A PPLICATIONS LINÉAIRES

A PPLICATIONS LINÉAIRES

Dans ce chapitre, Kest l’un des corpsR ouC et I est un ensemble non vide quelconque. Tous les résultats présentés demeurent cela dit vrais sur un corpsKquelconque — à l’exception de ceux du paragraphe sur les symétries.

1 A PPLICATIONS LINÉAIRES , ÉQUATIONS LINÉAIRES

1.1 D

Définition (Application linéaire) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels. On appelleapplication linéaire de E dans F toute application f :E−→F qui préserve les combinaisons linéaires :

∀x,y∈E, ∀λ,µ∈K, f(λx+µy) =λf(x) +µf(y).

L’ensemble des applications linéaires deEdansF est notéL(E,F).

Cas particulier oùE=F : Une application linéaire deEdansEest aussi appelée unendomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes deEest notéL(E).

Cas particulier oùF=K: Une application linéaire deEdansKest aussi appelée uneforme linéaire de E.

Clairement : f(0_E) = f(0_E+0_E) = f(0_E) +f(0_E), donc après simplification : f(0_E) =0_F.

Ensuite, siAest un sous-espace vectoriel deE, alors f _Aest aussi linéaire — mais surA. En effet, s’il est vrai pour tous x,y∈ E etλ,µ∈Kque : f(λx+µy) =λf(x) +µf(y), c’est a fortiori vrai pour tousx,y∈ A .

Enfin, pour vérifier que f est linéaire, il est suffisant de vérifier que : f(λx+y) =λf(x) +f(y) pour tousx,y∈E etλ∈K— avec UN SEUL SCALAIRE. Dans ce cas : f(λx) = f(λx+0_E) =λf(x) +f(0_E) =λf(x) +0_F =λf(x) pour tousx,y∈Eetλ,µ∈K, puis de même : f(µy) =µf(y), donc enfin : f(λx+µy) =λf(x) +µf(y).

Définition (Homothétie) SoientEunK-espace vectoriel etλ∈K. On appellehomothétie de E de rapportλl’application λId_E, i.e. :

§ E −→ E

x 7−→ λx. Cette application est un endomorphisme deE. En particulier : Id_E∈ L(E).

Démonstration Pour tousx,y∈Eetα∈K: (λId_E)(αx+y) =λ(αx+y) =α(λId_E)(x) + (λId_E)(y). „

Exemple L’application(x,y)7−→^f x,x+y,x−2y

est linéaire deR²dansR³. Démonstration Pour tous(x,y),(x^′,y^′)∈R²etλ∈R:

f€

λ(x,y) + (x^′,y^′)Š

= f λx+x^′,λy+y^′

=€

λx+x^′, λx+x^′

+ λy+y^′

, λx+x^′

− 2λy+2y^′Š

=λ x,x+y,x−2y

+ x^′,x^′+y^′,x^′−2y^′

=λf(x,y) +f(x^′,y^′).

Exemple

• Pour toutx∈K, l’applicationP7−→P(x)d’évaluation enx est uneFORMElinéaire deK[X].

• Pour toutA∈K[X], l’applicationP7−→APde multiplication parAest un endomorphisme deK[X].

• Pour toutQ∈K[X], l’applicationP7−→P◦Qde compositionÀ DROITEparQest un endomorphisme deK[X].

• L’applicationP7−→P^′ de dérivation est un endomorphisme deK[X].

Exemple

• Pour tout intervalleI, l’applicationf 7−→ f^′est linéaire deD(I,R)dansR^Rou deC¹(I,R)dansC(I,R). Comme elle envoieC^∞(I,R)dans lui-même, c’est également un endomorphisme deC^∞(I,R).

• L’applicationf 7−→

Z 1

0

f est uneFORMElinéaire deC [0, 1],R .

• L’applicationu7−→ lim

n→+∞u_nest uneFORMElinéaire de l’espace vectoriel des suites réelles convergentes.

Exemple

• L’application(x,y)7−→^ϕ x+y+1N’estPASlinéaire deR²dansRcar : ϕ(0, 0) =16=0.

• L’application(x,y)7−→^ψ x²+y²N’estPASlinéaire deR²dansRcar : ψ 2(1, 1)

=ψ(2, 2) =86=4=2ψ(1, 1).

Définition-théorème (Application linéaire canoniquement associée à une matrice) SoitA∈ M_n,p(K). L’application X7−→AXest linéaire deK^pdansKⁿet appelée l’application linéaire canoniquement associée à A. Nous la noterons souvent Abdans ce cours mais il ne s’agit pas là d’une notation universelle.

L’applicationX 7−→AX est définie deK^pdansKⁿet non l’inverse pour une simple raison de compatibilité des formats.

Pour tousA∈ M_p,q(K)etB∈ M_q,r(K): ABc =Ab◦Bb car pour toutX∈K^r : c

AB(X) = (AB)X=A(BX) =A(BX) =b Ab bB(X)

=A◦b bB(X).

Exemple L’application linéaire canoniquement associée à

_{0 1 2}

3 4 5

est l’application(x,y,z)7−→(y+2z, 3x+4y+5z) deR³dansR².

Définition-théorème (Formes coordonnées relativement à une base) Soit E unK-espace vectoriel. On suppose queEpossède une baseB= (e_i)_i∈I. Pour touti∈I, l’application qui associe à tout vecteur deEsa coordonnée dansB selon le vecteure_iest une forme linéaire deEappelée lai^èmeforme coordonnée de E(dansB).

