A PPLICATIONS LINÉAIRES

A PPLICATIONS LINÉAIRES

Dans ce chapitre, Kest l’un des corpsR ouC et I est un ensemble non vide quelconque. Tous les résultats présentés demeurent cela dit vrais sur un corpsKquelconque — à l’exception de ceux du paragraphe sur les symétries.

1 A PPLICATIONS LINÉAIRES , ÉQUATIONS LINÉAIRES

1.1 D

ÉFINITION ET PREMIERS EXEMPLES

Définition (Application linéaire) SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels. On appelleapplication linéaire de E dans F toute applicationf :E−→F qui préserve les combinaisons linéaires :

∀x,y∈E, ∀λ,µ∈K, f(λx+µy) =λf(x) +µf(y).

L’ensemble des applications linéaires deEdansF est notéL(E,F).

LorsqueE=F, on dit plutôt que f est unendomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes deEest notéL(E).

LorsqueF=K, on dit plutôt que f est uneforme linéaire de E.

Toute application linéaire f ∈ L(E,F)est un morphisme de groupes additifs, donc : f(0_E) =0_F.

Ensuite, siAest un sous-espace vectoriel deE, l’application restreinte f _Aest elle aussi linéaire. En effet, s’il est vrai pour tousx,y∈ E etλ,µ∈Kque : f(λx+µy) =λf(x) +µf(y), c’est a fortiori vrai pour tousx,y∈ A .

Enfin, pour vérifier que f est linéaire, il est suffisant de vérifier que : f(λx+y) =λf(x) +f(y) pour tousx,y∈E etλ∈K— avec UN SEUL SCALAIRE. Dans ce cas : f(λx) = f(λx+0_E) =λf(x) +f(0_E) =λf(x) +0_F =λf(x) pour tousx,y∈Eetλ,µ∈K, puis de même f(λx+µy) =f(λx) +f(µy) =λf(x) +µf(y).

Définition (Homothétie) SoientE unK-espace vectoriel etλ∈K. L’applicationλId_E est un endomorphisme deE appelé l’homothétie de E de rapportλ. En particulier : Id_E∈ L(E).

Démonstration Pour tousx,y∈Eetα∈K: (λId_E)(αx+y) =λ(αx+y) =α(λId_E)(x) + (λId_E)(y).

Exemple L’application(x,y)7−→^f x,x+y,x−2y

est linéaire deR²dansR³. Démonstration Pour tous(x,y),(x^′,y^′)∈R²etλ∈R:

f€

λ(x,y) + (x^′,y^′)Š

= f λx+x^′,λy+y^′

=€

λx+x^′, λx+x^′

+ λy+y^′

, λx+x^′

− 2λy+2y^′Š

=λ x,x+y,x−2y

+ x^′,x^′+y^′,x^′−2y^′

=λf(x,y) +f(x^′,y^′).

Exemple

• Pour toutx∈K, l’applicationP7−→P(x)d’évaluation enx est uneFORMElinéaire deK[X].

• Pour toutA∈K[X], l’applicationP7−→APde multiplication parAest un endomorphisme deK[X].

• Pour toutQ∈K[X], l’applicationP7−→P◦Qde compositionÀ DROITEparQest un endomorphisme deK[X].

• L’applicationP7−→P^′ de dérivation est un endomorphisme deK[X].

Exemple

• Pour tout intervalleI, l’applicationf 7−→ f^′est linéaire deD(I,R)dansR^Rou deC¹(I,R)dansC(I,R). Comme elle envoieC^∞(I,R)dans lui-même, c’est également un endomorphisme deC^∞(I,R).

• L’applicationf 7−→

Z 1

0

f est uneFORMElinéaire deC [0, 1],R .

• L’applicationu7−→ lim

n→+∞u_nest uneFORMElinéaire de l’espace vectoriel des suites réelles convergentes.

Exemple

• L’application(x,y)7−→^ϕ x+y+1N’estPASlinéaire deR²dansRcarϕ(0, 0) =16=0.

• L’application(x,y)7−→^ψ x²+y²N’estPASlinéaire deR²dansRcarψ 2(1, 1)

=ψ(2, 2) =86=4=2ψ(1, 1).

Définition-théorème (Application linéaire canoniquement associée à une matrice)SoitA∈ M_n,p(K). L’application X 7−→AX est linéaire deK^pdansKⁿet appelée l’application linéaire canoniquement associée à A. Je la noterai souventAb dans ce cours mais il ne s’agit pas là d’une notation universelle.

L’applicationX 7−→AX est définie deK^pdansKⁿet non l’inverse pour une simple raison de compatibilité des formats.

Pour tousA∈ M_p,q(K)etB∈ M_q,r(K): ABc =Ab◦Bb car pour toutX∈K^r : c

AB(X) = (AB)X=A(BX) =A(BX) =b Ab bB(X)

=A◦b bB(X).

Exemple L’application linéaire canoniquement associée à

_{0 1 2}

3 4 5

est l’application(x,y,z)7−→(y+2z, 3x+4y+5z) deR³dansR².

Définition-théorème (Formes coordonnées relativement à une base) Soit EunK-espace vectoriel. On suppose queEpossède une baseB= (e_i)_i∈I. Pour touti∈I, l’application qui associe à tout vecteur deEsa coordonnée dansB selon le vecteure_i est une forme linéaire deEappelée lai^èmeforme coordonnée de E(dansB).

