I. Obtenir un équivalent

Analyse asymptotique

¦ On traite principalement (mais pas uniquement) le cas des suites.

I. Obtenir un équivalent

¦ Les équivalents usuels : sin(x) ∼

x→0x; cos(x)−1 ∼

x→0−x²

2 ; exp(x)−1 ∼

x→0x; ln(1+x) ∼

x→0x; (1+x)^α−1 ∼

x→0αx (αindépendant dex). Les opérations autorisées :

• Siun∼wnetvn∼tn, alorsunvn∼wntn(produit) ;

• Siu_n∼w_netv_n∼t_n, alorsu_n/v_n∼w_n/t_n(quotient) ;

• Siun∼vnetvn>0 à partir d’un certain rang, alorsun>0 à partir d’un certain rang et quel que soitα∈R(indépendant den),u_n^α∼v_n^α.

On peut aussi utiliser : siu_n−−−−−→_n

→+∞ `avec`une limite finie et non nulle, alorsu_nn ∼

→+∞`.

Exercice 1.Équivalent deu_n=e^1/n

³ cos³

p1 n

´

−1´2

nln(n) . B On ne peut pas faire de sommes d’équivalents :

un∼wnetvn∼tn =6==Â un+vn∼wn+tn

Plusieurs possibilités dans ce cas :

• Revenir à la définition, rappelons que :

un∼vn ≺===Â un

vn −−−−−→

n→+∞ 1 Par exemple, on considèreun=p

n+1+p

n+2. On sait quep

n+1_n ∼

→+∞

pnetp

n+2_n ∼

→+∞

pn.

Onimaginedonc queun ∼

n→+∞2p

n. On ne peut cependant pas l’affirmer directement car au- cun résultat du cours ne permet de faire de somme d’équivalents. On considère le quotient :

un

2p n =1

2

³r n+1

n

−−−−−→_n→+∞ ¹ +

rn+2 2

−−−−−→_n→+∞ ¹

´

−−−−−→

n→+∞ 1

1

Ainsi un

2p

n −−−−−→

n→+∞ 1, donc par définitionun ∼

n→+∞2p n;

• Déterminer quel est le terme prépondérant dans la somme. Par exemple, sachant que ln(n)= o(n), on an+ln(n)=n+o(n) et on en déduit quen+ln(n)∼n;

• Traduireun∼wnetvn∼tnavecun=wn+o(wn) etvn=tn+o(tn) puis faire la somme : sin2

n+ r

1+1 n =2

n+o µ1

n

¶ +1

n+o µ1

n

¶

= 3 n+o

µ1 n

¶

∼3 n

¦ Il est important de noter que :un∼vn≺=Âun−vn=o(vn)≺=Âun=vn+o(vn).

II. Obtenir un développement asymptotique

¦ Les relations usuelles de négligeabilité :

• Siα∈R^etβ>0, alors (lnn)^α=o(n^β) ;

• Siα∈Retβ>0, alorsn^α=o(e^βn) ;

• Siα∈R^eta>1, alorsn^α=o(aⁿ) ;

• Sia∈R, alorsaⁿ=o(n!).

Les opérations autorisées :

• Siun=o(wn) etvn=o(wn), alorsun+vn=o(wn) ;

• Siun=o(wn) etvn=o(tn), alorsunvn=o(wntn) ;

• Siun=o(wn), alorsunvn=o(vnwn) ;

• On a les mêmes résultats en remplaçant o par O.

On peut aussi utiliser : siun−−−−−→

n→+∞ 0, alorsun=o(1) (réciproque vraie).

Exercice 2.Déterminer un développement asymptotique dep

xln(1+x) lorsquex→ +∞.

¦ On peut aussi revenir à la définition :un=o(vn)≺=Âun

vn −−−−−→

n→+∞ 0.

Exemple. On considère f(x)=exp(−1/x²). On imagine que f(x)= o

x→0(x²). Pour le justifier, on considère le quotient :

f(x) x² = 1

x²exp µ

−1 x²

¶

=uexp(−u) en posantu=1/x². On a ainsiu−−−→

x→0 +∞, par croissances comparéesuexp(−u)−−−−−→

u→+∞ 0, donc par composition des limites :f(x)/x²−−−→

x→0 0 et par définitionf(x)= o

x→0(x²).

III. Quelques points supplémentaires

¦ Les résultats sur la relation O :

• Pour les opérations, les résultats sont les mêmes que pour o ;

• u_n= O

n→+∞(v_n)≺=Â µu_n

vn

¶

est bornée ;

• Siun∼vn, alorsun=O(vn) (réciproque fausse) ;

• Siun=o(vn), alorsun=O(vn) (réciproque fausse) ;

• Si (un) est bornée, alorsun=O(1) (réciproque vraie).

¦ Il faut toujours simplifier au maximum une comparaison. Pour cela, on utilise les résultats sui- vants :

• Simplifier un équivalent : siu_n∼v_netv_n∼w_n, alorsu_n∼w_n;

• Simplifier un o : siun=o(vn) etvn∼wn, alorsun=o(wn) ;

• Simplifier un O : siun=O(vn) etvn∼wn, alorsun=O(wn).

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