Démonstration Soientx,y∈Ede coordonnées respectives(x_i)_i∈I,(y_i)_i∈IdansBetλ∈K. Le vecteurλx+y admet λx_i+y_i

i∈I pour coordonnées dans B car : λx+ y=λX

i∈I

x_ie_i+X

i∈I

y_ie_i =X

i∈I

λx_i+ y_i

e_i. En particulier, pour touti∈I, la coordonnée selone_ideλx+yestλx_i+y_i. C’est la linéarité souhaitée ! „ Exemple

• Les formes coordonnées de Rⁿ pour sa base canonique sont, dans cet ordre, les applications (x₁, . . . ,x_n)7−→ x₁, (x₁, . . . ,x_n)7−→x₂, . . . ,(x₁, . . . ,x_n)7−→x_n.

• Les formes coordonnées deR_n[X]pour sa base canonique sont, dans cet ordre, les applicationsP7−→a₀,P7−→a₁, . . . ,P7−→a_nsi on notea₀, . . . ,a_nles coefficients deP: P=a_nXⁿ+. . .+a₁X+a₀.

Théorème (Composition d’applications linéaires) SoientE,FetGtroisK-espaces vectoriels. Pour tousf ∈ L(E,F) etg∈ L(F,G): g◦f ∈ L(E,G).

Démonstration Pour tousx,y∈Eetλ∈K: g◦f

(λx+y) =g f(λx+y)

=g λf(x) +f(y)

=λg f(x)

+g f(y)

=λ g◦f

(x) + g◦f (y). „

Exemple L’applicationP7−→X P^′ X²

est un endomorphisme deK[X].

Démonstration Les applicationsP7−→^α P^′,P7−→^β P X²

etP7−→^γ X Psont linéaires, doncγ◦β◦αaussi.

Exemple L’applicationf 7−→

Z1

0

f t²

dtest linéaire deC [0, 1],R

dansR. Démonstration Les applications f 7−→^α f ◦ t7−→t²

et f 7−→^β Z 1

0

f(x)dxsont linéaires, doncβ◦αaussi.

1.2 I

’

-

Théorème (Image d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire) SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels etf ∈ L(E,F).

• Pour tout sous-espace vectorielAdeE, l’image f(A)deAparf est un sous-espace vectoriel deF.

• En particulier, Imf =f(E)est un sous-espace vectoriel deF sur lequel on peut lire la surjectivité de f : f est surjective deEsur F ⇐⇒ Imf =F.

Démonstration Soit Aun sous-espace vectoriel deE. Montrons que f(A)est un sous-espace vectoriel de F.

Pour commencer : f(A)⊂ F et 0_F = f(0_E)∈ f(A). Ensuite, pour la stabilité par combinaison linéaire, soient y,y^′∈f(A)etλ∈K, disons : y= f(a) et y^′=f(a^′) pour certainsa,a^′∈A. Par linéarité de f : λy+y^′=λf(a) +f(a^′) =f λa+a^′

, et par ailleurs : λa+a^′∈A carAest un sous-espace vectoriel de

E, donc comme voulu : λy+y^′∈f(A). „

Exemple L’image de l’endomorphisme(x,y,z)7−→^g x+2y+z, 2x+y−z,x+2y+z

deR³est le plan d’équation : z=x.

Démonstration Pour tout(x,y,z)∈R³: (x,y,z)∈Img ⇐⇒ ∃(a,b,c)∈R³,

C’est l’EXISTENCE d’un antécédent qui compte.

(x,y,z) =g(a,b,c)

⇐⇒ ∃(a,b,c)∈R³,





a + 2b + c = x

2a + b − c = y

a + 2b + c = z

⇐⇒ ∃(a,b,c)∈R³,





a + 2b + c = x

3b + 3c = 2x−y

0 = z−x

L2←2L1−L2

L3←L3−L1

⇐⇒ z=x.

La dernière équivalence dans laquelle le système disparaît n’est pas un tour de passe-passe à reproduire bêtement.

Le système final possède une solution —EXISTENCE— si et seulement si : z=x. Il est clair qu’il n’a pas de solution si : z6=x, et on en obtient si : z=x en utilisantccomme paramètre.

Théorème (Image d’un Vect par une application linéaire) SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels et f ∈ L(E,F).

• Pour toute partieX deE: f€

Vect(X)Š

=Vect f(X) .

• En particulier, siEpossède une base(e_i)_i∈I : Imf =Vect€ f(e_i)Š

i∈I.

Démonstration Comme on l’a vu, f€

Vect(X)Š

est un sous-espace vectoriel deF, et comme il contient f(X): Vect f(X)

⊂f€

Vect(X)Š

. Inversement, pour touty∈f€

Vect(X)Š

: y= f(λ₁x₁+. . .+λ_nx_n) pour certains x₁, . . . ,x_n∈X etλ₁, . . . ,λ_n∈K, donc par linéarité de f : y=λ₁f(x₁) +. . .+λ_nf(x_n)∈Vect f(X)

. Enfin, siEpossède une base(e_i)_i∈I : Imf =f(E) =f€

Vect(e_i)_i∈IŠ

=Vect€ f(e_i)Š

i∈I. „

Exemple On note f l’application linéaire(x,y)7−→ 2x+y, 3x+5y,y

deR²dansR³. Alors€

(2, 3, 0),(1, 5, 1)Š est une base de Imf.