Démonstration Soientx,y∈Ede coordonnées respectives(x_i)_i∈I,(y_i)_i∈IdansBetλ∈K. Le vecteurλx+y admet λx_i+ y_i

i∈I pour coordonnées dansB car : λx+ y= λX

i∈I

x_ie_i+X

i∈I

y_ie_i =X

i∈I

λx_i+y_i

e_i. En particulier, pour touti∈I, la coordonnée selone_ideλx+yestλx_i+y_i. C’est la linéarité souhaitée !

Exemple

• Les formes coordonnées de Rⁿ pour sa base canonique sont, dans cet ordre, les applications (x₁, . . . ,x_n)7−→ x₁, (x₁, . . . ,x_n)7−→x₂, . . . ,(x₁, . . . ,x_n)7−→x_n.

• Les formes coordonnées deR_n[X]pour sa base canonique sont, dans cet ordre, les applicationsP7−→a₀,P7−→a₁, . . . ,P7−→a_nsi on notea₀, . . . ,a_nles coefficients deP: P=a_nXⁿ+. . .+a₁X+a₀.

Définition (Isomorphisme, espaces vectoriels isomorphes) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels.

• Isomorphisme (d’espaces vectoriels) : On appelleisomorphisme(d’espace vectoriel)de E sur Ftoute application linéaire bijective deEsurF.

Lorsque E=F, on parle plutôt d’automorphisme(d’espace vectoriel)de E. L’ensemble des automorphismes deE est noté GL(E)et appelé legroupe linéaire de E.

• Espaces vectoriels isomorphes : On dit que F estisomorphe à E (en tant qu’espace vectoriel) s’il existe un isomorphisme deEsurF.

Le fait que deux espaces vectoriels soient isomorphes signifie intuitivement qu’ils sont « identiques » d’un strict point de vue vectoriel. Tout isomorphisme entre eux est comme un dictionnaire parfait pour passer de l’un à l’autre. Toute propriété vectorielle — i.e. que l’on peut exprimer en termes de combinaisons linéaires — de l’un des espaces a son analogue dans l’autre espace. Nous verrons bientôt que les isomorphismes préservent la dimension.

L’application linéaire(a,b,c)7−→^ϕ a+bX+cX²est par exemple un isomorphisme deR³dansR₂[X]. Cet isomorphisme

« géométrise »R₂[X]en en faisant une sorte de copie parfaite deR³. La coplanarité des vecteurs(0, 1, 0),(0, 0, 1)et

 0, 1,1

2

‹

se traduit dansR₂[X]par celle des vecteursX,X²etX+X² 2 .

b

R³

(1, 0, 0) (0, 0, 1)

(0, 1, 0)

 0, 1,1

2

‹

Isomorphismeϕ

b

R₂[X]

1 X²

X X+X²

2

Exemple L’applicationf 7−→^S f^′,f(0)

est un isomorphisme deC¹(R,R)surC(R,R)×R. Démonstration Pour toutf ∈ C¹(R,R), il est au moins clair queS(f)∈ C(R,R)×R.

• Linéarité : Pour tous f,g∈ C¹(R,R)etλ∈R: S(λf+g) =€

(λf+g)^′,(λf+g)(0)Š

=€

λf^′+g^′,λf(0)+g(0)Š

=λ f^′,f(0)

+ g^′,g(0)

=λS(f)+S(g).

• Bijectivité : Il n’est pas dur de comprendre que l’application T qui, à tout couple(g,a)∈ C(R,R)×R, associe la fonctionx7−→a+

Z x

0

g(t)dtde classeC¹admetSpour réciproque. AinsiT◦S=Id_C1(R,R)et S◦T =Id_C(R,R)×R.

1.2 O

PÉRATIONS SUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES

Théorème (Composition d’applications linéaires, réciproque d’un isomorphisme) SoientE,FetGtroisK-espaces vectoriels.

(i) Composition : Pour tous f ∈ L(E,F)etg∈ L(F,G): g◦f ∈ L(E,G).

En particulier, si f est un isomorphisme deEsurF etgun isomorphisme deF surG,g◦f est un isomorphisme deEsurG.

(ii) Réciproque : Si f est un isomorphisme deEsurF,f⁻¹est un isomorphisme deF surE.

En particulier, la relation d’isomorphisme entre espaces vectoriels est une relation d’équivalence — pour la réflexivité, remarquer simplement que Id_E est un isomorphisme deEpour toutK-espace vectorielE.

Démonstration

(i) Soient f ∈ L(E,F)etg∈ L(F,G). Pour tous x,y∈Eetλ∈K: g◦f

(λx+y) =g f(λx+y)

=g λf(x) +f(y)

=λg f(x)

+g f(y)

=λ g◦f

(x) + g◦f (y).

(ii) Nous savons que f⁻¹est bijective deF surE, mais est-elle linéaire ? Pour tous y,y^′∈Fetλ∈K: f⁻¹ λy+y^′

= f⁻¹€

λf f⁻¹(y)

+f f⁻¹(y^′)Š

=f⁻¹€

f λf⁻¹(y) +f⁻¹(y^′)Š

=λf⁻¹(y) +f⁻¹(y^′).

Exemple L’applicationP7−→X P^′ X²

est un endomorphisme deK[X].

Démonstration Les applicationsP7−→^α P^′,P7−→^β P X²

etP7−→^γ X Psont linéaires, doncγ◦β◦αaussi.

Exemple L’applicationf 7−→

Z1

0

f t²

dtest linéaire deC [0, 1],R

dansR. Démonstration Les applications f 7−→^α f ◦ t7−→t²

et f 7−→^β Z 1

0

f(x)dxsont linéaires, doncβ◦αaussi.

Théorème (Traduction de l’inversibilité en termes d’application linéaire canoniquement associée) Une matrice A∈ M_n(K)est inversible si et seulement si l’application linéaireAbcanoniquement associée àAest un automorphisme deKⁿ. Dans ce cas : Ab⁻¹=Ad⁻¹.

