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Donner un équivalent en de .

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Texte intégral

(1)

PanaMaths Avril 2013 Donner un équivalent en  de

1 n k

k

.

Analyse

Un simple modification de la somme proposée permet de faire apparaître une somme de Riemann dont on connaît la limite …

Résolution

On a facilement :

1

1

1 2

...

1

n

k

n

k

k n n

n n n

n n k

n n

 

     

 

La somme

1

1 n

k

k

n

n est une somme de Riemann associée à la fonction racine carrée sur l’intervalle

 

0 ;1 . Comme cette fonction y est continue, on a : 1

1 0

lim 1

n

n k

k xdx

n n



.

Mais :

1 3 1 3 3

1 1

2 2 2 2

0 0

0

2 2 2

1 0

3 3 3

xdx x dxx   

      

   

 

.

On a donc

1

1 2

lim 3

n

n k

k

n n



soit lim 1 23

n

k n

k n n



, soit encore : lim 1 1 2

3

n

k n

k n n



.

Finalement :

1

2 3

n k

k n n



Résultat final

1

2 3

n

k

k n n



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