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Étude de quelques aspects de l’information quantique
pour un système galiléen stochastique.
Juba Messamah
To cite this version:
Juba Messamah. Étude de quelques aspects de l’information quantique pour un système galiléen stochastique.. Physique Quantique [quant-ph]. Université des Sciences et Technologie Houari Boume-dienne (USTHB), Alger, Algérie, 2016. Français. �tel-01468924�
N° d’ordre : 64/2016-C/PH REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène
Faculté de Physique, Département de Physique Théorique
THESE
Présentée pour l’obtention du diplôme de DOCTORAT
3
emeCycle (LMD)
En : PHYSIQUE
Spécialité : Physique Théorique Par : MESSAMAH Juba
Sujet
Étude de quelques aspects de l'information quantique pour un
système galiléen stochastique
Soutenue publiquement, le 01 / 12 / 2016 , devant le jury composé de :
Mme. IGHEZOU Fatima-Zohra Professeur à l’USTHB Présidente
M. HACHEMANE Mahmoud Professeur à l’USTHB Directeur de thèse
M. SMIDA Abdallah Professeur à l’USTHB Examinateur
M. AISSAOUI Habib Professeur à l’UM Constantine Examinateur
M. DEKAR Liès Maître de Conférences/A à l’UYF de Médéa Examinateur
Résumé
Le formalisme de la mécanique quantique sur l'espace des phases est utilisé dans une étude restreinte de la mesure quantique et de l'intrication, et d'une manière plus étendue du protocole de la téléportation à variables continues. Le but est d'explorer partiellement la relation mutuelle entre ce formalisme et l'information quantique. Au lieu des quasi-distributions de Wigner utilisées actuellement dans le cas des variables continues, nous utilisons de vraies densités de probabilité qui sont dé nies positives et qui rendent compte des mesures quantiques non précises au moyen d'une fonction d'onde propre représentant un appareil de mesure quantique non idéal. Ceci peut être réalisé sur un espace des phases non relativiste (ou relativiste). La formule obtenue est semblable à une formule connue en optique quantique mais contient l'eet de l'instru-ment de mesure. Elle a été appliquée à trois cas. Dans le premier cas, les deux appareils de mesure, correspondant aux deux parties intriquées et partagées par Alice et Bob, ne sont pas intriqués et sont décrits par deux fonctions d'ondes propres gaussiennes identiques, relatives au groupe de Weyl-Heisenberg. Elles conduisent à une densité de probabilité identique à la fonction de Husimi qui est analysée et comparée à la fonction de Wigner. Une nouvelle expression de la délité de la téléportation d'un état cohérent est obtenue en fonction des variances des quadratures. Dans le deuxième cas, les deux appareils de mesure sont intriqués dans un état comprimé du vide à deux modes. Dans le troisième cas, les appareils de mesure sont dans un état intriqué comprimé, obtenu par la combinaison de deux états gaussiens. L'observation générale est que les états des appareils de mesure partagés par Alice et Bob in uencent la délité de la téléportation à travers leur imprécision et leur intrication.
Abstract
The quantum mechanics on phase space formalism is used in a restricted study of quantum measurement and entanglement and in a more extensive way of the proto-col of teleportation of continues variables. The aim is to partially explore the mutual relationship between this formalism and quantum information. Instead of the Wigner quasi-distributions used in the case of continuous variables, we use genuine probability densities which are de ned positive and which account for unsharp quantum measure-ments by means of a proper wave function representing non-ideal quantum devices. This can be done on a non-relativistic (or relativistic) phase space. The obtained for-mula is similar to a forfor-mula known in quantum optics but contains the eect of the measuring instrument. It has been applied to three cases. In the rst case, the two measuring instruments, corresponding to the two entangled parts shared by Alice and Bob, are not entangled and are described by two identical gaussian wave functions, relating to the Weyl-Heisenberg group. They lead to a probability density identical to the Husimi function which is analyzed and compared with the Wigner function. A new expression of the delity of teleportation of a coherent state is obtained as a function of the quadrature variances. In the second case, the two measuring devices are entangled in a two modes squeezed state. In the third case, the measuring instruments are in a squeezed entangled state, obtained by the combination of two gaussian states. The general observation is that the states of the measuring instruments shared by Alice and Bob in uence the delity of the teleportation through their imprecision and their entanglement.
Remerciements
Ce travail de thèse a été eectué au Laboratoire de Physique Théorique de l'USTHB, sous la direction de Monsieur Hachemane Mahmoud, professeur à la Faculté de Physique de l'USTHB. Je tiens tout particulièrement à le remercier pour ses précieux conseils, son savoir scienti que qu'il m'a transmis et son soutien infaillible durant les moments di ciles.
Les recherches dans le cadre de cette thèse ont été menés au sein de l'équipe Théorie Quan-tique des Champs du laboratoire de Physique Théorique, dirigée par Monsieur Smida Abdallah, professeur à la Faculté de Physique de l'USTHB. Je tiens à le remercier de m'avoir intégré à son équipe durant ce doctorat et d'avoir créé toutes les conditions pour le bon déroulement des travaux de recherche. Je le remercie tout particulièrement pour ses précieux conseils, son aide à la publication de nos travaux de recherches et pour toutes les discussions scienti ques intéres-santes auxquelles j'ai eu l'honneur d'assister. Je remercie aussi Madame Hamici-Bendimerad Amel-Hiba, professeur à la Faculté de Physique et membre de l'équipe de recherche, pour son soutien durant toute la période de ce doctorat et d'avoir rendu mon intégration à l'équipe plus facile.
Je remercie Monsieur Franklin E. Schroeck, Jr., professeur à l'Université de Denver, pour sa contribution à la publication des travaux de recherche. Je remercie aussi Monsieur Paul Busch, professeur à l'Université de York, et son étudiant Thomas J. Bullock pour leur accueil durant le stage où une partie des travaux a été eectuée.
Je remercie Madame Ighezou Fatma-Zohra, professeur à la Faculté de Physique de l'US-THB, pour m'avoir fait l'honneur d'accepter de présider le jury de thèse.
J'adresse mes sincères remerciements à Monsieur Aissaoui Habib, professeur à l'Université de Constantine, à Monsieur Dekar Liès, maître de conférences à l'Université de Médéa, à Monsieur Smida Abdallah, professeur à l'USTHB et à Madame Hamici-Bendimerad Amel-Hiba,
Table des matières
Résumé i
Abstract ii
Remerciements iv
Table des matières v
Introduction 1
1 Information quantique des variables discrètes 5
1.1 Introduction . . . 5
1.2 Les variables discrètes en mécanique quantique . . . 5
1.3 Intrication des variables discrètes . . . 19
1.3.1 Intrication d'un état pur bipartite . . . 19
1.3.2 Intrication d'un mélange statistique . . . 22
1.3.3 Mesures quantitatives de l'intrication . . . 23
1.4 Téléportation quantique des variables discrètes . . . 26
1.5 Conclusion . . . 28
2 Information quantique des variables continues 29 2.1 Introduction . . . 29
2.2 Variables continues en mécanique quantique . . . 30
2.3 États purs gaussiens : États cohérents - États comprimés . . . 31
2.4 Représentations espace des phases . . . 36
2.5 Intrication des variables continues . . . 42
2.6 Téléportation quantique des variables continues . . . 46
2.6.1 Téléportation en représentation de Heisenberg . . . 47
TABLE DES MATIÈRES
2.6.3 Fidélité de téléportation d'un état cohérent . . . 51
2.7 Conclusion . . . 52
3 Mécanique quantique sur l'espace des phases 55 3.1 Introduction . . . 55
3.2 Outils mathématiques . . . 56
3.2.1 Variétés diérentiables . . . 56
3.2.2 Théorie des groupes de Lie et représentations . . . 64
3.2.3 Variétés et groupes symplectiques (espaces des phases) : . . . . 69
3.3 Méthode générale . . . 72
3.3.1 Espaces des phases d'un groupe de Lie . . . 72
3.3.2 Représentation irréductible du groupe de symétrie sur l'espace des phases . . . 77
3.4 Groupe de Weyl-Heisenberg . . . 83
3.5 Conclusion . . . 91
4 Information quantique en mécanique quantique sur l'espace des phases 93 4.1 Introduction . . . 93
4.2 Notions de mécanique quantique opérationnelle . . . 93
4.2.1 Observables comme POVM . . . 93
4.2.2 Éléments de la théorie quantique de la mesure . . . 98
4.3 Interprétation de la mécanique quantique sur l'espace des phases . . . . 105
4.3.1 Observable espace des phases et mesure simultanée de la position et de l'impulsion . . . 105
4.3.2 Une représentation espace des phases de la mécanique quantique 113 4.4 Applications à la téléportation quantique . . . 120
4.4.1 Modèle de la mesure d'Arthurs et Kelly pour la téléportation des variables continues . . . 120
4.4.2 Téléportation en mécanique quantique sur l'espace des phases . 126 4.5 Conclusion . . . 141
Conclusion 143
Bibliographie 145
Introduction
La mécanique quantique a pu décrire avec succès un grand nombre de phénomènes exhibant un comportement non classique. Cependant, comme il a été remarqué par plusieurs chercheurs, elle soure de quelques inconsistances. Au début, ceci a suscité certaines critiques présentées sous formes d'expériences de pensée et prétendant prouver le caractère incomplet de la mécanique quantique comme le célèbre paradoxe EPR [1] et celui du chat de Schrödinger [2]. Indépendamment du contexte historique, on peut reconnaître deux notions fondamentales à l'origine de ces deux paradoxes : l'intrication et la réduction du paquet d'ondes lors d'une mesure quantique (combinées au prin-cipe de superposition). L'expérience a tranché en faveur de l'intrication [3,4] mais le problème de la mesure a connu plusieurs tentatives de résolution sans succès total.