Démonstration La famille €

(1, 0),(0, 1)Š

est une base de R², donc €

f(1, 0),f(0, 1)Š

= €

(2, 3, 0),(1, 5, 1)Š engendre Imf d’après le théorème précédent, et cette famille est évidemment libre.

Exemple Pour toutn∈N^∗, l’image de la dérivationDdes polynômes surK_n[X]estK_n−1[X].

Démonstration Comme 1,X, . . . ,Xⁿ

est une base deK_n[X]: ImD=Vect€

D(1),D(X), . . . ,D XⁿŠ

=Vect€

0, 1, 2X, . . . ,nXⁿ⁻¹Š

=Vect€

1,X, . . . ,Xⁿ⁻¹Š

=K_n−1[X].

Définition-théorème (Image d’une matrice) SoitA∈ M_n,p(K)de colonnesC₁, . . . ,C_p.

• Définition : On appelleimage de Aet on note ImAl’image de son application linéaire canoniquement associée X 7−→AX deK^pdansKⁿ.

• Lien avec les colonnes : ImA=Vect(C₁, . . . ,C_p).

Démonstration En notant(E₁, . . . ,E_n)la base canonique deKⁿ: ImA=Vect€

b

A(E₁), . . . ,A(Eb _n)Š

=Vect AE₁, . . . ,AE_n

=Vect(C₁, . . . ,C_n). „

Exemple L’image de la matrice

_{1 1 4 0}

0 1 0 1

1 2 4 1

est le sous-espace vectoriel deR³: Vect€

(1, 0, 1),(1, 1, 2),(4, 0, 4),(0, 1, 1)Š

=Vect€

(1, 0, 1),(0, 1, 1)Š .

1.3 É

’

Nous avons déjà rencontré beaucoup d’équations linéaires, mais nous n’avions pas jusqu’ici un concept clair de linéarité.

On approfondit dans ce paragraphe en les généralisant quelques-unes de vos connaissances antérieures, dont le fameux :

« Solution générale de l’équation complète=solution particulière+solution générale de l’équation homogène ».

Théorème (Image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire) Soient Eet F deux K- espaces vectoriels, f ∈ L(E,F)etBun sous-espace vectoriel deF. L’image réciproque f⁻¹(B)deB par f est alors un sous-espace vectoriel deE.

Démonstration Pour commencer : f⁻¹(B)⊂E et 0_E ∈f⁻¹(B) car : f(0_E) =0_F. Pour la stabilité par combinaison linéaire, soientx,x^′∈f⁻¹(B)etλ∈K. Par hypothèse : f(x)∈B et f(x^′)∈B etBest un sous-espace vectoriel deF, donc : λf(x) +f(x^′)∈B. Or : f λx+x^′

=λf(x) +f(x^′) par linéarité de f, donc : f λx+x^′

∈B, i.e. : λx+x^′∈f⁻¹(B) comme voulu. „

Définition-théorème (Noyau d’une application linéaire ou d’une matrice)

• SoientEetF deuxK-espaces vectoriels et f ∈ L(E,F). On appellenoyau de f et on note Kerf l’ensemble : Kerf =f⁻¹€

0_F Š

=¦

x∈E| f(x) =0_F© .

Il s’agit là d’un sous-espace vectorielDEEet on peut notamment y lire l’injectivité de f : f est injective surE ⇐⇒ Kerf =

0_E .

• SoitA∈ M_n,p(K). On appellenoyau de Ale noyau de son application linéaire canoniquement associée, noté KerA, qui est donc un sous-espace vectoriel deK^p.

Le noyau de f n’est jamais que l’ensemble des solutions de l’ÉQUATION LINÉAIRE HOMOGÈNE: f(x) =0_F d’inconnue x∈E. On peut dire aussi que Kerf est l’ensemble des éléments deEqui ne comptent pas aux yeux def, qu’elle ne voit pas.

En effet, pour tousx∈Eetk∈Kerf : f(x+k) =f(x) par linéarité.

En tant que sous-espace vectoriel deE, Kerf contient 0_E, donc pour montrer que f est injective, il suffit en réalité de montrer l’INCLUSION: Kerf ⊂

0_E .

Ensuite, le noyau d’une matrice se lit souvent bien sur ses coefficients. Notons par exempleAla matrice

_{1 2 3 −6}

0 1 1 −2

1 1 2 −4

etC₁,C₂,C₃,C₄ses colonnes. Assurez-vous que vous comprenez parfaitement les observations suivantes :

— D’abord : C₃=C₁+C₂, donc : C₁+C₂−C₃=0, donc : A





1 1

−1 0



= ₀

0 0

, donc enfin :





1 1

−1 0



∈KerA.

— De même : C₁+C₂+C₃+C₄=0, donc :





1 1 1 1



∈KerA.

Démonstration

• Supposonsf injective et montrons qu’alors : Kerf =

0_E . ou encore : Kerf ⊂

0_F . Or pour tout x∈Kerf : f(x) =0_F =f(0_E), donc comme f est injective : x=0_E.

• Sous l’hypothèse que : Kerf =

0_E , montrons que f est injective. Soient x,x^′ ∈E pour lesquels : f(x) =f(x^′). Alors : f(x−x^′) =f(x)−f(x^′) =0_F par linéarité, donc : x−x^′∈Kerf =

0_E ,

donc : x−x^′=0_E, i.e. : x=x^′. „

Exemple La dérivation polynomialeP7−→^D P^′surK[X]a pour noyau : KerD=K₀[X].

