PanaMaths Avril 2013 Donner un équivalent en de
1 n k
k
.
Analyse
Un simple modification de la somme proposée permet de faire apparaître une somme de Riemann dont on connaît la limite …
Résolution
On a facilement :
1
1
1 2
...
1
n
k
n
k
k n n
n n n
n n k
n n
La somme
1
1 n
k
k
n
n est une somme de Riemann associée à la fonction racine carrée sur l’intervalle
0 ;1 . Comme cette fonction y est continue, on a : 11 0
lim 1
n
n k
k xdx
n n
.Mais :
1 3 1 3 3
1 1
2 2 2 2
0 0
0
2 2 2
1 0
3 3 3
xdx x dx x
.On a donc
1
1 2
lim 3
n
n k
k
n n
soit lim 1 23n
k n
k n n
, soit encore : lim 1 1 2
3
n
k n
k n n
.
Finalement :
1
2 3
n k
k n n
Résultat final
1
2 3
n
k
k n n