Cependant, au lieu d'être des handicaps pour la mécanique, ces notions ont été exploitées d'une manière ingénieuse pour étendre les exploits de la mécanique quantique au domaine de la théorie de l'information.
L'idée germait déjà dans l'esprit de Feynman qui, en 1982, a proposé de construire un ordinateur quantique pour simuler e cacement le comportement des systèmes quan-tiques [5]. La même année, le théorème de non-clonage a été énoncé par Wootters et Zurek [6], et Dieks [7]. Le protocole de distribution de clé quantique, le BB84, est élaboré par Bennett et Brassard en 1984 [8]. L'algorithme théorique de Deutsch dé-terminant si une fonction binaire est constante ou équilibrée est publié en 1985 et généralisé en 1992 par Deutsch-Jozsa [9]. Le fameux algorithme de Shor, permettant de factoriser un nombre entier en un temps polynomial, a marqué la ruée vers l'in-formation quantique depuis 1994 [10]. En 1995, le théorème du codage de source de Shannon est démontré par Schumacher dans le cas du codage quantique et la notion de qubit est introduite [11]. En 1996, Grover a proposé un algorithme de recherche quantique dans une base de données non structurée plus e cace que les algorithmes classiques [12].
INTRODUCTION
consiste à transférer un état quantique inconnu entre deux stations, Alice et Bob, en utilisant un canal classique et un état intriqué partagé par les deux parties. Le protocole de téléportation a été reformulé en 1994 pour des systèmes décrits avec des variables continues (position et impulsion) par Vaidman [14], en utilisant les états maximalle-ment intriqués introduits auparavant par EPR [1]. En 1998, Braunstein et Kimble [15] ont proposé d'étendre ce protocole en utilisant des états intriqués avec un degré de corrélation ni, en prenant comme variables continues les quadratures du champ élec-tromagnétique. Dans ce dernier cas, les états intriqués sont inconditionnellement créés en utilisant un état comprimé à deux modes [16]. Le protocole standard de cette télé-portation est basé sur la description des états quantiques dans l'espace des phases par leurs fonctions de Wigner. Ces dernières sont des quasi-distributions de probabilité qui ne sont pas dé nies positives pour tous les états quantiques mais seulement pour les états gaussiens [17].
Il se trouve qu'une mécanique quantique sur l'espace des phases [18], appelée aussi mécanique quantique stochastique [19], vise à résoudre plusieurs problèmes et para-doxes de la mécanique quantique conventionnelle [20]. Un des problèmes résolus par la mécanique quantique stochastique est celui de la non existence de distributions de probabilité sur l'espace des phases. En eet, la mécanique quantique stochastique est formulée en utilisant une fonction d'onde sur l'espace des phases, de sorte que la den-sité de probabilité correspondante soit dé nie positive dés le début. Pour construire de telles fonctions dans le cas scalaire non relativiste, on utilise une transformation unitaire Wη : L2
(RnConf) → L
2(Γ) qui lie les fonctions d'onde ψ(x) de l'espace de la
représentation con guration L2
(RnConf) aux fonctions Ψ(q, p) appartenant à un
sous-espace WηL2(Γ)⊂ L2(Γ)où Γ est l'espace des phases habituel. La transformation Wη
est déterminée par la fonction η qui décrit l'instrument de mesure [18]. Le sous-espace WηL2(Γ) est construit de façon à obtenir une représentation irréductible du groupe
de symétrie du système considéré. Dans le cas général des particules non relativistes, cette symétrie correspond au groupe de Galilée G10.
Du fait de l'introduction de l'appareil de mesure dans son formalisme, la mécanique quantique stochastique utilise des mesures (au sens mathématique) ayant comme va-leurs des opérateurs positifs (Positive Operator Valued measures, en abrégé (POV) measures ou (POVM)) au lieu des opérateurs de projection usuels (Projective Valued (PV) measures) associés à un opérateur hermitien au moyen du théorème de la décom-position spectrale. En eet, le formalisme des mesures PV constitue un cas particulier du formalisme plus général des mesures POV. On rencontre ces dernières mesures dans plusieurs domaines de recherche relevant aussi bien des fondements de la théorie
quan-INTRODUCTION
tique liés au problème de la mesure quantique [19,2123] que de l'analyse théorique des expériences manipulant des objets quantiques individuels tels que les photons et les atomes en optique quantique et en communication de l'information [2426]. Elles permettent une généralisation de la notion de propriétés d'un système qui décrit aussi bien les propriétés précises (sharp) que les propriétés imprécises (unsharp). Elles sont utiles aussi dans la description de la mesure simultanée d'observables complémentaires telles que la position et l'impulsion ou les quadratures d'un mode du champ électroma-gnétique, au moyen d'observables imprécises appelées observables espace des phases.
Dans le présent travail, nous étudions la relation entre la théorie de l'information quantique et la représentation espace des phases stochastique de la mécanique quan-tique, dans le cas particulier de la téléportation avec des variables continues. En eet, d'une part, la dernière théorie prétend être consistante et complètement quantique au sens de l'utilisation d'instruments de mesure non idéaux. D'autre part, on s'attend à ce que l'information quantique éclaircira certains points obscurs dans les fondements de la mécanique quantique à travers des expériences à nombre de particules de plus en plus petit. Par conséquent, à un certain stade, la considération de la nature quantique de l'instrument de mesure sera nécessaire et son eet sur les processus d'information quantique devra être étudié. Dans ce contexte, nous présentons une étude théorique de la téléportation quantique dans une représentation espace des phases du groupe de Weyl-Heisenberg à une dimension, sous-groupe du groupe de Galilée.
Dans les trois premiers chapitres de la présente thèse, nous présentons les notions qu'il nous a fallu apprendre pour mener à terme notre travail. Le dernier chapitre contient notre contribution personnelle et constitue un travail original. Dans le premier chapitre, nous présentons les éléments d'information quantique à variables discrètes les plus proches de notre sujet. Il s'agit de l'intrication, de ses critères et sa mesure ainsi que de la téléportation. Dans le deuxième chapitre, nous reprenons ces éléments dans le cas de l'information quantique à variables continues. Une attention particulière est réservée aux états gaussiens et à leur représentation de Wigner utilisés dans la téléportation de ces variables. Le troisième chapitre est une présentation de la représentation espace des phases (stochastique) avec une orientation mathématique. Quelques éléments des variétés diérentiables, de la théorie des groupes de Lie et des variétés et groupes symplectiques sont introduits en premier. La méthode générale de détermination de l'espace des phases relatif à un groupe et les représentations correspondantes est alors présentée. Par la suite, cette méthode est appliquée au groupe de Weyl-Heisenberg à n dimensions.
INTRODUCTION
des phases stochastique et la mesure quantique formulée en termes de POVM. Ces mesures POV seront exprimées comme des intégrales des états des appareils de mesure. Cette section ne constitue pas encore notre contribution qui ne commence que dans la section suivante, où nous présentons l'étude générale de la téléportation dans la représentation espace des phases stochastique avant de l'appliquer à trois cas concrets qui se distinguent par les états des appareils de mesure partagés par Alice et Bob. Dans le premier cas, ils sont non intriqués et dans les deux autres ils sont intriqués. Dans chaque cas, nous déterminons et étudions la délité en fonction des paramètres d'intrication et d'imprécision des appareils de mesure et nous comparons les cas limites au résultat du formalisme de Wigner.
Chapitre 1
Information quantique des variables
discrètes
1.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous allons présenter quelques éléments pour l'étude de l'informa-tion quantique dans le régime des variables discrètes. Nous allons présenter en premier lieu quelques notions de mécanique quantique pour les variables discrètes, en insistant sur la notion d'opérateur densité qui décrit de manière générale les états des systèmes quantiques, ainsi que la notion d'opérateur densité réduit, utile à l'étude de l'intrica-tion. Ensuite, nous allons nous intéresser à l'intrication des variables discrètes et à sa caractérisation. Finalement, nous allons exposer le principe de la téléportation quan-tique à variables discrètes, illustrant l'utilisation de l'intrication quanquan-tique comme une ressource pour communiquer l'information.