Démonstration D’après la caractérisation de l’inversibilité en termes de systèmes linéaires :

Aest inversible ⇐⇒ ∀Y ∈Kⁿ, ∃!X ∈Kⁿ, Y =AX ⇐⇒ ∀Y ∈Kⁿ, ∃!X ∈Kⁿ, Y =A(Xb )

⇐⇒ Abest un automorphisme deKⁿ.

Dans ce cas : A◦b Ad⁻¹=A AÖ⁻¹=ÒI_n=IdKn et de mêmedA⁻¹◦Ab=IdKn, donc en effet : Ab⁻¹=dA⁻¹. Exemple L’application(x,y)7−→(3x+y, 5x+2y)est un automorphisme deR².

Sa réciproque est l’application(x,y)7−→(2x−y,−5x+3y)car la matrice _{3 1}

5 2

est inversible d’inverse

_{2 −1}

−5 3

.

Théorème (Combinaisons linéaires d’applications linéaires) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels. L’ensemble L(E,F)est un sous-espace vectoriel deF^E, donc unK-espace vectoriel. En d’autres termes, toute combinaison linéaire d’applications linéaires deEdansFest une application linéaire deEdansF.

Démonstration Pour commencerL(E,F)⊂F^Eet l’application nulle x7−→0_F est linéaire deEdansF. Pour la stabilité par combinaison linéaire, soient f,g∈ L(E,F)etλ,µ∈K. Montrons queλf +µg∈ L(E,F), i.e. queλf +µgest linéaire. Pour tousx,y∈Eetα∈K:

λf +µg

(αx+y) =λf(αx+y) +µg(αx+y) =λ αf(x) +f(y)

+µ αg(x) +g(y)

=λαf(x) +λf(y) +µαg(x) +µg(y)

=α λf(x) +µg(x)

+ λf(y) +µg(y)

=α λf +µg

(x) + λf +µg (y).

Exemple L’applicationP7−→^f P X²

+2P^′(1)est un endomorphisme deK[X].

Démonstration L’applicationP 7−→P X²

est linéaire. Ensuite, P7−→^d P^′ etP 7−→^e P(1)sont linéaires, donc P7−→^e◦d P^′(1)aussi par composition. Par combinaison linéaire, f est comme voulu un endomorphisme deK[X].

Observons à présent que pour toutes f,f^′∈ L(E,F)etg,g^′∈ L(F,G): g◦ f +f^′

= g◦f

+ g◦f^′

et g+g^′

◦f = g◦f

+ g^′◦f . Attention cependant ! La relation g+g^′

◦f = g◦f

+ g^′◦f

est vraie en toute généralité sans linéarité alors que la relationg◦ f +f^′

= g◦f

+ g◦f^′

requiert à tout prix la linéarité deg. Faites l’effort de vous en convaincre.

L’énoncé qui suit repose entièrement sur l’idée que pour toutK-espace vectorielE, la composée de deux endomorphismes deEest encore un endomorphisme deE. En d’autres termes, la composition est uneLOI INTERNEsurL(E).

Théorème (AnneauL(E)) SoitEunK-espace vectoriel.

• L(E),+,◦

est un anneau, non commutatif en général, avec 1_L(E)=Id_E.

• GL(E)est le groupe des inversibles de l’anneauL(E): U L(E)

=GL(E).

On omet souvent de noter le symbole◦de composition en notant g f à la place deg◦f pour tousf,g∈ L(E).

La loi produit deL(E)est laCOMPOSITION. Pour tous f ∈ L(E)etn∈N, fⁿdésigne donc Id_Esin=0 etf ◦f ◦. . .◦f

| {z }

nfois

sin¾1. Comme dans tout anneau, deux formules importantes sont vraies dansL(E): (f +g)ⁿ=

Xn k=0

n k

‹

f^kg^n−k (formule du binôme) et fⁿ−gⁿ= (f −g) Xn−1 k=0

f^kg^n−k−1

pour tousf,g∈ L(E)QUI COMMUTENT. Il est essentiel que f etgcommutent. Pour montrer que(f +g)(f −g) = f²−g² par exemple, il faut pouvoir simplifierf gavecg f.

Démonstration Pour commencer,L(E)est un groupe commutatif pour l’addition en tant que sous-espace vectoriel deE^E.

Ensuite la composition est une loi de composition interne surL(E)car la composée de deux applications linéaires est linéaire. Cette loi est associative et admet Id_E, qui est linéaire, pour élément neutre.

Enfin, d’après le théorème précédent, la composition est distributive sur l’addition.

Exemple Les endomorphismes P 7−→^D P^′ et P 7−→^M X P deK[X] NEcommutent PAS, l’anneau L K[X]

N’est doncPAS

commutatif.

Démonstration Par exemple : D◦M(X) = X²′

=2X alors queM◦D(X) =X×X^′=X.

Définition (Endomorphisme nilpotent) Soit E unK-espace vectoriel et f ∈ L(E). On dit que f estnilpotentsi f^k=0_L(E)pour un certaink∈N^∗. Le plus petit de ces entierskest alors appelé l’indice de nilpotence de f.

Exemple Pour toutn∈N, l’endomorphismeP7−→^D P^′deK_n[X]est nilpotent d’indicen+1.

Démonstration Pour toutP ∈K_n[X]: P⁽ⁿ⁺¹⁾ =0, donc Dⁿ⁺¹=0_L(K_n[X]), doncDest nilpotent d’indice inférieur ou égal àn+1. L’égalité Xⁿ(n)

=n! montre cependant queDⁿ6=0_L(K_n[X]), doncDest d’indicen+1 exactement.

