “ pdbdb1qp1b p∆´∆^opq ´ p∆´∆^opq b1qp∆´∆^opq (5.3) On remarque encore

p1bd`db1qp∆´∆^opq “ p∆´∆^opqd (5.4) et

´ pdbdq “ p1bdqpdb1`1bdq (5.5) Et finalement on calcule

p1`τ `τ²qpδˆb1qδˆp1q,p2q,p3q

“ p1bdbd´dbdb1qpp∆´∆^opq b1qp∆´∆^opq

` pdb1bd`dbdb1qp1b p∆´∆^opqqp∆´∆^opq

p5q

“ pp1bdqp∆´∆^opq b1qp1bdqp∆´∆^opq

` pp1bdqpdb1`1bdqp∆´∆^opq b1qp∆´∆^opq

` pdb p1bd`db1qqp1b p∆´∆^opqqp∆´∆^opq

p4q

“ pp1bdqp∆´∆^opq b1qp1bdqp∆´∆^opq

` pp1bdqp∆´∆^opqdb1qp∆´∆^opq

` pdb1qp1b p∆´∆^opqqp1bdqp∆´∆^opq

“ pδˆb1qp1bd`db1qp∆´∆^opq

` p1b p∆´∆^opqqpdb1qp1bdqp∆´∆^opq

p4q“ pδˆb1qp∆´∆^opqd` p1b p∆´∆^opqqpdb1qδˆ et donc

p1`τ `τ²qpδˆb1qδˆ“ pδˆb1qp∆´∆^opqd` p1b p∆´∆^opqqpdb1qδˆ Examinons maintenant le membre de droite :

pδˆb1qp∆´∆^opqd:H⁰ Ñ^d H^{0 ∆´}Ñ^∆opH⁰bH¹`H¹bH⁰

ˆδb1

Ñ H⁰bH⁰bH¹`H<sup>0</sup>bH<sup>1</sup>bH<sup>0</sup>`H¹bH⁰bH⁰

et

p1b p∆´∆^opqqpdb1qδˆ:H^0pdÑ^b1qˆδH⁰bH⁰

1bp∆´∆^opq

Ñ H⁰bH⁰bH¹`H⁰bH¹bH⁰ ce qui achève de montrer l’identité de co-Jacobi.

Finalement on voit que δpgq Ăgbget donc que δ|^g est un cocrochet de Lie impair. (utilise : co-Leibniz etδp1q “ 0) :

Soit xPget écrivonsδpxq “ ubv, avec et u, vPUg.

Calculons :

p∆b1qδpxq “ p1bδ` p1bσqpδb1qq∆pxq

“ p1bδqp1bx`xb1q ` p1bσqpδb1qp1bx`xb1q

“1bδpxq ` p1bσqpδpxq b1q

“1bubv`ub1bv

“ p1bu`ub1q bv

On a donc p∆b1qpubvq “ p1bu`ub1q bv, et donc uPg. On montre que v Pg de la même manière, en utilisant l’autre identité de co-Leibniz.

On a donc, à partir de H, une déformation filtrée de UCg, construit un cocrochet de Lie δ surgqui est compatible avec la structure d’algèbre de Lie.

Dans l’autre sens, soit pg,r,s, δq une bigèbre de Lie impaire et considérons le groupe de Poisson-Lie dual impair G^˚ correspondant. On va montrer que ΩπpG^˚q, avec une nouvelle filtration, est une déformation filtrée de UCg. Pour ce faire on définit

ϕ1 :zSΠg»OpG^˚q ÑOpG^˚q ĂΩπpG^˚q ϕ2 :

"

Sg Ñ ΩπpG^˚q

ř

σPS_nXσp1qb. . .bXσpnq ÞÑ ř

σPS_ndΠXσp1q¨ ¨ ¨dΠXσpnq

On en déduit une application ϕ:

"

ΩpG^˚q » zSΠgbSg Ñ ΩπpG^˚q αbβ ÞÑ ϕ1pαqϕ2pβq

Si on définit sur ΩpG^˚q la filtration croissante ΩpG^˚q^ďn :“zSΠgbS^ďng, alors ϕ est une ap-plication linéaire surzSΠg compatible avec la filtration.

Considérons maintenant Grpϕq: elle est égale à idΩpG^˚q et donc ϕ est un isomorphisme d’es-paces vectoriels.

De plus, commeSgetUgsont isomorphes en tant qu’espaces vectoriels, on a un isomorphisme d’espaces vectorielsΩπpG^˚q »zSΠgbUg. On utilise cet isomorphisme pour définir surΩπpG^˚q la filtration décroissante (’) donnée par

F^1ěi:“S{^ěiΠgbUg.

On veut montrer que UCg»Gr¹pΩπpG^˚qq (gradué par rapport à la filtration décroissante).

Pour ce faire on définit : ψ:

$&

%

Cg Ñ Gr¹pΩπpG^˚qq ΠX ÞÑ ΠX PGr¹¹pΩπpG^˚qq

X ÞÑ dΠX PGr¹⁰pΩπpG^˚qq

C’est un morphisme d’algèbre de Lie différentielles graduées (qui inverse la graduation).

En effet :

1. (a) ψprΠX,ΠYsq “0;

(b) d’autre part, rψpΠXq, ψpΠYqs “ rΠX,ΠYs “ 0 car les fonctions commutent dans Ωπ.

2. (a) ψprΠX, Ysq “ψpΠrX, Ysq “ΠrX, Ys;

(b) rψpΠXq, ψpYqs “ rΠX, dΠYs “ rΠX, dΠYs “ rΠX, Ys “ΠrX, Ys.