1.2 Les variables discrètes en mécanique quantique
Dans ce qui suit, nous nous intéressons au régime des variables discrètes. Les va-riables discrètes signi ent que les systèmes physiques sont décrits par des états quan-tiques appartenant à des espaces de Hilbert de dimensions nies. Pour rappel, la mé-canique quantique est un modèle mathématique de la physique. Comme dans la méca-nique classique, pour étudier un système physique, on a besoin de dé nir son état, ses propriétés physiques, leur mesures et en n l'évolution de cet état dans le temps.
1. Les états : Les états d'un système quantique sont représentés par des rayons dans un espace de Hilbert. L'espace de Hilbert est un espace vectoriel, de
vec-1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
teurs notés |ψi, sur le corps des nombres complexes C. Il est muni d'un produit scalaire hϕ|ψi et est complet dans la norme kψk = hψ|ψi1/2. Les rayons sont des
classes d'équivalences de vecteurs qui ne dièrent que par la multiplication par un facteur complexe. On peut choisir comme représentant de la classe d'équivalence un vecteur |ψi de norme unité
hψ|ψi = 1. (1.2.1)
Les états d'un systèmes obéissent au principe de superposition tel que, si les vecteurs |ϕi et |ψi représentent chacun un état du système, alors le vecteur a|ϕi + b |ψi, où a et b sont complexes, représente aussi un état du même système physique.
2. Les propriétés physiques : En mécanique quantique, les propriétés physiques d'un système (ou observables) sont représentées par des opérateurs hermitiens agissant dans l'espace de Hilbert des états. les états propres d'un opérateur her-mitien A forment une base pour l'espace de Hilbert. Il peut s'écrire sous la forme
A =X
n
anPn. (1.2.2)
L'équation (1.2.2) représente la décomposition spectrale de l'observable A. Les an
sont les valeurs propres de A et les Pn sont les projecteurs orthogonaux sur les
sous-espaces propres associés aux valeurs propres an. Ces projecteurs satisfont les
relations suivantes
PnPm = δnmPn,
P†n= Pn.
(1.2.3) si an est non-dégénérée, le projecteur associé Pn peut s'écrire sous la forme
Pn =|ni hn| , (1.2.4)
où |ni représente l'état propre de A associé à la valeur propre an. La
décom-position spectrale d'une observable permet de décrire cette dernière comme une mesure projective, en anglais Projective Valued Measure (PVM). Dans le cha-pitre (4), nous utiliserons une description plus générale d'observables basée sur les mesures d'opérateurs positifs (POVM).
1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
|ψi, a comme résultat une des valeurs propres an de A, avec une probabilité
Prob(an) = ||Pn|ψi| |2 =hψ| Pn|ψi . (1.2.5)
Si la mesure donne comme résultat la valeur propre an, l'état normalisé du
sys-tème, immédiatement après la mesure sera donné par Pn|ψi
(hψ| Pn|ψi)1/2
. (1.2.6)
La mesure décrite ci-dessus est une mesure projective. Là aussi, une description plus générale de la mesure est possible à l'aide des POVM comme nous le verrons au chapitre (4).
4. l'évolution dynamique : En mécanique quantique non-relativiste, l'évolution temporelle de l'état d'un système physique est gouvernée par l'équation de Schrö-dinger donnée par
d
dt|ψ(t)i = −iH |ψ(t)i , (1.2.7)
où l'opérateur hermitien H est l'hamiltonien du système. Le fait que l'hamiltonien soit un opérateur hermitien (H†= H), assure l'unitarité de l'opérateur évolution
U(t) = lim N →∞ 1− iH t N N = e−iHt. (1.2.8)
Parmi les états quantiques à variables discrètes, ceux appartenant à un espace de Hilbert de dimension 2 ont une importance capitale en information quantique. En eet, L'unité de mesure en information classique et le bit, une abréviation pour binary digit (chire binaire). Chaque bit représente donc un état qui ne peut prendre, selon le contexte, que l'une des deux valeurs {0, 1}, {faux, vrais}, {Sud, Nord}, etc. Le qubit est l'unité de mesure équivalente en information quantique. Chaque qubit représente un état du plus simple système non trivial possible. Il est représenté donc par un rayon dans un espace de Hilbert à 2 dimensions
|ψi = a |0i + b |1i . (1.2.9)
Les vecteurs {|0i , |1i} forment une base de l'espace de Hilbert à deux dimensions. Ils peuvent être interprétés comme les spins bas |↓i et haut |↑i selon une direction donnée, d'un système de spin 1
direc-1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE d'un atome à deux niveaux, etc.
L'état d'un système physique n'est pas toujours connu parfaitement. Dans certains cas, l'état physique est décrit par un mélange statistique d'états ; c'est-à-dire que le système peut être dans l'état |ψ1i avec une probabilité p1, dans l'état |ψ2i avec une
probabilité p2. . . où les probabilités pk véri ent
X
k
pk = 1. (1.2.10)
Dans ce cas, nous ne pouvons pas décrire l'état du système physique par un seul vecteur, mais plutôt par un opérateur, c'est l'opérateur densité. Dans ce qui suit, nous allons introduire l'opérateur densité dans le cas où l'état du système est parfaitement connu, c'est-à-dire qu'il est décrit par un seul vecteur d'état |ψi. Nous verrons que toutes les prédictions sur les mesures ou l'évolution de l'état du système, en utilisant la description avec |ψi, est équivalente à celle que l'on obtiendrait si on utilisait l'opérateur densité. Ensuite, nous allons généraliser les résultats obtenus dans le cas d'un état vecteur, à celui d'un mélange statistique d'états.
Si l'on associe à un espace de Hilbert la base formée des vecteurs orthonormés {|uni}, l'état du système peut s'écrire comme
|ψ(t)i =X
n
cn(t)|uni . (1.2.11)
La condition de normalisation de l'état |ψ(t)i est traduite par la relation X
n
|cn(t)|2 = 1. (1.2.12)
La valeur moyenne d'une observable A dans l'état |ψ(t)i est donnée par hψ(t)| A |ψ(t)i =X
n,p
c∗n(t)cp(t)Anp, (1.2.13)
où les nombres complexes Anp représentent les éléments de matrice hun| A |upi de
l'ob-servable A dans la base {|uni}. Les coe cients c∗n(t)cp(t) qui apparaissent dans
l'équa-tion (1.2.13), peuvent être vus comme les éléments de matrice d'un opérateur
1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE dans la base {|uni}
ρpn(t) =hup| ψ(t)i hψ(t) | uni = c∗n(t)cp(t). (1.2.15)
L'opérateur ρ(t) est l'opérateur densité. Dans le cas où l'état du système est représenté par un seul vecteur d'état, il n'est autre que le projecteur sur cet état.
La condition de normalisation (1.2.12) s'écrit en fonction de l'opérateur densité comme suit hψ(t)|ψ(t)i =X n |cn(t)| 2 =X n ρnn(t) = Tr [ρ(t)] = 1, (1.2.16)
où Tr représente la trace. La valeur moyenne de l'observable A devient hψ(t)| A |ψ(t)i = X n,p ρpn(t)Anp = X n,p hup| ρ(t) |uni hun| A |upi (1.2.17) = X p hup| ρ(t)A |upi = Tr [ρ(t)A] . (1.2.18)
La probabilité d'obtenir le résultat an lors d'une mesure de l'observable A est donnée
par
Prob(an) = hψ(t)| Pn|ψ(t)i = Tr [ρ(t)Pn] , (1.2.19)
où Pn est le projecteur sur le sous-espace propre associé à la valeur propre an.
En n, en utilisant l'équation (1.2.7), l'évolution de l'état du système s'exprime à travers l'évolution de l'opérateur densité comme suit
d dtρ(t) = d dt(|ψ(t)i hψ(t)|) = 1 i~H|ψ(t)i hψ(t)| − 1 i~|ψ(t)i hψ(t)| H = 1 i~Hρ(t)− 1 i~ρ(t)H, (1.2.20) d'où i~d dtρ(t) = [H, ρ(t)] . (1.2.21)
Les équations (1.2.16), (1.2.17) et (1.2.21) montrent que dans le cas des systèmes purs, la description de l'état peut se faire aussi bien par un rayon dans l'espace de
1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
premier, comme la linéarité des expressions et la disparition de l'arbitraire sur le choix de la phase globale pour les états.