1.3 I

MAGE D

’

UN SOUS

-

ESPACE VECTORIEL

Théorème (Image d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire) SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels et f ∈ L(E,F). Pour tout sous-espace vectorielAdeE, l’image f(A)deAparf est un sous-espace vectoriel deF. En particulier, l’image f(E)est un sous-espace vectoriel deF noté Imf sur lequel on peut lire la surjectivité def :

f est surjective deEsurF ⇐⇒ Imf =F.

Démonstration Soit Aun sous-espace vectoriel deE. Montrons que f(A)est un sous-espace vectoriel de F.

Pour commencer : f(A)⊂ F et 0_F = f(0_E)∈ f(A). Pour la stabilité par combinaison linéaire, soient y,y^′ ∈ f(A) etλ ∈ K, disons y = f(a)et y^′ = f(a^′) pour certains a,a^′ ∈ A. Aussitôt, par linéarité de f : λy+y^′=λf(a) +f(a^′) = f λa+a^′

, mais par ailleursλa+a^′∈AcarAest un sous-espace vectoriel deE, donc comme vouluλy+y^′∈f(A).

Exemple L’image de l’endomorphisme(x,y,z)7−→^g x+2y+z, 2x+y−z,x+2y+z

deR³est le plan d’équationz=x.

Démonstration Pour tout(x,y,z)∈R³: (x,y,z)∈Img ⇐⇒ ∃(a,b,c)∈R³,

C’est l’EXISTENCE d’un antécédent qui compte.

(x,y,z) =g(a,b,c)

⇐⇒ ∃(a,b,c)∈R³,





a + 2b + c = x

2a + b − c = y

a + 2b + c = z

⇐⇒ ∃(a,b,c)∈R³,





a + 2b + c = x

3b + 3c = 2x−y

0 = z−x

L₂←2L₁−L₂ L₃←L₃−L₁

⇐⇒ z=x.

La dernière équivalence dans laquelle le système disparaît n’est pas un tour de passe-passe à reproduire bêtement.

Le système final possède une solution —EXISTENCE— si et seulement siz=x. Il est clair qu’il n’a pas de solution siz6=x, et on en obtient siz=xen utilisantccomme paramètre.

Théorème (Image d’un Vect par une application linéaire) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels et f ∈ L(E,F).

Pour toute partieX deE: f€

Vect(X)Š

=Vect f(X) . En particulier, siEpossède une base(e_i)_i∈I : Imf =Vect€

f(e_i)Š

i∈I. Démonstration Comme on l’a vu, f€

Vect(X)Š

est un sous-espace vectoriel deF, et comme il contient f(X): Vect f(X)

⊂f€

Vect(X)Š

. Inversement, pour touty∈f€

Vect(X)Š

: y= f(λ₁x₁+. . .+λ_nx_n) pour certains x₁, . . . ,x_n∈X etλ₁, . . . ,λ_n∈K, donc par linéarité de f : y=λ₁f(x₁) +. . .+λ_nf(x_n)∈Vect f(X)

. Enfin, siEpossède une base(e_i)_i∈I : Imf =f(E) =f€

Vect(e_i)_i∈IŠ

=Vect€ f(e_i)Š

i∈I. Exemple On note f l’application linéaire(x,y)7−→ 2x+y, 3x+5y,y

deR²dansR³. Alors€

(2, 3, 0),(1, 5, 1)Š est une base de Imf.

Démonstration La famille €

(1, 0),(0, 1)Š

est une base de R², donc €

f(1, 0),f(0, 1)Š

= €

(2, 3, 0),(1, 5, 1)Š engendre Imf d’après le théorème précédent, et cette famille est évidemment libre.

Exemple Pour toutn∈N^∗, l’image de la dérivationDdes polynômes surK_n[X]estK_n−1[X].

Démonstration Comme 1,X, . . . ,Xⁿ

est une base deK_n[X]: ImD=Vect€

D(1),D(X), . . . ,D XⁿŠ

=Vect€

0, 1, 2X, . . . ,nXⁿ⁻¹Š

=Vect€

1,X, . . . ,Xⁿ⁻¹Š

=K_n−1[X].

Définition-théorème (Image d’une matrice) SoitA∈ M_n,p(K)de colonnesC₁, . . . ,C_p. On appelleimage de Aet on note ImAl’image de son application linéaire canoniquement associéeX7−→AX deK^pdansKⁿ.

L’image deAse calcule aisément à partir desCOLONNESdeA: ImA=Vect(C₁, . . . ,C_p).

Démonstration En notant(E₁, . . . ,E_n)la base canonique deKⁿ: ImA=Vect€

b

A(E₁), . . . ,A(Eb _n)Š

=Vect AE₁, . . . ,AE_n

=Vect(C₁, . . . ,C_n).

Les Vect tolèrent très bien qu’on y permute les vecteurs et qu’on y remplace un vecteurx par une combinaison linéaire des autres à condition de ne pas faire disparaîtrexcomplètement. Pour ces raisons, l’image d’une matrice peut être calculée rapidement par des opérations élémentaires sur lesCOLONNES.

Exemple Im

_{1 2 4 0}

1 −1 0 1

2 1 4 1

=Im

_{1 0 0 0}

1 3 4 1

2 3 4 1

C₂←2C₁−C₂

C₃←4C₁−C₃ =Im _{1 0}

1 1 2 1

=Im _{1 0}

0 1 1 1

C1←C1−C2

=Vect€

(1, 0, 1),(0, 1, 1)Š .