Exemple Notons f l’application linéaire(x,y,z)7−→ 2x+y−z,x−y

deR³dansR². Alors : Kerf =Vect€

(1, 1, 3)Š

, mais commef est l’application linéaire canoniquement associée à la matrice

_{2 1 −1}

1 −1 0

, on peut aussi dire que : Ker

_{2 1 −1}

1 −1 0

=Vect€

(1, 1, 3)Š .

Démonstration Pour tout(x,y,z)∈R³: (x,y,z)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y,z) = (0, 0)

⇐⇒

§ 2x + y − z = 0

x − y = 0 ⇐⇒

§ y = x z = 3x, donc : Kerf =¦

(x,x, 3x)| x∈R©

=Vect€

(1, 1, 3)Š .

Exemple On pose : A=_{1 2}

2 1

. L’endomorphismeM7−→^ϕ AM−tr(M)AdeM₂(R)est injectif.

Démonstration Il nous suffit de montrer l’inclusion : Kerϕ⊂

0 . Pour tout M=_{a c}

b d

∈Kerϕavec a,b,c,d∈R: ϕ(M) =

_{2b−d c−2a}

b−2d 2c−a

=0, donc : 2b−d=b−2d=c−2a=2c−a=0, puis après calcul : a=b=c=d=0, i.e. : M=0.

Exemple L’endomorphisme f 7−→^S f ×sin deR^RN’estPASinjectif, mais sa restrictionS_C(R,R)l’est.

Démonstration

• Le noyau KerSde Sest l’ensemble des fonctions f pour lesquelles pour tout x ∈ R: f(x)sinx =0, c’est donc l’ensemble des fonctions deRdansRqui sont nulles surR\πZ— mais de valeurs quelconques surπZ. En particulier : KerS6=

0R^R , doncSN’estPASinjective.

• Ensuite : KerS_C(R,R) = ¦

f ∈ C(R,R)| S(f) = 0R^R

© = C(R,R)∩KerS. Or dans KerS, seule la fonction nulle estCONTINUE, donc : KerS_C(R,R)=

0R^R , et doncS_C(R,R)est injective.

Que faut-il retenir de l’exemple précédent ? Soient Eet F deux K-espaces vectoriels, f ∈ L(E,F)etAun sous-espace vectoriel deE. Alors : Kerf _A = A∩Kerf, mais par contreATTENTION: Imf _A=f(A) = A∩Imf, ne serait-ce que pour la raison suivante : Imf ⊂F alors que : A⊂E.

Théorème (Solutions d’une équation linéaire) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels,f ∈ L(E,F)et y₀∈F.

• Si : y₀∈/Imf, l’équation : f(x) =y₀ d’inconnuex∈En’a pas de solution.

• Si : y₀∈Imf, l’ensemble des solutions de l’équation : f(x) =y₀ d’inconnuex∈Eest un sous-espace affine deEde direction Kerf.

Solution générale

de l’équation complète Solution particulière Solution générale de l’équationHOMOGÈNE

Démonstration Dans le cas oùy₀∈Imf : y₀=f(x₀) pour un certainx₀∈E, donc pour toutx∈E: y₀=f(x) ⇐⇒ f(x₀) =f(x) ⇐⇒ f(x−x₀) =0_F ⇐⇒ x−x₀∈Kerf ⇐⇒ x∈x₀+Kerf. L’ensemble des solutions de l’équation : f(x) = y₀ d’inconnuex∈Eest ainsi l’ensemblex₀+Kerf, donc un

sous-espace affine deEde direction Kerf. „

Exemple On note(u_n)_n∈Nla suite définie par : u₀=0 et u₁=5 et pour toutn∈N: u_n+2=3u_n+1−2u_n−4.

Pour toutn∈N: u_n=2ⁿ+4n−1.

Démonstration

• L’application(x_n)_n∈N

7−→T x_n+2−3x_n+1+2x_n

n∈N est linéaire deR^N dansR^N comme on le vérifie aisé- ment. La suite (u_n)_n∈N étudiée est donc une solution de l’équation LINÉAIRE: T (x_n)_n∈N

= (−4)_n∈N

d’inconnue(x_n)_n∈N.

• Les solutions de l’équation homogène associée sont toutes les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 de po- lynôme caractéristiqueX²−3X+2, i.e. les suites 2ⁿλ+µ

n∈N,λetµdécrivantR.

• Il est facile de vérifier que la suite(4n)_n∈N est solution particulière de l’équation complète. Notre suite (u_n)_n∈Nest donc de la forme 2ⁿλ+µ+4n

n∈Npour certainsλ,µ∈R, or : u₀=0 et u₁=5, donc en fait : λ=1 et µ=−1.

1.4 I

Définition (Isomorphisme, espaces vectoriels isomorphes) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels.

• On appelleisomorphisme de E sur Ftoute application linéaire bijective deEsur F.

Cas particulier oùE=F : Un isomorphisme deEsur Eest aussi appelée unautomorphisme de E. L’ensemble des automorphismes deEest noté GL(E)et appelé legroupe linéaire de E.

• On dit queF estisomorphe à Es’il existe un isomorphisme deEsurF.

Le fait que deux espaces vectoriels soient isomorphes signifie intuitivement qu’ils sont « identiques » d’un strict point de vue vectoriel. Tout isomorphisme entre eux est comme un dictionnaire parfait pour passer de l’un à l’autre. Toute propriété vectorielle — i.e. que l’on peut exprimer en termes de combinaisons linéaires — de l’un des espaces a son analogue dans l’autre espace.