D'après la dé nition (1.2.14) et les propriétés des projecteurs (1.2.3), l'opérateur densité véri e les propriétés suivantes dans le cas d'un système décrit par un seul vecteur
ρ†(t) = ρ(t) (Hermitien). (1.2.22)
hu | ρ | ui ≥ 0, ∀ |ui (dé ni positif). (1.2.23)
ρ2(t) = ρ(t). (1.2.24)
Trρ2(t) = 1. (1.2.25)
Nous allons trouver maintenant l'expression de l'opérateur densité et généraliserons les expressions (1.2.16), (1.2.17) et (1.2.21) dans le cas d'un mélange statistique d'états. Supposons que le système se trouve dans l'état |ψki avec la probabilité pk. Dans ce cas,
nous pouvons utiliser l'expression (1.2.17) pour écrire
Pk(an)≡ hψk| Pn|ψki = Tr [ρkPn] . (1.2.26)
L'expression (1.2.26) représente la probabilité de trouver la valeur anlors d'une mesure
de l'observable A, lorsque le système est initialement dans l'état ρk ≡ |ψki hψk|. La
probabilité totale de trouver la valeur an est obtenue en pondérant Pk(an) par la
probabilité pk, puis en sommant sur toutes les valeurs de k
Prob(an) =
X
k
pkPk(an). (1.2.27)
La linéarité de l'expression (1.2.26) nous permet d'écrire (1.2.27) sous la forme Prob(an) = X k pkTr [ρkPn] = Tr " X k pkρkPn # = Tr [ρPn] , (1.2.28)
1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE où l'opérateur dé ni comme
ρ≡X k pkρk= X k pk|ψki hψk| , (1.2.29)
représente l'opérateur densité du mélange statistique d'états. L'expression (1.2.28) re-présente donc la généralisation de la probabilité (1.2.19) au cas d'un mélange statistique d'états. La valeur moyenne de l'observable A s'écrit comme
hAi = X n anTr [ρPn] = Tr " ρX n anPn # = Tr [ρA] , (1.2.30)
ce qui représente la généralisation de la valeur moyenne d'une observable dans un mélange statistique d'états.
L'évolution temporelle du système s'obtient en utilisant la dé nition de l'opérateur densité (1.2.29) et la linéarité de l'équation (1.2.21)
i~d dtρ(t) = X k pki~ d dtρk(t) = X k pk[H, ρk(t)] = " H,X k pkρk(t) # , (1.2.31)
où nous avons supposé que les probabilités pk sont indépendantes du temps, d'où
i~d
dtρ(t) = [H, ρ(t)] . (1.2.32)
L'expression (1.2.21) donnant l'évolution dans le temps de l'opérateur densité reste donc valable dans le cas d'un mélange statistique d'états.
Nous pouvons déduire quelques propriétés de l'opérateur densité ρ dans le cas du mélange statistique, à partir de celles de l'opérateur ρk dans le cas d'un seul vecteur
1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE d'état. D'après (1.2.16), on a Tr [ρ] = Tr " X k pkρk # = X k pkTr [ρk] = X k pk= 1. (1.2.33)
Comme les probabilités pk sont réelles et les opérateurs ρk hermitiens, l'opérateur
densité ρ est également hermitien
ρ†= ρ. (1.2.34)
En revanche, contrairement à l'opérateur densité d'un état pur, l'opérateur densité dans le cas d'un mélange statistique ne véri e pas en général les relations (1.2.24) et (1.2.25) car ce n'est pas un projecteur comme dans le premier cas. Il su t que l'une de ces relations ne soit pas véri ée pour a rmer que le système est décrit par un mélange statistique d'états.
Les éléments diagonaux ρnnde l'opérateur densité dans une base {|uni} représentent
la population de l'état |uni. En eet,
ρnn =hun| ρ | uni = X k pk[ρk]nn = X k pk ckn 2 . (1.2.35) Les termes ck n 2
représentent la probabilité que le système, initialement dans l'état |ψki, soit dans l'état |uni après une mesure. ρnn est la probabilité moyenne prise sur
tous les états possibles |ψki. Si l'on avait un grand nombre N de systèmes identiques,
nous obtiendrons Nρnn systèmes dans l'état |uni lors d'une mesure eectuée dans les
mêmes conditions sur tous les systèmes, d'où l'appellation de population de l'état |uni.
Les populations ρnn sont des nombres réels positifs qui ne s'annulent que lorsque tous
les ckn
2
sont nuls.
Les éléments non-diagonaux ρpn sont donnés par
ρpn =hup| ρ | uni = X k pk[ρk]pn = X k pkck∗n c k p. (1.2.36) Les termes ck∗
n ckp représentent les termes d'interférences entre les deux états |upi et |uni
lorsque |ψki est une superposition linéaire des ces deux états. Les éléments de matrice
1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
Ils traduisent la cohérence qui existe entre les états |upi et |uni, ils portent donc le nom
de Cohérences. Les ρpn sont une somme de nombres complexes et qui, contrairement
aux populations ρnn, peuvent s'annuler même si tous les termes ck∗n ckp ne sont pas nuls.
La sphère de Bloch est une représentation utile à la description des systèmes phy-siques se trouvant dans des états qubits ou des mélanges statistiques de qubits. Nous pouvons choisir comme base pour toutes les matrices 2×2 hermitiennes, la base formée des matrices de Pauli et de la matrice identité {I, σ1, σ2, σ3} avec
σ1 = 0 1 1 0 ! σ2 = 0 −i i 0 ! σ3 = 1 0 0 −1 ! . (1.2.37)
Toute matrice 2 × 2 hermitienne peut être décomposée sur cette base. Soit ρ un opé-rateur densité, il s'écrit comme
ρ = λ0I + λ1σ1+ λ2σ2+ λ3σ3. (1.2.38)
Comme ρ est de trace unité et que Tr {σi} = 0 alors
Tr [ρ] = λ0Tr [I] + X i λiTr [σi] = 2λ0 = 1, =⇒ λ0 = 1 2. (1.2.39)
D'où l'expression de l'opérateur densité en fonction des matrices de Pauli
ρ = 1 2 I + ~P .~σ = 1 2 1 + P3 P1− iP2 P1+ iP2 1− P3 ! , (1.2.40) avec ~ P = P1 = 2λ1 P2 = 2λ2 P3 = 2λ3 ~σ = σ1 σ2 σ3 . (1.2.41)
1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE Les valeurs propres de ρ sont obtenues en posant
det (ρ− λI) = (ρ11− λ) (ρ22− λ) − ρ12ρ21
= λ2− Tr [ρ] λ + det (ρ)
= λ2− λ + det (ρ) = 0. (1.2.42)
Comme ρ est hermitien et dé ni positif, ses valeurs propres sont réelles est positives. Elles s'écrivent comme
λ± = 1±
p
1− 4det (ρ) ≥ 0, (1.2.43)
d'où la condition suivante pour que ρ représente bien l'état d'un système physique (état pur ou mélange statistique)
det (ρ) = 1 4 1− ~P2 ≥ 0 =⇒ 0 ≤ ~ P 2 ≤ 1. (1.2.44)
Donc tous les états d'un système physique à deux niveaux sont contenus dans une sphère de rayon unité, c'est la sphère de Bloch. Les états à la surface de la sphère de Bloch représentent les qubits (états purs) et ceux à l'intérieur de la sphère représentent les mélanges statistiques de qubits.
La pureté d'un mélange statistique est la mesure du degré d'ignorance de l'état d'un système physique. Elle est dé nie par
ς ≡ Tr ρ2 . (1.2.45)
On peut voir que, dans le cas où le système est décrit par un état vecteur normalisé |ψi, c'est-à-dire que l'état du système est parfaitement connu, l'opérateur densité qui lui est associé est simplement le projecteur ρ = ρ2 =|ψi hψ|. Dans ce cas
1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
Dans le cas général d'un mélange statistique, calculons la trace (1.2.45) dans la base des états propres {|ψii} de l'opérateur densité dans un espace de Hilbert à N-dimensions
ς = N X i ψi ρ2ψi = N X i λ2i, (1.2.47)
où les λi représentent les valeurs propres de l'opérateur densité. On remarque que
1 N ≤ N X i λ2i. (1.2.48)
la pureté atteint la valeur minimale 1
N précisément lorsque λi = 1
N pour toutes les
valeurs de i = 1, ...N. On dit que dans ce cas, on ignore totalement l'état du système. Revenons maintenant au cas où le système quantique est représenté par un seul état vecteur. Imaginons en plus que le système soit formé de deux sous-systèmes A et B. Supposons que HA et HB représentent les espaces, de dimensions nies, des états des
sous-systèmes A et B respectivement. Les états du système global appartiennent donc à l'espace produit tensoriel HA⊗ HB. Si on associe les bases orthonormées {|µiA} et
{|νiB}, avec µ, ν = 0, 1, . . ., aux deux espaces HA et HB respectivement, les vecteurs
{|µiA|νiB} représenteront alors une base orthonormée pour l'espace HA⊗ HB. Les
états normés du système global peuvent s'écrire comme |ψiAB =
X
µ,ν
aµν|µiA|νiB avec
X
µ,ν
|aµν| 2
= 1. (1.2.49)
Nous voulons arriver à faire des prédictions sur la mesure d'observables n'agissant que sur l'une des deux parties (disons A) du système global, en supposant l'autre partie (dans ce cas B) inaccessible. Pour cela, considérons l'observable MA n'agissant
que dans l'espace HAassocié à la partie A du système. Le prolongement de l'observable
à l'espace total HA⊗ HB s'écrit
˜
1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
La valeur moyenne de ˜MA lorsque le système global est dans l'état |ψiAB est alors
D ˜MAE = ABhψ | MA⊗ 1B| ψiAB = X α,β,µ,ν a∗αβaµν Ahα | MA| µiA Bhβ | 1B| νiB = X α,µ X ν a∗ανaµν Ahα | MA| µiA. (1.2.51) Les termes P ν
a∗ανaµν peuvent être vus comme les éléments de matrice, écrite dans la
base {|µiA}, d'un opérateur ρA donné par
ρA≡ TrB{|ψiAB ABhψ|} =
X
ν
Bhν | ψiAB ABhψ | νiB, (1.2.52)
où l'opération TrB est la trace partielle par rapport au sous-système B. L'opérateur
ρ≡ |ψiAB ABhψ| , (1.2.53)
n'est autre que l'opérateur densité du système global qui, dans ce cas, est représenté par un projecteur sur l'espace à une dimension engendré par le vecteur d'état |ψiAB.