1.4 É

QUATIONS LINÉAIRES ET NOYAU

Nous avons déjà rencontré beaucoup d’équations linéaires, mais nous n’avions pas jusqu’ici un concept clair de linéarité.

On approfondit dans ce paragraphe en les généralisant quelques-unes de vos connaissances antérieures, dont le fameux :

« Solution générale de l’équation complète=solution particulière+solution générale de l’équation homogène ».

Théorème (Image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire) SoientE etF deuxK- espaces vectoriels, f ∈ L(E,F)etB un sous-espace vectoriel deF. L’image réciproque f⁻¹(B)deBpar f est alors un sous-espace vectoriel deE.

Démonstration Pour commencer : f⁻¹(B)⊂ E et 0_E ∈ f⁻¹(B) car f(0_E) =0_F. Pour la stabilité par combinaison linéaire, soient x,x^′∈f⁻¹(B)etλ∈K. Par hypothèse f(x)∈Bet f(x^′)∈B, et par ailleursB est un sous-espace vectoriel deF, doncλf(x) +f(x^′)∈B. Or par linéarité de f : f λx+x^′

=λf(x) +f(x^′), donc f λx+x^′

∈B, i.e.λx+x^′∈f⁻¹(B).

Pour bien comprendre ce qui suit, n’oublions pas que toute application linéaire est un morphisme de groupes additifs, donc possède un noyau à ce titre et que celui-ci caractérise l’injectivité.

Définition-théorème (Noyau d’une application linéaire ou d’une matrice)

• Noyau d’une application linéaire : SoientEetF deuxK-espaces vectoriels et f ∈ L(E,F). On appellenoyau de f et on note Kerf l’ensemble : Kerf = f⁻¹€

0_F Š

=¦

x∈E| f(x) =0_F©

. Il s’agit là d’un sous-espace vectoriel deEet on peut y lire l’injectivité de f :

f est injective surE ⇐⇒ Kerf = 0_E .

• Noyau d’une matrice : SoitA∈ M_n,p(K). On appellenoyau de Ale noyau de son application linéaire canoni- quement associée, noté KerA, qui est donc un sous-espace vectoriel deK^p.

LesLIGNESdeAdécrivent les équations du système linéaire homogène dont KerAest l’ensemble des solutions.

Le noyau def n’est jamais que l’ensemble des solutions de l’ÉQUATION LINÉAIRE HOMOGÈNE f(x) =0_Fd’inconnuex∈E.

On peut dire aussi que Kerf est l’ensemble des éléments deEqui ne comptent pas aux yeux de f, qu’elle ne voit pas. En effet, pour tousx∈Eetk∈Kerf : f(x+k) = f(x) par linéarité.

Le noyau d’une matrice se lit souvent bien sur ses coefficients. Notons par exemple Ala matrice

_{1 2 3 −6}

0 1 1 −2

1 1 2 −4

et C₁,C₂,C₃,C₄ses colonnes. Assurez-vous que vous comprenez parfaitement les observations suivantes :

— D’abord : C₃=C₁+C₂, doncC₁+C₂−C₃=0, doncA





1 1

−1 0



= ₀

0 0

, i.e.





1 1

−1 0



∈KerA.

— De même : C₁+C₂+C₃+C₄=0, donc





1 1 1 1



∈KerA.

Exemple La dérivation polynomialeP7−→^D P^′surK[X]a pour noyau KerD=K₀[X].

Exemple Notons f l’application linéaire(x,y,z)7−→ 2x+y−z,x−y

deR³dansR². Alors Kerf =Vect€

(1, 1, 3)Š , mais on peut aussi dire, de façon équivalente, que Ker

_{2 1 −1}

1 −1 0

=Vect€

(1, 1, 3)Š .

Démonstration Pour tout(x,y,z)∈R³: (x,y,z)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y,z) = (0, 0)

⇐⇒

§ 2x + y − z = 0

x − y = 0 ⇐⇒

§ y = x z = 3x, donc Kerf =¦

(x,x, 3x)| x∈R©

=Vect€

(1, 1, 3)Š .

Exemple On poseA= _{1 2}

2 1

. L’endomorphismeM7−→^ϕ AM−tr(M)AdeM₂(R)est injectif.

Démonstration L’inclusion Kerϕ⊂

0 suffira. Pour toute matrice M = _{a c}

b d

∈Kerϕaveca,b,c,d∈R: ϕ(M) =

_{2b−d c−2a}

b−2d 2c−a

=0, donc 2b−d=b−2d=c−2a=2c−a=0, puis après calcula=b=c=d=0, i.e.M=0.

Exemple L’endomorphisme f 7−→^S f ×sin deR^R_N’estPASinjectif, mais sa restrictionS_C(R,R)l’est.

Démonstration

• Le noyau KerSde Sest l’ensemble des fonctions f pour lesquelles pour tout x ∈ R: f(x)sinx =0, c’est donc l’ensemble des fonctions deRdansRqui sont nulles surR\πZ— mais qui prennent des valeurs quelconques surπZ. En particulier : KerS6=

0R^R , doncSN’estPASinjective.

• Ensuite : KerS_C(R,R) = ¦

f ∈ C(R,R)| S(f) = 0R^R

© = C(R,R)∩KerS. Or dans KerS, seule la fonction nulle estCONTINUE, donc KerS_C(R,R)=

0R^R , ce qui montre bien queS_C(R,R)est injective.

Que faut-il en retenir ? SoientEetF deuxK-espaces vectoriels, f ∈ L(E,F)etAun sous-espace vectoriel de E.

Kerf _A = A∩Kerf mais par contreATTENTION: Imf _A=f(A) = A∩Imf, ne serait-ce que parce que Imf ⊂F alors queA⊂E.