L’application linéaire(a,b,c)7−→^ϕ a+bX+cX²est par exemple un isomorphisme deR³dansR₂[X]. Cet isomorphisme

« géométrise »R₂[X]en en faisant une sorte de copie parfaite deR³. La coplanarité des vecteurs(0, 1, 0),(0, 0, 1)et

 0, 1,1

2

‹

se traduit dansR₂[X]par celle des vecteursX,X²etX+X² 2 .

b

R³

(1, 0, 0) (0, 0, 1)

(0, 1, 0)

 0, 1,1

2

‹

Isomorphismeϕ

b

R₂[X]

1 X²

X X+X²

2

Théorème (Composition d’isomorphismes, réciproque d’un isomorphisme) Soient E, F et G troisK-espaces vectoriels.

(i) Si f est un isomorphisme deEsurF etgun isomorphisme deFsurG, g◦f est un isomorphisme deEsurG.

(ii) Si f est un isomorphisme deEsurF, alors f⁻¹est un isomorphisme deFsur E.

En d’autres termes, la relation d’isomorphisme entre espaces vectoriels est une relation d’équivalence — pour la réflexivité, remarquer simplement que Id_E est un isomorphisme deEpour toutK-espace vectorielE.

Démonstration

(i) La composée de deux applications bijectives (resp. linéaires) est bijective (resp. linéaire).

(ii) Nous savons que f⁻¹est bijective deF surE, mais est-elle linéaire ? Pour tous y,y^′∈Fetλ∈K: f⁻¹ λy+y^′

= f⁻¹€

λf f⁻¹(y)

+f f⁻¹(y^′)Š

=f⁻¹€

f λf⁻¹(y) +f⁻¹(y^′)Š

=λf⁻¹(y) +f⁻¹(y^′). „

Théorème (Traduction de l’inversibilité en termes d’application linéaire canoniquement associée) SoitA∈ M_n(K).

Aest inversible si et seulement si l’application linéaireAbcanoniquement associée àAest un automorphisme deKⁿ. Dans ce cas : Ab⁻¹=dA⁻¹.

Démonstration D’après la caractérisation de l’inversibilité en termes de systèmes linéaires :

Aest inversible ⇐⇒ ∀Y ∈Kⁿ, ∃!X ∈Kⁿ, Y =AX ⇐⇒ ∀Y ∈Kⁿ, ∃!X ∈Kⁿ, Y =A(Xb )

⇐⇒ Abest un automorphisme deKⁿ.

Dans ce cas : A◦b Ad⁻¹=A AÖ⁻¹=ÒI_n=IdKn et de même : dA⁻¹◦Ab=IdKn, donc en effet : Ab⁻¹=Ad⁻¹. „ Exemple L’application(x,y)7−→(3x+y, 5x+2y)est un automorphisme deR².

Sa réciproque est l’application(x,y)7−→(2x−y,−5x+3y)car la matrice _{3 1}

5 2

est inversible d’inverse

_{2 −1}

−5 3

.

Exemple L’applicationf 7−→^S f^′,f(0)

est un isomorphisme deC¹(R,R)surC(R,R)×R. Démonstration Pour toutf ∈ C¹(R,R), il est bien clair que : S(f)∈ C(R,R)×R.

• Linéarité : Pour tous f,g∈ C¹(R,R)etλ∈R: S(λf+g) =€

(λf+g)^′,(λf+g)(0)Š

=€

λf^′+g^′,λf(0)+g(0)Š

=λ f^′,f(0)

+ g^′,g(0)

=λS(f)+S(g).

• Bijectivité : Il n’est pas dur de comprendre que l’application T qui, à tout couple(g,a)∈ C(R,R)×R, associe la fonction de classeC¹x7−→a+

Z x

0

g(t)dtest réciproque deS, i.e. que : T◦S=Id_C1(R,R) et S◦T=Id_C(R,R)×R. On connaît en effet tout d’une fonction de classeC¹quand on connaît sa dérivée et sa valeur en 0.

Le théorème qui suit est un résultat deCLASSIFICATION DES ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE. Il énonce que les K-espaces vectoriels de dimension finie sont tous « identiques » à un et un seulKⁿ.

Théorème (Effet d’un isomorphisme sur la dimension)

(i) Soient Eet F deuxK-espaces vectoriels. SiE est de dimension finie et siF est isomorphe àE, alors F est de dimension finie et : dimE=dimF.

(ii) Réciproquement, deuxK-espaces vectoriels de MÊMESdimensions finies sont isomorphes. En particulier, tout K-espace vectoriel de dimension finien6=0 est isomorphe àKⁿ.

D’après (i), si deux espaces vectoriels sont « identiques » comme espaces vectoriels, ils ont en particulier la même dimen- sion. D’après (ii), on connaît tout d’un espace vectoriel de dimension finie en tant que tel quand on connaît sa dimension.À

ISOMORPHISME PRÈS, les seulsK-espaces vectoriels de dimension finie non nulle sont les espacesKⁿ,ndécrivantN^∗. C’est à la fois un résultat satisfaisant — chouette, nous les avons tous trouvés etKⁿest une grande vérité des mathématiques — et décevant — mince, quel manque d’exotisme !