En remplaçant l'expression (1.2.49) dans (1.2.52), on trouve l'expression suivante pour l'opérateur ρA ρA = X ν Bhν| X µ0,ν0,α0,β0 aµ0ν0a∗α0β0|µ0iA|ν0iB Ahα0| Bhβ0| ! |νiB = X µ0,α0 X ν aµ0νa∗ α0ν|µ0iA Ahα0| , (1.2.54)
et les éléments de matrice [ρA]µα sont bien donnés par
[ρA]µα = Ahµ| X µ0,α0 X ν aµ0νa∗ α0ν|µ0iA Ahα0| ! |αiA = X ν aµνa∗αν (1.2.55)
A partir de la dé nition de l'opérateur ρA, nous pouvons déduire les propriétés
1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE 1. ρA est hermitien ρ†A = X µ,α,ν (aµνa∗αν|µiA Ahα|) † = X µ,α,ν a∗µνaαν|αiA Ahµ| = ρA. (1.2.56)
2. ρA est dé ni positif
∀ |ψiA ∈ HA tel que |ψiA=
X β cβ|βiA Ahψ | ρA| ψiA = X µ,α,β,ν aµνa∗ανc ∗ βcβ Ahβ | µiA | {z } δβµ Ahα | βiA | {z } δβα = X β,ν |aβν|2|cβ|2 ≥ 0. (1.2.57)
3. ρA est de trace unité
Tr [ρA] = TrA[TrB[ρ]] =
X
µ,ν
Ahµ| Bhν | ρ | µiA|νiB
= Tr [ρ] = 1. (1.2.58)
La valeur moyenne donnée en (1.2.51) s'exprime en fonction de l'opérateur ρA comme
suit D ˜MAE = X α,µ Ahµ | ρA| αiA Ahα | MA| µiA = X µ Ahµ | ρAMA| µiA = Tr{ρAMA} . (1.2.59)
Si on s'intéresse à un résultat donné d'une mesure eectuée sur le sous-système A uniquement, la probabilité de trouver le résultat a est obtenue en remplaçant dans l'équation (1.2.59) l'opérateur MA et son prolongement ˜MA par le projecteur PA(a)
et son prolongement ˜PA(a) = PA(a)⊗ IB, associés au résultat a
Prob (a) =D ˜PA(a)
E
1.2. LES VARIABLES DISCRÈTES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
Les relations (1.2.56 1.2.59) montrent que l'opérateur ρA véri e toutes les
pro-priétés de l'opérateur densité. En plus, il permet de calculer la valeur moyenne d'une observable et la probabilité d'obtenir un résultat donné lors d'une mesure eectuée sur une partie du système, comme si ρA était l'opérateur densité caractérisant la partie
A seule. Il est donc naturel d'interpréter l'opérateur ρA comme un opérateur densité.
Tout ce qui a été fait jusqu'ici pour le sous-système A s'applique au sous-système B, en lui associant aussi un opérateur densité ρB véri ant les mêmes propriétés.
Nous avons supposé que l'état du système global était parfaitement connu. Comme nous l'avons vu dans la section précédente, la description de cet état peut se faire aussi bien par le vecteur d'état |ψiAB que par l'opérateur densité
ρ =|ψiAB ABhψ| , (1.2.61)
ce dernier véri e, dans ce cas, les relations (1.2.24) et (1.2.25). Dans le cas où l'état du système global |ψiAB peut s'écrire comme le produit de deux états, chacun appartenant
à l'espace de Hilbert décrivant les états d'un sous-système
|ψiAB =|ϕiA|χiB, (1.2.62)
l'opérateur densité total s'écrit comme le produit tensoriel des opérateurs ρA et ρB
ρ = ρA⊗ ρB, (1.2.63)
où ces derniers se réduisent aux projecteurs sur les espaces à une dimension engendrés respectivement par les vecteurs |ϕiA et |χiB
ρA = |ϕiA Ahϕ| , (1.2.64)
ρB = |χiB Bhχ| . (1.2.65)
Ainsi, les opérateurs densité associés aux systèmes partiels A et B véri ent les relations
ρ2A(B) = ρA(B), (1.2.66)
Trρ2A(B) = 1. (1.2.67)
Le système global n'est alors que la simple juxtaposition des deux sous-systèmes (d'états purs) A et B.
1.3. INTRICATION DES VARIABLES DISCRÈTES
En revanche, si l'état du système global ne peut pas s'exprimer comme un produit, les opérateurs de densité partiels ρA et ρB ne véri ent pas, en général, ces relations.
Par exemple Trρ2 A = X β Ahβ| X µ,α,ν aµνa∗αν|µiA Ahα| !2 |βiA = X β X µ,α,µ0,α0 X ν,ν0 aµνa∗ανaµ0ν0a∗α0ν0Ahβ | µiA | {z } δβµ Ahα | µ0iA | {z } δαµ0 Ahα0| βiA | {z } δα0β = X β,α,ν,ν0 aβνa∗ανaαν0a∗ βν0 6= 1. (1.2.68)
Ce qui signi e que, en général, on ne peut pas décrire les états des sous-systèmes A et B par des rayons |ϕiA et |χiB. Dans ce cas, on dit que les deux sous-systèmes A et B sont intriqués.
1.3 Intrication des variables discrètes
1.3.1 Intrication d'un état pur bipartite
Soit un système S décrit par l'état |ψi et formé de deux sous-systèmes S1 et S2.
On dit que l'état |ψi est intriqué s'il n'existe pas de vecteurs d'états |φ1i et |φ2i qui
décrivent les sous-systèmes S1 et S2respectivement de sorte que l'état global |ψi s'écrive
comme produit tensoriel de ces deux états (c-à-d, |ψi = |φ1i ⊗ |φ2i) . Dans le cas où
un tel produit existe, on dit que l'état est séparable. Prenons l'exemple de deux systèmes de spin 1
2 dans un état intriqué particulier. Soit
{|0ii , |1ii},i = 1, 2 les bases orthonormées des deux systèmes. Un exemple important
d'états intriqués est donné par ce qu'on appelle les états de Bell (ou états EPR) Ψ± = √1 2(|01i |02i ± |11i |12i) Φ± = √1 2(|01i |12i ± |11i |02i) . (1.3.1) Ces états forment une base d'états maximalement intriqués pour l'espace de Hilbert des deux systèmes. Dans ces états, les vecteurs d'une base d'un des systèmes sont corrélés (anti-corrélés) aux états de la base de l'autre système.
gran-1.3. INTRICATION DES VARIABLES DISCRÈTES
bipartite au taux d'information qu'on peut acquérir sur un sous-système en eectuant une mesure sur l'autre système. Dans l'exemple d'un état de Bell maximalement in-triqué, une mesure d'un sous système, par exemple S2, dans la base {|02i , |12i} donne
comme résultat l'un des états de cette base, ce qui permet de déduire exactement l'état du système S1 qui sera l'un des états de la base {|01i , |11i}. Le fait de pouvoir a rmer
sans ambigüité l'état du système S1 après la mesure sur S2 est assuré par
l'orthogona-lité des états |02i et |12i qui se distinguent parfaitement lors d'une mesure projective.