Théorème (Solutions d’une équation linéaire) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels, f ∈ L(E,F)ety₀∈F.

• Si y₀∈/Imf, l’équation f(x) =y₀d’inconnuex∈En’a pas de solution.

• Si y₀∈Imf, l’ensemble des solutions de l’équation f(x) =y₀d’inconnuex∈Eest un sous-espace affine deE de direction Kerf.

Solution générale

de l’équation complète Solution particulière Solution générale de l’équationHOMOGÈNE

Démonstration Dans le cas oùy₀∈Imf : y₀=f(x₀) pour un certainx₀∈E, donc pour toutx∈E: y₀=f(x) ⇐⇒ f(x₀) =f(x) ⇐⇒ f(x−x₀) =0_F ⇐⇒ x−x₀∈Kerf ⇐⇒ x∈x₀+Kerf. L’ensemble des solutions de l’équation f(x) = y₀ d’inconnue x ∈ E est ainsi l’ensemble x₀+Kerf, donc un sous-espace affine deEde direction Kerf.

Exemple On note(u_n)_n∈Nla suite définie par : u₀=0 et u₁=5 et pour toutn∈N: u_n+2=3u_n+1−2u_n−4.

Pour toutn∈N: u_n=2ⁿ+4n−1.

Démonstration L’application(x_n)_n∈N

7−→T x_n+2−3x_n+1+2x_n

n∈N est linéaire de R^N dansR^N comme on le vérifie aisément. La suite(u_n)_n∈Nétudiée est donc une solution de l’équationLINÉAIRE: T (x_n)_n∈N

= (−4)_n∈N

d’inconnue(x_n)_n∈N.

— Les solutions de l’équation homogène associée sont toutes les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 de po- lynôme caractéristiqueX²−3X+2, i.e. les suites 2ⁿλ+µ

n∈N,λetµdécrivantR.

— Il est facile de vérifier que la suite(4n)_n∈Nest solution de l’équation complète étudiée. Notre suite(u_n)_n∈N

est donc de la forme 2ⁿλ+µ+4n

n∈Npour certainsλ,µ∈R, oru₀=0 etu₁=5, doncλ=1 etµ=−1.

1.5 D

ÉTERMINATION D

’

UNE APPLICATION LINÉAIRE SUR UNE BASE OU UNE SOMME DIRECTE

Pour connaître une application en général, on n’a pas trop d’autre choix que de connaître l’ensemble de ses valeurs point par point. Pour une application linéaire en revanche, ce lot considérable d’informations peut être résumé par un nombre res- treint de valeurs stratégiques. On connaît par exemple parfaitement l’application(x,y,z)7−→(2x+y+z, 3x−z)deR³dansR²

SI ON SAIT QU’ELLE EST LINÉAIREet si on sait que : f(1, 0, 0) = (2, 3), f(0, 1, 0) = (1, 0) et f(0, 0, 1) = (1,−1). En effet, pour tout(x,y,z)∈R³: f(x,y,z) =f€

x(1, 0, 0) +y(0, 1, 0) +z(0, 0, 1)Š

=x f(1, 0, 0) +y f(0, 1, 0) +z f(0, 0, 1)

=x(2, 3) +y(1, 0) +z(1,−1) = (2x+y+z, 3x−z).

Le théorème qui suit, fondamental, généralise ce principe.

Théorème (Détermination d’une application linéaire par l’image d’une base) Soient E et F deux K-espaces vectoriels. On suppose queEpossède une base(e_i)_i∈I. Pour toute famille(f_i)_i∈I de vecteurs deF, il existe une et une seule application linéaireudeEdansF pour laquelle pour touti∈I : u(e_i) =f_i.

Pour connaître/définir une application linéaire complètement, il suffit de connaître/définir les valeurs qu’elle prend sur une base de l’espace de départ.

Démonstration Pour toutj∈I, notonse^⋆_j la forme coordonnée deEselone_jdans la base(e_i)_i∈I— c’est-à-dire l’application qui, à tout vecteur deE, associe sa coordonnée selone_jdans la base(e_i)_i∈I. Nous avons déjà vu que les formes coordonnées sont des formes linéaires deE.

Soit(f_i)_i∈I une famille de vecteurs deF.

• Analyse : Soitu∈ L(E,F). On suppose que pour touti∈I : u(e_i) =f_i. Alors pour toutx∈E: u(x) =u X

i∈I

e^⋆_i(x)e_i

=X

i∈I

e^⋆_i(x)u(e_i) =X

i∈I

e^⋆_i(x)f_i.

• Synthèse : Posons u=X

i∈I

e^⋆_i f_i. Il s’agit bien là d’une application deE dans F. Elle est linéaire car les formes coordonnées le sont, mais détaillons. Tout simplement, pour tousx,x^′∈Eetλ∈K:

u(λx+x^′) =X

i∈I

e^⋆_i(λx+x^′)f_i=X

i∈I

€λe^⋆_i(x) +e^⋆_i(x^′)Š

f_i=λX

i∈I

e^⋆_i(x)f_i+X

i∈I

e^⋆_i(x^′)f_i=λu(x) +u(x^′)

Enfin, pour toutj∈I : u(e_j) =X

i∈I

e^⋆_i(e_j)f_i=X

i∈I

δ_{i j}f_i=f_j.

Dans le théorème qui suit, on ne définit plus les applications linéaires par l’image d’une base mais par leurs restrictions à deux sous-espaces vectoriels supplémentaires — cela dit l’idée est la même.