Démonstration

(i) On peut supposerE6=

0_E et noter f un isomorphisme deEsur F. De dimension finien6=0,Epossède une base(e₁, . . . ,e_n). En particulier, par surjectivité de f : F =Imf =Vect€

f(e₁), . . . ,f(e_n)Š

, donc F est engendré par la famille f(e₁), . . . ,f(e_n)

— donc est de dimension finie. Nous allons en fait montrer que cette famille est libre. Il en découlera que c’est une base deF, et donc que : dimF=n=dimE.

Soientλ₁, . . . ,λ_n ∈ K pour lesquels : Xn

i=1

λ_if(e_i) = 0_F. Aussitôt : f

‚X_n

i=1

λ_ie_i

Œ

= 0_F, donc : Xn

i=1

λ_ie_i ∈Kerf, mais comme f est injective : Xn

i=1

λ_ie_i =0_E. Finalement comme voulu, la famille (e₁, . . . ,e_n)étant libre : λ₁=. . .=λ_n=0.

(ii) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels de même dimension finienqu’on peut supposer non nulle. Nous allons montrer queEest isomorphe àKⁿ, ce sera le cas deF pour la même raison etE etF seront alors isomorphes tout court.

Par hypothèse surn,Epossède une base(e₁, . . . ,e_n). Notonsϕl’application(x₁, . . . ,x_n)7−→x₁e₁+. . .+x_ne_n deKⁿdansE. Il nous suffit de montrer queϕest un isomorphisme deKⁿsurE. En tout cas,ϕest linéaire car pour tous(x₁, . . . ,x_n),(x^′₁, . . . ,x_n^′)∈Kⁿetλ∈K:

ϕ€

λ(x₁, . . . ,x_n) +(x^′₁, . . . ,x^′_n)Š

=ϕ λx₁+x₁^′, . . . ,λx_n+x_n^′

= λx₁+x₁^′

e₁+. . .+ λx_n+x_n^′ e_n

=λ x₁e₁+. . .+x_ne_n

+ x^′₁e₁+. . .+x_n^′e_n

=λϕ(x₁, . . . ,x_n) +ϕ(x^′₁, . . . ,x^′_n).

Enfin,ϕest bijective deKⁿsurEcar tout vecteur deEest combinaison linéaire d’une et une seule manière de laBASE(e₁, . . . ,e_n): ∀x∈E, ∃!(x₁, . . . ,x_n)∈Kⁿ, x=x₁e₁+. . .+x_ne_n=ϕ(x₁, . . . ,x_n). „ L’applicationϕqui précède mérite qu’on s’y attarde un instant. SoientEunK-espace vectoriel et(e₁, . . . ,e_n)une famille quelconque deE, plus forcément une base. L’application(x₁, . . . ,x_n)7−→^ϕ x₁e₁+. . .+x_ne_nest toujours linéaire deKⁿdansE.

— Elle est surjective si et seulement si : ∀x∈E, ∃(x₁, . . . ,x_n)∈Kⁿ, x=x₁e₁+. . .+x_ne_n, i.e. si et seulement si la famille(e₁, . . . ,e_n)engendreE.

— Ensuite,ϕest injective si et seulement si : Kerϕ=¦

(0, . . . , 0)©

, i.e. si et seulement si :

∀(x₁, . . . ,x_n)∈Kⁿ, x₁e₁+. . .+x_ne_n=0_E =⇒ x₁=. . .=x_n=0, i.e. si et seulement si la famille(e₁, . . . ,e_n)est libre.

Le théorème qui suit n’est pas vraiment à sa place dans ce paragraphe, mais il complète utilement l’explication qui précède.

Théorème (Caractérisation de l’injectivité/surjectivité d’une application linéaire par l’image d’une base) Soient EetF deuxK-espaces vectoriels et f ∈ L(E,F). On suppose queEpossède une base(e_i)_i∈I.

(i) f est surjective deEsur Fsi et seulement si€ f(e_i)Š

i∈Iengendre F.

(ii) f est injective surEsi seulement si€ f(e_i)Š

i∈I est libre.

(iii) f est un isomorphisme deEsurF si et seulement si€ f(e_i)Š

i∈I est une base deF.

Démonstration

(i) On sait que : Imf =Vect€ f(e_i)Š

i∈I. Ainsi : Imf =F si et seulement si€ f(e_i)Š

i∈I engendreF. (ii) Supposons f injective et montrons que€

f(e_i)Š

i∈I est libre. Soit (λ_i)_i∈I ∈ K^I presque nulle telle que : X

i∈I

λ_if(e_i) =0_F. Aussitôt : f ‚X

i∈I

λ_ie_i

Œ

=0_F donc : X

i∈I

λ_ie_i∈Kerf, donc comme f est injec- tive : X

i∈I

λ_ie_i=0_E, et comme enfin(e_i)_i∈Iest libre : λ_i=0 pour touti∈I. Réciproquement, supposons€

f(e_i)Š

i∈I est libre et montrons que f est injective, i.e. que : Kerf ⊂ 0_E . Soientx ∈Kerf de coordonnées (x_i)_i∈I dans(e_i)_i∈I. Alors : 0_F = f(x) = f

‚X

i∈I

x_ie_i

Œ

= X

i∈I

x_if(e_i), donc par hypothèse pour touti∈I : x_i=0, et donc a fortiori : x=0_E. „

Exemple Pour tousx₁, . . . ,x_n∈Kdistincts, l’applicationP7−→€

P(x₁), . . . ,P(x_nŠ

est un isomorphisme deK_n−1[X]surKⁿ. Démonstration Linéaire, cette application transforme la base (L₁, . . . ,L_n) des polynômes de Lagrange de x₁, . . . ,x_nen uneBASEdeKⁿ, à savoir la base canonique deKⁿcar pour tousi,j∈¹1,nº: L_i(x_j) =δ_{i j}.