Prenons maintenant l'exemple de l'état intriqué suivant |Ψi = √1
2(|ψ1i |φ1i ± |ψ2i |φ2i) , (1.3.2) où dans ce cas, les états {|ψ1i , |ψ2i} du système S1 et les états {|φ1i , |φ2i} du système
S2 ne sont pas orthogonaux. Une mesure projective sur le système S2 ne permet pas
une distinction parfaite entre les états {|φ1i , |φ2i} à cause du recouvrement entre ces
deux états et, donc, ne permet pas de déduire de façon exacte l'état dans lequel se trouve le sous-système S1. L'information acquise sur S1 est donc partielle et on dit que
l'état (1.3.2) est partiellement intriqué. Dans le cas limite où le recouvrement entre les deux états {|φ1i , |φ2i} est total, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de mesure projective
permettant de distinguer ces deux états et qui paraissent donc identiques du point de vue de la mesure
|φ1i = |φ2i ≡ |φi , (1.3.3)
l'état total (1.3.2) s'écrit alors comme le produit tensoriel |Ψi = √1
2(|ψ1i ± |ψ2i) ⊗ |φi . (1.3.4) qui devient donc séparable.
Nous présentons ici le théorème de la décomposition de Schmidt d'un état pur décrivant un système bipartite. C'est un outil très utile en information quantique. Il s'énonce comme suit : soit un système composé de deux sous-systèmes A et B, représenté par l'état vecteur |ψiAB dans l'espace de Hilbert HA⊗ HB. Il existe des
états orthonormés |iiA ∈ HA et |iiB ∈ HB, i = 0, 1, 2.... tels que
|ψiAB =
X
i
1.3. INTRICATION DES VARIABLES DISCRÈTES
où les coe cients λi sont des réels positifs appelés coe cients de Schmidt et
satisfai-sant Piλ2i = 1. Le nombre de coe cients de Schmidt non-nuls est appelé nombre de
Schmidt. La décomposition de Schmidt est obtenue en écrivant l'état |ψiAB dans une
base de HA⊗ HB comme suit
|ψiAB =
X
µν
aµν|µiA|νiB. (1.3.6)
On diagonalise ensuite la matrice a en l'écrivant comme le produit de matrices : a = U λVT, des matrices unitaires U et V et de la matrice diagonale λ d'éléments λii= λi. L'état |ψiAB s'écrit alors
|ψiAB =
X
µνi
UµiλiViνT |µiA|νiB
= X i λi|iiA|iiB, (1.3.7) où on dé nit |iiA = X µ Uµi|µiA (1.3.8) |iiB = X ν ViνT|νiB (1.3.9)
Du point de vue de la décomposition de Schmidt d'un état bipartite, l'état est intriqué si le nombre de Schmidt est supérieur à 1. S'il est égal à 1, alors l'état est séparable. L'état est maximalement intriqué si tous les coe cients de Schmidt sont égaux.
Une autre façon de caractériser l'intrication se base sur l'entropie de von Neumann d'un état quantique ρ qui est dé nie par
S (ρ) =−Tr [ρ log ρ] . (1.3.10)
L'entropie partielle est dé nie comme l'entropie de von Neumann de l'opérateur densité réduit ρA(B)= TrB(A)[ρ]. Elle s'écrit comme
EvN = −Tr [ρAlogdρA] (1.3.11)
= −Tr [ρBlogdρB] (1.3.12)
1.3. INTRICATION DES VARIABLES DISCRÈTES où d est la dimension des espaces de Hilbert Hd
A(B). Les λi sont les coe cients de
Schmidt. L'entropie EvN est donnée en unité edits et elle varie entre 0 et 1. Si
EvN > 0 alors l'état ρ est intriqué. Cette condition est nécessaire est su sante dans
le cas d'un état pur. L'entropie partielle de von Neumann est appelée aussi entropie d'intrication car elle représente une mesure unique de l'intrication pour les états purs.
1.3.2 Intrication d'un mélange statistique
Dans le cas général d'un mélange statistique, on dit que le système représenté par l'opérateur ρ agissant sur HA ⊗ HB est intriqué s'il ne peut pas s'écrire comme
un mélange statistique d'états séparables. C'est-à-dire que l'état global ne peut pas s'écrire sous la forme
ρ =X
i
piρi,A⊗ ρi,B. (1.3.14)
Dans le cas contraire, l'état est séparable.
L'intrication d'un mélange statistique n'est pas aussi simple que dans le cas d'un état pur. En général, les critères de séparabilité ne sont que des conditions su santes pour l'intrication. En 1996, A. Peres [27] a introduit une méthode pour tester l'insé-parabilité d'un mélange statistique. Cette méthode se base sur la transposée partielle d'un opérateur densité bipartite. Soit un opérateur densité ρ dé ni sur HA⊗ HB. Les
éléments de matrice de l'opérateur ρ dans une base de HA⊗ HB sont notés
ρmµ,nν ≡ hmµ | ρ nνi (1.3.15)
La transposée partielle de l'opérateur ρ par rapport au sous-système B est dé nie par l'opérateur ρTBdont les éléments de matrice sont dé nis dans la même base par
ρTB
mµ,nν ≡ ρmν,nµ (1.3.16)
Peres a montré que si ρ est séparable, c-à-d s'écrit sous la forme (1.3.14), alors la trans-posée partielle ρTB est dé nie positive, c-à-d toutes les valeurs propres de l'opérateur
ρTB sont positives. On dit alors que l'état ρ est PPT (Positive Partial Transpose). M.
Horodecki et al [28] ont montré que cette condition est nécessaire mais pas su sante pour la séparabilité des états.
1.3. INTRICATION DES VARIABLES DISCRÈTES
1.3.3 Mesures quantitatives de l'intrication
Pour qu'une fonction E à valeurs réelles positives, dé nie sur l'ensemble des opéra-teurs densité, soit une mesure de l'intrication d'un état ρ, elle doit remplir les conditions suivantes [29] :
1. Pour toute opération locale et communication classique Λ (LOCC) et pour tout état ρ on a
E (Λ (ρ))≤ E (ρ) , (1.3.17)
c'est-à-dire que l'intrication d'un état quantique ne doit pas augmenter en utili-sant uniquement des opérations locales et des communications classiques.
2. Soit une opération LOCC agissant sur un état ρin et produisant un ensemble
d'états ρout
i avec des probabilités pi. Alors E doit satisfaire
X
i
piE ρouti ≤ E (ρin) , (1.3.18)
c'est-à-dire que l'intrication moyenne ne doit pas augmenter après une LOCC. 3. Soit une opération locale pure agissant sur un état ρin et produisant l'ensemble
{pi, ρouti }. Alors X i piE ρouti ≤ E (ρin) , (1.3.19) et E X i piρi ! ≤X i piE (ρi) . (1.3.20)
C'est-à-dire qu'on exige la convexité de la fonction E. Ces trois conditions, repré-sentant la monotonie de la mesure E, sont présentées de la plus faible à la plus forte. La condition 3 représente la condition fondamentale de la monotonie pour toute mesure d'intrication.
4. En plus de la monotonie, on exige que la fonction E s'annule pour tout état séparable
ρ =état séparable =⇒ E (ρ) = 0.
Nous présentons dans ce qui suit quelques exemples importants de mesures d'intrica-tion.
1.3. INTRICATION DES VARIABLES DISCRÈTES ρ∈ H = HA⊗ HB, en un état σn ∈ Houtn = (C2)
⊗mn
⊗ (C2)⊗mn de m
n paires. On dit
que P est un protocole de distillation si à la limite n → ∞ l'état σn tend vers l'état
de mn état singulets à deux qubits Φ−(C2) maximalement intriqués (états de Bell).
C'est-à-dire que la délité F dé nie par F ≡DΦ− C2⊗mn σn Φ − C2⊗mn E , (1.3.21)
tend vers 1 lorsque n → ∞. Le rapport asymptotique de distillation par le protocole P, noté DP, est dé ni par
DP(ρ)≡ lim n→∞
mn
n (1.3.22)
L'intrication de distillation est dé nie par le maximum de ce rapport sur tous les protocoles de distillation
ED(ρ) = sup P
DP(ρ) (1.3.23)
L'intrication de distillation dé nit donc le nombre maximum d'états maximalement intriqués qu'on peut extraire d'un ensemble d'états partiellement intriqués identiques via LOCC.