Théorème (Détermination d’une application linéaire sur une somme directe) Soient E et F deux K-espaces vectoriels,E₁etE₂deux sous-espaces vectoriels supplémentaires deEetu₁∈ L(E₁,F),u₂∈ L(E₂,F). Il existe une et une seule application linéaireu∈ L(E,F)pour laquelle : u_E

1=u₁ et u _E

2=u₂.

En résumé, tout élément deL(E,F)est une sorte de concaténation ou de recollement d’un élément deL(E₁,F)et d’un élément deL(E₂,F).

Démonstration Par hypothèseE=E₁⊕E₂, donc tout vecteur deEest la somme, d’une unique manière, d’un vecteur deE₁et d’un vecteur deE₂.

• Analyse : Soitu∈ L(E,F). On suppose queu _E

1=u₁etu _E

2=u₂. Pour tout x=x₁+x₂∈Eavecx₁∈E₁ etx₂∈E₂: u(x) =u(x₁+x₂) =u(x₁) +u(x₂) =u₁(x₁) +u₂(x₂). Cette expression qui ne dépend que deu₁,u₂etx montre l’unicité cherchée.

• Synthèse : Pour tout x=x₁+x₂∈Eavecx₁∈E₁etx₂∈E₂, posonsu(x) =u₁(x₁) +u₂(x₂). On définit ainsi une application deEdansF.

— Pour toutx₁∈E₁: u(x₁) =u(x₁+0_E) =u₁(x₁) +u₂(0_E) =u₁(x₁), doncu_E

1 =u₁, et de même u_E

2=u₂.

— Pour la linéarité deu, soientλ ∈Ket x = x₁+x₂,y = y₁+ y₂∈E avecx₁,y₁∈E₁et x₂,y₂∈E₂. Aussitôtλx+y= λx₁+y₁

+ λx₂+y₂

avecλx₁+ y₁∈E₁etλx₂+y₂∈E₂, donc : u λx+y

=u₁ λx₁+y₁

+u₂ λx₂+y₂

=€

λu₁(x₁) +u₁(y₁)Š +€

λu₂(x₂) +u₂(y₂)Š

=λ€

u₁(x₁) +u₂(x₂)Š +€

u₁(y₁) +u₂(y₂)Š

=λu(x) +u(y).

Exemple C’est bien connu : R₄[X] =R₃[X]⊕Vect X⁴

. D’après le théorème précédent, il existe une et une seule application linéaireϕ deR₄[X]dansR₂[X]pour laquelle pour toutP ∈R₃[X]: ϕ(P) =P^′ et ϕ X⁴

=X. Cette application est obtenue à partir de l’application linéaireP7−→P^′deR₃[X]dansR₂[X]et de l’unique application linéaire qui envoieX⁴surX de Vect X⁴

dans Vect(X).

Concrètement, pour toutP=aX⁴+bX³+cX²+d X+e∈R₄[X]: ϕ(P) =aX+ 3bX²+2cX+d

=3bX²+ (a+2c)X+d.

2 C E QU ’ ON PERD D ’ UN CÔTÉ , ON LE GAGNE DE L ’ AUTRE

2.1 E

FFET D

’

UNE APPLICATION LINÉAIRE SUR LA DIMENSION

,

NOTION DE RANG En guise d’introduction, donnons-nous unK-espace vectoriel E et des vecteurse₁, . . . ,e_n∈Eet notonsϕ l’application (x₁, . . . ,x_n)7−→x₁e₁+. . .+x_ne_ndeKⁿdansE. Avec cette expression,ϕest l’unique application linéaire deKⁿdans Equi envoie la base canonique deKⁿsur la famille(e₁, . . . ,e_n). À quelle conditionϕest-elle surjective/injective ?

— D’abord,ϕ est surjective si et seulement si : ∀x ∈ E, ∃(x₁, . . . ,x_n)∈Kⁿ, x = x₁e₁+. . .+x_ne_n, i.e. si et seulement si la famille(e₁, . . . ,e_n)engendre E.

— Ensuite,ϕest injective si et seulement si Kerϕ=¦

(0, . . . , 0)©

, i.e. si et seulement si :

∀(x₁, . . . ,x_n)∈Kⁿ, x₁e₁+. . .+x_ne_n=0_E =⇒ x₁=. . .=x_n=0, i.e. si et seulement si la famille(e₁, . . . ,e_n)est libre.

Cet exemple mérite d’être étudié avec soin même si le théorème qui suit le généralise largement.

Théorème (Caractérisation de l’injectivité/surjectivité d’une application linéaire par l’image d’une base) Soient EetF deuxK-espaces vectoriels etf ∈ L(E,F). On suppose queEpossède une base(e_i)_i∈I.

(i) f est surjective deEsurF si et seulement si€ f(e_i)Š

i∈I engendreF. (ii) f est injective surEsi seulement si€

f(e_i)Š

i∈I est libre.

(iii) f est un isomorphisme deEsurF si et seulement si€ f(e_i)Š

i∈Iest une base deF. Démonstration

(i) Imf =Vect€ f(e_i)Š

i∈I, donc Imf =F si et seulement si€ f(e_i)Š

i∈I engendreF. (ii) Supposonsf injective et montrons que€

f(e_i)Š

i∈Iest libre. Soit(λ_i)_i∈I ∈K^Iune famille presque nulle pour laquelleX

i∈I

λ_if(e_i) =0_F. Par linéarité : f X

i∈I

λ_ie_i

=0_F, doncX

i∈I

λ_ie_i ∈Kerf, doncX

i∈I

λ_ie_i =0_E par injectivité def. Enfin,(e_i)_i∈I étant libre : λ_i=0 pour touti∈I.