3. (a) ψprX, Ysq “dΠrX, Ys “ rX, Ys;

(b) rψpXq, ψpYqs “ rdΠX, dΠYs “ rdΠX, dΠYs “ rX, Ys.

Le morphisme ψpasse donc en un morphisme d’algèbres associatives différentielles graduées : ψ˜:UCgÑGr¹pΩπpG^˚qq.

Pour montrer que c’est un isomorphisme, nous allons l’identifier comme étant le gradué d’un isomorphisme. Le théorème de Poincaré-Birkoff-Witt nous donne un isomorphisme

SzΠgbUgÑzSΠgbSg.

En le composant avec ϕ, on obtient un isomorphisme de zSΠg-modules libres χ:zSΠgbUgÑΩπpG^˚q

qui est donc compatible avec la filtration F¹. Le graduéGr¹pχqest égal à ψ˜ :

En effet, le théorème de Poincaré-Birkoff-Witt nous dit que, si on choisit un ordre sur une basetXiudeg, alors les monômesXi₁Xi₂¨ ¨ ¨Xi_n, avecně0eti1 ďi2 ď ¨ ¨ ¨ ďin forment une base de l’algèbre enveloppante Ug. Comme Gr¹pχq est un isomorphisme, il envoie une base sur une base, et donc les monômes dΠX1dΠX2¨ ¨ ¨dΠXn forment une base de Gr¹pΩπpG^˚qq; c’est aussi l’image des éléments de la base parψ. Le morphisme˜ ψ˜est donc un isomorphisme.

L’isomorphisme d’algèbres différentielles filtrées χ est de plus un isomorphisme de co-gèbres :

Rappelons tout d’abord que, comme tantzSΠgbUgqueΩπpG^˚qsont des algèbres filtrées dont le coproduit respecte la filtration, le coproduit∆passe au gradué (lemme 20). Rappelons que le coproduit sur UCgest celui pour lequel les éléments deCgsont primitifs, tandis que celui sur ΩpG^˚q est déduit du produit sur G. Pour voir que ψ˜ est un morphisme de cogèbres, il suffit de vérifier que cette application envoie les éléments primitifs de UCgsur des éléments primitifs de ΩpG^˚q, et donc examiner la restriction deGrpχqà Cg.

En réalité, on peut se contenter de vérifier cette propriété pour ΠgĂCg. En effet, elle impli-quera celle pourgĂCg, en utilisant les relationsp1bd`db1q∆“∆detGrpχqd“dGrpχq.

Soit donc maintenant ΠX P Πg; comme il est primitif, son coproduit dans UCg est donné par

∆_UCgpΠXq “1bΠX`ΠX b1.

Et comme Grpχqenvoie SΠgĂUCg identiquement dansSΠgĂΩpG^˚q, on a pGrpχq bGrpχqq ˝∆_UCgpΠXq “1bΠX`ΠX b1.

Explicitons maintenant le coproduit∆ΩπpG^˚q sur les éléments deΠg, dont nous calculerons le gradué et examinerons la partie de graduation 1.

Considérons le produit surpG^˚,¨q “ ppΠgq^˚,¨^CHq, l’algèbre de LiepΠgq^˚ munie du produit de Campbell-Hausdorff :

"

pΠgq^˚ˆ pΠgq^˚ Ñ pΠgq^˚

pα, βq ÞÑ α¨CHβ :“α`β` ¹₂rα, βs `. . . Son pullback est donné par :

$&

%

Πg Ñ pSpΠgq^˚bSpΠgq^˚q^˚

ΠX ÞÑ rαbβÞÑ p´1q^pα`βqpX`1qpα¨CH βqpΠXq

“ p´1q^pα`βqpX`1qpαpΠXq `βpΠXq ` ¹2rα, βspΠXq `. . .qs

Afin d’identifier le but de l’application précédente avecSΠgbSΠg, on utilise l’isomorphisme ϕ:

"

SΠgbSΠg Ñ pSpΠgq^˚bSpΠgq^˚q^˚

AbB ÞÑ rαbβÞÑ p´1q^Aα`Bpα`βqαpAqβpBqs où|α| “ |A|et|β| “ |B|. Calculons :

ϕpΠXb1`1bΠX` 1

2δΠgpΠXq `. . .qpαbβq

“ϕpΠX b1qpαbβq `ϕp1bΠXqpαbβq ` 1

2ϕpδΠgpΠXq `. . .qpαbβq

“ p´1q<sup>X`1</sup>αpΠXq ` p´1q<sup>X`1</sup>βpΠXq ` 1

2p´1q^pα`βqpX`1qrα, βspΠXq `. . . Cela nous dit que le coproduit de l’élémentΠX PΩπpG^˚q est donné par

∆ΩπpG^˚qpΠXq “ΠXb1`1bΠX` termes de filtration plus grande que 1.

Au niveau du gradué, on obtient donc la formule désirée pour ΠX PΠg pGrpχq bGrpχqq ˝∆_UCgpΠXq “ ∆Ω_πpG^˚q˝GrpχqpΠXq, ce qui implique queχest un morphisme de cogèbres.

Remarque. Si on suppose que la bigèbre de Lie gest conilpotente, i.e.pΠgq^˚ est nilpotente, alors on peut remplacer les séries formelles par des polynômes dans la preuve et on obtient une déformation filtrée (non complète) H telle qu’il existe une bijection d’espaces vectoriels filtrés UCgÑH dont le gradué est l’identité id_UCg:UCgÑUCget ∆ :H ÑHbH, sans complétion.

Dans le document Variétés de Poisson impaires, bigèbres de Lie impaires et leurs quantifications (Page 74-81)