Dé nition 1.3.2. Le coût d'intrication est une mesure de l'intrication d'un état ρ ∈ HA⊗HBdé nie de manière duale à l'intrication de distillation. Dans ce cas, on démarre
de m paires d'états maximalement intriqués et m opérations {Λm} transformant les
états maximalement intriqués en un état σn ∈ H⊗nA ⊗ H ⊗n
B . On cherche à ce que les n
paires dé nies par σn soient de plus en plus proches de ρ⊗n. Le protocole doit satisfaire
donc
D σn, ρ⊗n → 0 , n → ∞. (1.3.24)
D représente une métrique quelconque, telle que la norme trace Tr |A| par exemple. Le coût de production asymptotique de l'état ρ via P est dé ni par
CP(ρ) = lim n→∞
m
n. (1.3.25)
La mesure du coût d'intrication est dé nie alors par le minimum sur tous les protocoles EC(ρ) = inf
P CP. (1.3.26)
Le coût d'intrication dé nit donc le nombre minimum d'états maximalement intriqués utilisés pour créer un ensemble d'états partiellement intriqués identiques via LOCC. Dé nition 1.3.3. Les mesures d'intrication basées sur la distance représentent la
dis-1.3. INTRICATION DES VARIABLES DISCRÈTES
tance minimale d'un état ρ de l'ensemble des états séparables σ ∈ S. Elles sont données par
ED,S(ρ) = inf
σ∈SD (ρ, σ) . (1.3.27)
La distance D doit satisfaire la condition de monotonie telle que, pour toutes les opé-rations appliquées aux états ρ et σ et produisant respectivement les ensembles {pi, ρi}
et {qi, σi} on a
X
i
piD (ρi, σi)≤ D (ρ, σ) . (1.3.28)
Deux exemples importants de mesures basées sur la distance sont donnés dans la réfé-rence [29] : La distance de Bures dé nie par
DB(ρ, σ) = 2− 2 p F (ρ, σ), (1.3.29) avec la délité F (ρ, σ) =hTrh(√ρσ√ρ)12 ii2 , (1.3.30)
et l'entropie d'intrication relative dé nie par
S (ρ|σ) = Tr [ρ (log ρ − log σ)] . (1.3.31) Dé nition 1.3.4. Les mesures d'intrication basées sur convex roof s'obtiennent en dé nissant une mesure pour les états purs Ep puis en l'étendant au cas des états
mixtes comme suit
E (ρ) = infX
i
piEp(ψi) , (1.3.32)
le minimum est pris sur tous les ensembles {pi, ψi} tels que
ρ =X
i
piψi. (1.3.33)
Un exemple est donné par l'intrication de formation EF où la mesure Ep est l'entropie
d'intrication (entropie de von Neumann partielle ) de l'état pur ψi.
Dé nition 1.3.5. Les négativités représentent la version quantitative du critère de séparabilité de Peres-Horodecki. Un exemple est la négativité dé nie par
N (ρ) = ρP T 1− 1 2 , (1.3.34)
1.4. TÉLÉPORTATION QUANTIQUE DES VARIABLES DISCRÈTES l'état ρ. Un autre exemple est donné par la négativité logarithmique
EN(ρ) = log2
ρP T
1. (1.3.35)
1.4 Téléportation quantique des variables discrètes
La téléportation quantique est une application importante de l'intrication. Elle fut découverte par Bennett et al [13] pour les variables discrètes. Elle consiste à transférer toute l'information contenue dans un état quantique inconnu d'un endroit (Alice) à un autre (Bob), en utilisant seulement un état intriqué et un canal de communication classique. Nous allons rappeler ici le protocole de la téléportation d'un qubit inconnu à l'aide d'un état maximalement intriqué à deux qubits.
Alice veut téléporter à Bob un qubit d'entrée inconnu |ψiin ∈ Hin qui s'écrit dans
une base {|0iin,|1iin} comme
|ψiin = µ|0iin+ ν|1iin (1.4.1)
Pour cela, ils doivent au préalable échanger deux systèmes A et B dans un état intriqué |ΨiAB ∈ HA⊗HB. Alice dispose aussi d'un moyen de communication classique (à l'aide
de bits classiques) entre elle et Bob. Supposons que l'état intriqué partagé entre Alice et Bob soit l'état de Bell maximalement intriqué suivant
Ψ+ AB = √1
2(|00iAB +|11iAB) (1.4.2) où la base{|00iAB,|01iAB,|10iAB,|11iAB} correspond à HA⊗HB. L'état global, formé
de l'état à l'entrée du dispositif de téléportation et l'état intriqué, s'écrit comme le produit tensoriel
|ψitot = |ψiin⊗
Ψ+ AB = √µ 2|000iinAB+ µ √ 2|011iinAB+ ν √ 2|100iinAB + ν √ 2|111iinAB.(1.4.3) En écrivant les états {|00iinA,|01iinA,|10iinA,|11iinA} dont dispose Alice dans la base
1.4. TÉLÉPORTATION QUANTIQUE DES VARIABLES DISCRÈTES des états de Bell (1.3.1) comme suit
|00iinA = 1 √ 2 Ψ+ inA+ Ψ− inA , (1.4.4) |11iinA = 1 √ 2 Ψ+ inA− Ψ− inA , (1.4.5) |01iinA = 1 √ 2 Φ+ inA+ Φ− inA , (1.4.6) |10iinA = 1 √ 2 Φ+ inA− Φ− inA , (1.4.7) et en remplaçant dans (1.4.3), on obtient
|ψitot =
1
2(µ |0iB+ ν|1iB)⊗
Ψ+ inA+ (µ|0iB− ν |1iB)⊗ Ψ− inA+ (ν|0iB+ µ|1iB)⊗ Φ+
inA+ (−ν |0iB+ µ|1iB)⊗
Φ−
inA . (1.4.8)
Alice eectue une mesure de ses systèmes dans la base de Bell. Pour chaque mesure, elle eectuera une projection de l'état global sur l'un des états de la base de Bell. L'état qu'elle obtient après la mesure est donc l'un des états de cette base. Comme le système de Bob est corrélé à celui d'Alice, son état sera réduit à l'un des états conjugués. Les résultats possibles sont résumés dans le tableau suivant
Table 1.1 État réduit du système de Bob après diérents résultats de la mesure d'Alice
Résultat de la mesure d'Alice État de Bob correspondant |Ψ+i
inA µ|0iB+ ν|1iB
|Ψ−
iinA µ|0iB− ν |1iB
|Φ+i
inA ν|0iB+ µ|1iB
|Φ−i
inA −ν |0iB+ µ|1iB
On remarque que si le résultat de la mesure d'Alice correspond à l'état intriqué utilisé pour la téléportation, le système de Bob se trouve dans l'état inconnu écrit dans la base de l'espace de Hilbert HB. La téléportation s'est donc produite sans que Bob
n'ait à agir. Dans les autres cas, l'état du système de Bob dière de l'état d'entrée. Cependant, Bob dispose de deux transformations unitaires qu'il peut appliquer locale-ment sur son système pour retrouver l'état que veut téléporter Alice. Dans l'exemple que nous traitons, ces deux transformations correspondent aux portes logiques quan-tiques X et Z. La première échange les états |0i ↔ |1i, et la seconde change le signe
1.5. CONCLUSION
Pour que Bob sache quelle transformation appliquer, il doit connaitre le résultat de la mesure d'Alice. La dernière étape donc pour Alice consiste à transférer l'information sur le résultat de la mesure à Bob. Pour cela, elle transmet via un canal classique deux bits d'information classique à Bob. Le premier contenant l'information {+, −} et le second {Ψ, Φ}. Ainsi, en utilisant uniquement la corrélation quantique contenue dans l'état intriqué de Bell et deux bits d'information, Alice parvient à transférer de manière parfaite un état quantique inconnu à Bob. Une tâche qui s'avère impossible si Alice est Bob était contraint d'utiliser uniquement des opérations locales et des communications classiques (LOCC) sans partager un état intriqué.
1.5 Conclusion
Nous avons présenté dans ce chapitre quelques notions de base de la mécanique quantique utilisées en information quantique à variables discrètes. Nous avons vu qu'il existe deux descriptions possibles des états d'un système quantique, à l'aide de vecteurs d'états ou d'opérateurs densités. Cette dernière représentation est plus générale. Nous avons ensuite dé ni la notion importante de l'intrication. C'est la ressource principale qui distingue le traitement de l'information quantique de celui de l'information clas-sique. Nous avons donné quelques critères et mesures qui permettent de détecter et de mesurer l'intrication. Finalement, nous avons donné le schéma de la téléportation quan-tique des variables discrètes, qui est un moyen e cace de communiquer l'information quantique en utilisant l'intrication comme ressource.
Dans les chapitres suivants, nous allons revoir ce schéma de la téléportation dans le cadre des variables continues en utilisant tout d'abord le formalisme des fonctions de Wigner (chapitre 2) puis celui de la mécanique quantique sur l'espace des phases (chapitre 4) qui représente notre contribution au domaine.