2 U N LIEN ÉTROIT ENTRE LE NOYAU ET L ’ IMAGE

2.1 E

’

Définition (Application linéaire de rang fini, rang) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels pas nécessairement de dimension finie et f ∈ L(E,F).

• On dit que f estde rang finisi Imf est de dimension finie, etde rang infinisinon.

• Si f est de rang fini, on appellerang de f, noté rg(f), la dimension de Imf.

Les notions de rang d’une famille de vecteurs et de rang d’une application linéaire ne sont pas sans rapport. Dans le cas oùEest de dimension finie non nulle et de baseB: rg(f) =dim Imf =dim Vect f(B)

=rg f(B) .

Théorème (Inégalités sur le rang et cas d’égalité) SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels et f ∈ L(E,F).

(i) Si F est de dimension finie, f est de rang fini et : rg(f) ¶ dimF, avec égalité si et seulement si f est surjective.

(ii) SiEest de dimension finie,f est de rang fini et : rg(f)¶dimE, avec égalité si et seulement sif est injective.

F

E Imf

En général, une application ne peut que

« contracter » son ensemble de définition. SiEet F sont de dimension finie, il est donc clair que :

rg(f)¶dimE et rg(f)¶dimF.

F

E Imf

f est injective si et seulement si : rg(f) =dimE.

E F=Imf

f est surjective si et seulement si : rg(f) =dimF. Démonstration

(i) Comme : Imf ⊂F, alors Imf est de dimension finie et : rg(f) =dim Imf ¶dimF, avec égalité si et seulement si : Imf =F, i.e. si et seulement si f est surjective.

(ii) SupposonsE6=

0_E et donnons-nous une base(e₁, . . . ,e_n)deE. Aussitôt : Imf =Vect€

f(e₁), . . . ,f(e_n)Š , donc Imf est de dimension finie et : rg(f) =dim Imf ¶ n=dimE, avec égalité si et seulement si

€f(e₁), . . . ,f(e_n)Š

est libre, i.e. si et seulement sif est injective. „

Théorème (Applications linéaires entre espaces vectoriels de mêmes dimensions finies) (i) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels de dimensions finiesÉGALESet f ∈ L(E,F).

f est bijective ⇐⇒ f est injective ⇐⇒ f est surjective.

(ii) SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E).

f ∈GL(E) ⇐⇒ f est inversible à gauche

i.e. : ∃g∈ L(E), g◦f =Id_E

⇐⇒ f est inversible à droite

i.e. : ∃g∈ L(E), f ◦g=Id_E.

L’assertion (i) est la version « applications linéaires » de la caractérisation des bases en dimension finie selon laquelle une famille denvecteurs en dimensionn6=0 est une base si et seulement si elle est libre ou génératrice. Cette fois, on ne dit pas que : bijectif=surjectif=injectif en toute généralité, mais que c’est vrai pour les applications linéaires dont les espaces de départ et d’arrivée ontMÊME DIMENSION FINIE.

L’assertion (ii) est quant à elle la version « endomorphismes » du résultat sur les matrices carrées selon lequel pour tous A,B∈ M_n(K),AetBsont inversibles si : AB=I_n.

Démonstration

(i) Par hypothèse : dimE=dimF. Du coup, f est injective si et seulement si : rg(f) =dimE, i.e. si et seulement si : rg(f) =dimF, i.e. si et seulement sif est surjective.

(ii) Si : f◦g=Id_E pour un certaing∈ L(E), nous savons que f est surjective, et si : g◦f =Id_E, que

f est injective. Le résultat découle alors de l’assertion (i). „

Exemple L’application(x,y,z)7−→^ϕ x+y,−x+y,z

est un automorphisme deR³. Démonstration

• Preuve n^◦1 : ENDOmorphismeEN DIMENSION FINIE,ϕsera bijective si nous montrons simplement qu’elle est injective. Pour tout(x,y,z)∈Kerϕ: ϕ(x,y,z) = x+y,−x+y,z

= (0, 0, 0), donc rapidement : x= y=z=0. Comme voulu : Kerϕ=

(0, 0, 0) .

• Preuve n^◦2 : ϕn’est jamais que l’application linéaire canoniquement associée à la matrice

_{1 1 0}

−1 1 0

0 0 1

, inversible car la famille de ses colonnes est clairement libre.

Exemple Soitn∈N. L’applicationP7−→^ψ X P^′+P(0)est un automorphisme deK_n[X].

Démonstration L’applicationψest bien à valeurs dansK_n[X]car pour toutP∈K_n[X]: deg X P^′+P(0)

¶max¦

deg(X P^′), deg P(0)©

¶max¦

1+deg(P^′), deg P(0)©

¶deg(P)¶n.

Commeψest unENDOmorphismeEN DIMENSION FINIE, il nous suffit, pour en montrer la bijectivité, d’en montrer l’injectivité. SoitP∈Kerψ. Aussitôt : X P^′=−P(0), donc : 1+deg(P^′)¶0, ce qui n’est possible que si Pest constant. Ainsi : ψ(P) =P(0) =0, donc : P=0. Comme voulu : Kerψ=

0 .