Réciproquement, supposons€ f(e_i)Š

i∈I libre et montrons que f est injective. Soientx∈Kerf de coordon- nées(x_i)_i∈Idans(e_i)_i∈I. Alors : 0_F= f(x) = f X

i∈I

x_ie_i

=X

i∈I

x_if(e_i), donc par liberté de€ f(e_i)Š

i∈I: x_i=0 pour touti∈I. A fortiorix=0_E.

Exemple Pour tousx₁, . . . ,x_n∈Kdistincts, l’applicationP7−→€

P(x₁), . . . ,P(x_nŠ

est un isomorphisme deK_n−1[X]surKⁿ. Démonstration Linéaire, cette application transforme la base (L₁, . . . ,L_n) des polynômes de Lagrange de x₁, . . . ,x_nen uneBASEdeKⁿ, à savoir la base canonique deKⁿcar pour tousi,j∈¹1,nº: L_i(x_j) =δ_{i j}. D’après la classification des espaces vectoriels de dimension finie que voici, lesK-espaces vectoriels de dimension finie sont tous isomorphes à un et un seulKⁿ. En d’autres termes, à isomorphisme près, on connaît tout d’un espace vectoriel de dimension finie quand on connaît sa dimension. Une telle classification est à la fois satisfaisante — chouette,Kⁿest une grande vérité des mathématiques — et décevante — bof, quel manque d’exotisme !

Théorème (Effet d’un isomorphisme sur la dimension)

(i) Soient E etF deux K-espaces vectoriels. Si Eest de dimension finie et si F est isomorphe àE, alorsF est de dimension finie et dimE=dimF.

(ii) Réciproquement, deuxK-espaces vectoriels deMÊMES dimensions finies sont isomorphes. En particulier, tout K-espace vectoriel de dimension finienest isomorphe àKⁿ.

Démonstration

(i) Par hypothèse, on peut se donner un isomorphisme f deEsurF et une base finieB deE. Comme voulu, f(B)est une base deF d’après le théorème précédent.

(ii) SoientE etF deux K-espaces vectoriels de même dimension finien. Nous allons montrer que Eest iso- morphe àKⁿ,F le sera aussi par symétrie etEetF seront alors isomorphes tout court.

Tout simplement, donnons-nous une base(e₁, . . . ,e_n)deE. Comme nous l’avons vu au début de ce para- graphe, l’application(x₁, . . . ,x_n)7−→x₁e₁+. . .+x_ne_nest un isomorphisme deKⁿsurE.

Théorème (Dimension d’un espace vectoriel d’applications linéaires) SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimension finie. AlorsL(E,F)est de dimension finie et : dimL(E,F) =dimE×dimF.

Démonstration Donnons-nous une base(e₁, . . . ,e_n)deEavecn=dimE. L’applicationu7−→^ϕ €

u(e₁), . . . ,u(e_n)Š est clairement linéaire deL(E,F)dansFⁿet elle est bijective d’après un théorème précédent :

∀(f₁, . . . ,f_n)∈Fⁿ, ∃!u∈ L(E,F), ϕ(u) = (f₁, . . . ,f_n).

Bref,ϕest un isomorphisme deL(E,F)surFⁿ. OrFétant de dimension finie,Fⁿl’est par produit, doncL(E,F) aussi par isomorphisme. Finalement : dimL(E,F) =dimFⁿ=n×dimF=dimE×dimF.

Définition (Application linéaire de rang fini, rang) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels pas nécessairement de dimension finie et f ∈ L(E,F). On dit que f estde rang finisi Imf est de dimension finie et on appelle dans ce cas rang de f, noté rg(f), la dimension de Imf.

Les notions de rang d’une famille de vecteurs et de rang d’une application linéaire ne sont pas sans rapport. Dans le cas oùEest de dimension finie et de baseB: rg(f) =dim Imf =dim Vect f(B)

=rg f(B) .

Théorème (Inégalités sur le rang et cas d’égalité) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels etf ∈ L(E,F).

(i) Si Fest de dimension finie, f est de rang fini et rg(f)¶dimF, avec égalité si et seulement sif est surjective.

(ii) Si Eest de dimension finie, f est de rang fini et rg(f)¶dimE, avec égalité si et seulement sif est injective.

F

E Imf

En général, une application ne peut que

« contracter » son ensemble de définition. SiEet Fsont de dimension finie, il est donc clair que :

rg(f)¶dimE et rg(f)¶dimF.

F

E Imf

f est injective si et seulement si rg(f) =dimE.

E F=Imf

f est surjective si et seulement si rg(f) =dimF. Démonstration

(i) Inclus dans F, Im f est de dimension finie et rg(f) =dim Im f ¶ dimF, avec égalité si et seulement si Imf =F, i.e. si et seulement sif est surjective.

(ii) Donnons-nous une base(e₁, . . . ,e_n)deE. Aussitôt : Imf =Vect€

f(e₁), . . . ,f(e_n)Š

, donc Imf est de dimension finie et rg(f) =dim Imf ¶n=dimE, avec égalité si et seulement si€

f(e₁), . . . ,f(e_n)Š

est libre, i.e. si et seulement sif est injective.

Théorème (Applications linéaires entre espaces vectoriels de mêmes dimensions finies) (i) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels de dimensions finiesÉGALESetf ∈ L(E,F).

f est bijective ⇐⇒ f est injective ⇐⇒ f est surjective.

(ii) SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etf ∈ L(E).

f ∈GL(E) ⇐⇒ f est inversible à gauche dansL(E) i.e. : ∃g∈ L(E), g◦f =Id_E

⇐⇒ f est inversible à droite dansL(E) i.e. : ∃g∈ L(E), f ◦g=Id_E.