Chapitre 2
Information quantique des variables
continues
2.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous verrons quelques notions et outils mathématiques de la mé-canique quantique qui permettent de modéliser le traitement et la communication de l'information quantique à travers les variables continues. Nous commencerons par dé- nir les variables continues en mécanique quantique. Ensuite, nous dédé- nirons la classe importante des états quantiques gaussiens utilisée en information quantique et en op-tique quanop-tique. Ces états comportent les états cohérents dont le comportement est le plus proche possible du classique et les états comprimés dont l'intrication consti-tue la ressource indispensable qui distingue l'information quantique de l'information classique. Nous verrons, ensuite, quelques représentations espace des phases de la mé-canique quantique, notamment celle des fonctions de Wigner qui s'avère être un outil mathématique puissant pour réaliser des calculs quantiques de façon classique. Nous discuterons, par ailleurs, quelques défauts de ces représentations qui nous amèneront plus tard, dans le chapitre 3, à rechercher une autre représentation espace des phases de la mécanique quantique qui est plus qu'un outil mathématique dépourvu d'interpréta-tion physique. Nous parlerons de l'intricad'interpréta-tion et de l'extension du critère de séparabilité de Peres-Horodecki pour les variables continues. Finalement, nous verrons comme ap-plication l'analogue de la téléportation quantique des variables discrètes en variables continues, où nous expliciterons notamment la notion de délité de téléportation.
2.2. VARIABLES CONTINUES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
2.2 Variables continues en mécanique quantique
Nous avons vu au début du chapitre 1 qu'en mécanique quantique on représente les observables d'un système physique à l'aide d'opérateurs. Les propriétés du système s'obtiennent lors d'une mesure en projetant l'état du système sur la base des états propres de l'observable, les valeurs propres étant les valeurs que peut prendre la pro-priété mesurée. On distingue deux types d'observables : (i) Des observables avec des vecteurs propres représentant une base discrète pour l'espace de Hilbert de dimension nie. C'est le cas des variables discrètes étudiées dans le chapitre 1.(ii) Des observables avec des vecteurs propres représentant une base continue ou discrète pour l'espace de Hilbert de dimension in nie. C'est le cas des variables continues étudiées dans ce cha-pitre. Nous avons vu comme exemple de variables discrètes la base discrète {|↑i , |↓i} des états de spin 1/2. Comme variables continues nous pouvons citer les bases {|xi} et {|ki} formées respectivement des états propres de l'opérateur position Q et de l'opé-rateur impulsion P d'une particule. Ces opél'opé-rateurs sont conjugués et véri ent donc la relation de commutation canonique
[Q, P] = i~I. (2.2.1)
On rencontre, en optique quantique, un analogue des opérateurs positions et impul-sions, véri ant la même relation de commutation, qu'on appelle quadratures du champ électromagnétique. Ces opérateurs résultent de la quanti cation du champ électroma-gnétique et sont dé nis en fonction des opérateurs de création et d'annihilation d'un mode du champ électromagnétique comme
Qk = r ~ 2ωk ˆ ak+ ˆa † k , (2.2.2) Pk =−i r ~ωk 2 ˆ ak− ˆa † k , (2.2.3)
où k est un indice spéci ant le mode choisi, ωk la fréquence du mode et ˆa †
k et ˆak sont
respectivement les opérateurs de création et d'annihilation du mode k. La relation de commutation canonique (2.2.1) pour les quadratures provient de la relation de com-mutation des opérateurs de création et d'annihilation bosoniques
h ˆ ak, ˆa † k0 i = δkk0I. (2.2.4)
2.3. ÉTATS PURS GAUSSIENS : ÉTATS COHÉRENTS - ÉTATS COMPRIMÉS unité, de l'espace de Hilbert H. On dé nit la variance de l'observable A dans l'état ψ par la quantité Varψ(A) =ψ A2ψ − |hψ | Aψi| 2 . (2.2.5)
La racine carrée de la variance est appelée déviation standard de l'observable A dans l'état ψ et est notée h∆Aiψ. Dans le cas des quadratures du champ électromagnétique,
la variance dé nit les uctuations quantiques du champ électromagnétique appelées aussi bruit quantique. Considérons maintenant deux observables quelconques A et B, on peut véri er que leurs déviations standards véri ent la relation suivante
h∆Aiψh∆Biψ ≥ 1 2 h[A, B]iψ , (2.2.6)
où [A, B] est le commutateur des deux observables A et B. Cette inégalité représente la relation d'incertitude de Heisenberg pour deux observables quelconques. Dans le cas des observables de position Q et d'impulsion P, cette relation s'écrit sous la forme familière
h∆Qiψh∆Piψ ≥
~
2. (2.2.7)
2.3 États purs gaussiens : États cohérents - États
comprimés
Il existe une classe importante d'états quantiques qui ont la propriété de saturer l'inégalité d'Heisenberg (2.2.7). On appelle ces états des états purs gaussiens. Dans le cas d'un système à n degrés de liberté, ces états s'écrivent dans la représentation con guration sous la forme générale suivante [30]
ηU,Vq,p (x) = π−n4 [detU ] 1 4 exp i 2 x−q 2 p ×exp −12(x− q) (U + iV ) (x − q) , (2.3.1)
où nous avons pris comme unité ~ = 1. Cet état est paramétré par deux vecteurs à n dimensions q = (q1, q2, ..., qn), p = (p1, p2, ..., pn) et deux matrices réelles U et V
d'ordres n × n avec U dé nie positive. Dans le cas simple où V est nulle, q = p = 0 et la matrice U est diagonale avec des valeurs propres 1
l2
2.3. ÉTATS PURS GAUSSIENS : ÉTATS COHÉRENTS - ÉTATS COMPRIMÉS paquet d'ondes gaussien
ηl(x) = n Y i=1 πl2i− 1 4 exp −x 2 i 2l2 i , (2.3.2)
où le paramètre l = (l1, l2, ..., ln) rend compte d'une éventuelle asymétrie dans les
uctuations quantiques des opérateurs position et impulsion dans cet état. En eet, les déviations standards en positions et impulsions dans cet état s'écrivent
h∆Qiiηl = li √ 2, (2.3.3) h∆Piiηl = 1 √ 2li . (2.3.4)
Un cas particulier est celui des états à incertitudes minimales avec des uctuations quantiques égales en position et en impulsion. Ceci est réalisé avec des paramètres li = l = 1 et on a h∆Qii = h∆Pii = √12. Dans ce cas, l'état quantique (2.3.2) n'est
autre que l'état fondamental de l'oscillateur harmonique. Si on parle de quadratures du champ électromagnétique en optique quantique, alors cet état n'est autre que l'état du vide à n modes. Les uctuations quantiques des quadratures sont appelées quant à elles bruit standard.
Considérons maintenant le cas simple d'un seul mode (n = 1). À partir de l'état fondamental de l'oscillateur harmonique, ou l'état du vide, on dé nit une sous-classe d'états gaussiens qui a une grande importance en mécanique quantique, que ce soit d'un point de vue pratique (optique quantique, information quantique, ...) ou purement théorique. C'est la classe des états cohérents canoniques. Pour cela, dé nissons d'abord les opérateurs de création ˆa† et d'annihilation ˆa en fonction des opérateurs position et
impulsion comme suit
ˆ a† = √1 2(Q− iP) , (2.3.5) ˆ a = √1 2(Q + iP) . (2.3.6)
On dé nit aussi la variable complexe
z = x + iy = √1
2(q + ip) , (2.3.7)
2.3. ÉTATS PURS GAUSSIENS : ÉTATS COHÉRENTS - ÉTATS COMPRIMÉS canonique est dé ni par la relation
|zi = exp −|z| 2 2 + zˆa † ! |0i . (2.3.8)
En dé nissant la base d'états nombre de quantas de l'oscillateur harmonique{|ni}, états propres de l'opérateur nombre de particules N = ˆa†ˆa avec les valeurs propres n,
on peut écrire l'état cohérent canonique sous la forme |zi = exp −1 2|z| 2 ∞ X n=0 zn √ n!|ni . (2.3.9)
L'appellation états cohérents provient de l'optique quantique, car on a découvert que le champ électromagnétique dans ces états présentait des propriétés observées avec la lumière cohérente [31]. Mais l'origine des états cohérents canoniques remonte aux débuts de la mécanique quantique, lorsqu'en 1926 Schrödinger a voulu trouver des états quantiques dont le comportement pouvait s'expliquer par un raisonnement classique. En eet, il se trouve que lorsqu'un système quantique est dans l'un de ces états cohérents, l'évolution dans le temps des valeurs moyennes des observables position et impulsion obéit aux lois de la mécanique classique pour l'oscillateur harmonique. Ces états ont de nombreuses autres propriétés intéressantes. Les plus importantes sont les quatre suivantes :
Propriété 1 : Les états cohérents canoniques sont eux mêmes des états à incertitude minimale. On a donc
h∆Qizh∆Piz =
1
2. (2.3.10)
Propriété 2 : Les états cohérents |zi sont des états propres de l'opérateur annihilation ˆ
a avec la valeur propre z et on écrit ˆ
a|zi = z |zi . (2.3.11)
Propriété 3 : Les états cohérents sont générés à partir de l'état du vide |0i par l'action du groupe de Weyl-Heisenberg, dont les générateurs sont les opérateurs position Q, impulsion P et l'identité I. Cette action s'écrit