2.2 L

Le noyau et l’image d’une application linéaire sont fortement liés, on s’en rend déjà bien compte sur l’exemple simple des matrices. Notons par exempleAla matrice

_{1 1 2}

2 −1 1

1 2 3

de colonnesC₁,C₂etC₃. Clairement : C₃=C₁+C₂, donc : ImA=Vect(C₁,C₂,C₃) =Vect(C₁,C₂), donc ImAest de dimension au plus 2. Or la relation : C₃=C₁+C₂, indique aussi que :

₁

1

−1

∈KerA, et donc que KerAest au moins de dimension 1. Il semblerait ainsi que la somme dim KerA+rg(A) soit constante, i.e. que : ce qu’on perd d’un côté, on le gagne de l’autre. C’est exactement ce qui se passe.

Théorème (Forme géométrique du théorème du rang) SoientEetF deuxK-espaces vectoriels pas nécessairement de dimension finie etf ∈ L(E,F).

Si Kerf possède un supplémentaireI dansE, alors f _I est un isomorphisme deIsur Imf.

Dans l’égalité : E=I⊕Kerf, Kerf est l’ensemble des éléments deEquef ne voit pas, doncf ne voit passer queI, et commeIne touche Kerf que du bout de son zéro, f est injective surI, donc envoie bijectivementI sur Imf.

De manière moins imagée, f _I−1

est l’application qui, à tout élément de Imf, associe son unique antécédent dansI. Démonstration Par restriction, f _I est linéaire deI dans Imf.

• Injectivité : CommeI et Kerf sont en somme directe : Kerf _I=I∩Kerf = 0_E .

• Surjectivité : Soit y∈Imf, disons : y= f(x) pour un certain x∈E. Aussitôt : x=i+k pour certainsi∈I etk∈Kerf car : E=I+Kerf, donc : y=f(x) = f(i) +f(k) = f(i) +0_F=f _I(i). „

Théorème (Théorème du rang) SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels et f ∈ L(E,F).

SiEest de dimension finie : dimE=dim Kerf +rg(f).

Morale de l’histoire : Si je connais le noyau, je connais un peu l’image — et vice versa.

Plus précisément, le théorème du rang est uneLOI DE CONSERVATION DE LA DIMENSION AU DÉPARTau même titre qu’il existe une loi de conservation de l’énergie en mécanique newtonienne pour un système isolé.

L’hypothèse selon laquelle Eest de dimension finie garantit en particulier que Kerf et Imf le sont aussi.

Démonstration CommeEest de dimension finie, Kerf possède un supplémentaireI dansE. Ensuite, f _I est un isomorphisme deI sur Imf d’après la forme géométrique du théorème du rang, donc : dimI =dim Imf, et enfin par supplémentarité deI et Kerf dansE: rg(f) =dim Imf =dimI =dimE−dim Kerf. „

Exemple On pose : A=

_{1 2 −1}

2 −1 8

1 1 1

. Alors : KerA=Vect€

(3,−2,−1)Š

et ImA=Vect€

(1, 2, 1),(2,−1, 1)Š . Démonstration

• Noyau : Pour tout(x,y,z)∈R³: (x,y,z)∈KerA ⇐⇒





x + 2y − z = 0

2x − y + 8z = 0

x + y + z = 0

⇐⇒





x + 2y − z = 0

y − 2z = 0

y − 2z = 0

L₂←²₅ L₁−¹₅ L₂ L₃←L₁−L₃

⇐⇒ y=2z et x=−3z.

Conclusion : KerA=¦

(−3z, 2z,z)| z∈R©

=Vect€

(3,−2,−1)Š .

• Image : D’après le théorème du rang, ImAest de dimension : 3−dim KerA=2.

Or : ImA=Vect€

(1, 2, 1),(2,−1, 1),(−1, 8, 1)Š

et la famille€

(1, 2, 1),(2,−1, 1)Š

est libre, donc cette famille est une base de ImA.

Exemple SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etf ∈ L(E). Si : f³=0_L(E), alors : rg(f)+rg f²

¶dimE.

Démonstration L’égalité : f³ = 0_L(E) montre que pour tout x ∈ E : f f²(x)

= 0_E, i.e. que : Imf²⊂Kerf, et donc en particulier que : rg f²

¶dim Kerf. Appliquons alors le théorème du rang à f, ce qui est possible carEest de dimension finie : dimE=dim Kerf +rg(f)¾rg(f) +rg f²

.

2.3 R

’

Définition (Rang d’une matrice) SoitA∈ M_n,p(K).

(i) Définition : Le rang de l’application linéaire canoniquement associée à Aest égal au rang de la famille des colonnes deA. On appellerang de A, noté rg(A), la valeur commune de ces deux rangs.

En particulier : rg(A)¶min n,p .

(ii) Lien avec l’inversibilité : Dans le cas où : n=p, Aest inversible si et seulement si : rg(A) =n.

Démonstration NotonsC₁, . . . ,C_ples colonnes deA. Pour (i), nous savons déjà que : ImA=Vect(C₁, . . . ,C_p), et pour (ii) avec : n=p, queAest inversible si et seulement si(C₁, . . . ,C_n)est libre, i.e. si et seulement si :

rg(C₁, . . . ,C_n) =n. „

Théorème (Rang d’une famille de vecteurs, rang d’une matrice associée) SoientE6=

0_E unK-espace vectoriel de dimension finie,Bune base deEetX une famille finie de vecteurs deE. Alors : rg(X) =rg€

Mat_B(X)Š .