Représentation irréductible du groupe de symétrie sur l'espace

Maintenant que nous savons comment déterminer les espaces homogènes symplec-tiques à partir du groupe de symétrie, nous voulons trouver un moyen de construire une représentation irréductible de ce groupe sur l'espace vectoriel L2

µ(G/H_ω) formé de l'ensemble des fonctions de carré sommable par rapport à la mesure µ et dénies

3.3. MÉTHODE GÉNÉRALE

sur l'espace des phases G/Hω. La méthode que nous allons exposer est tirée de la référence [18]. La mesure invariante à gauche µ est donnée sur l'espace homogène sym-plectique G/Hω de dimension 2n par n produits extérieurs ∧nω¯ de la forme bilinéaire symplectique ¯ω dénie plus haut. Si A est une σ−algèbre borélienne sur G/Hω, le tri-plet {G/Hω,A, µ} est un espace mesuré. L'espace vectoriel L2

µ(G/Hω) est l'ensemble des fonctions f sur G/Hω de carrés sommables par rapport à la mesure µ

ˆ

G/Hω

|f (x)|²dµ (x) <∞, (3.3.15) où on note par x les éléments gHω de G/Hω.

On dénit la représentation régulière gauche du groupe de Lie G sur l'espace vec-toriel L2 µ(G/H_ω) par l'application U^L: G → GL L2 µ(G/H_ω)
g 7→ UL(g) , (3.3.16) telle que UL(g) ϕ (x) = ϕ (g−1x) ,∀x ∈ G/Hω,∀g ∈ G, ∀ϕ ∈ L2 µ(G/H_ω). La repré-sentation UL est unitaire et elle satisfait

U^L(g) U^L(g⁰) = U^L(g◦ g⁰) . (3.3.17) A partir de la représentation régulière gauche, on dénit une autre représentation unitaire du groupe G sur l'espace vectoriel L2

µ(G/H_ω) comme suit : Soit Hω le sous-groupe fermé de G déni précédemment et σ : G/Hω → G une section borelienne. Il existe un unique élément h (g, x) de Hω tel que

g◦ σ (x) ◦ h (g, x) = σ (gx) . (3.3.18) Pour tout g1, g₂ ∈ G et tout x ∈ G/Hω, cet l'élément satisfait la condition de cocyclicité généralisée suivante [18] h (g₁g₂, x) = h (g₂, x) h (g₁, g₂x) . (3.3.19) L'application h : G× G/Hω → Hω (g, x) 7→ h (g, x) = σ−1 (x)◦ g−1 ◦ σ (gx) , (3.3.20)

3.3. MÉTHODE GÉNÉRALE

est appelée cocycle généralisé. Soit α : H → {z ∈ C| |z| = 1}, une représentation uni-taire à une dimension du sous-groupe Hω. On dénit la représentation projective Vα

du groupe G sur L2 µ(G/H_ω)par V^α: G → GL L2 µ(G/H_ω)
g 7→ Vα(g) , (3.3.21) telle que ∀ψ ∈ L2 µ(G/H_ω), [V^α(g) ψ] (x) ≡ α h g−1, x

ψ g−1x
= α h g−1, x

UL(g) ψ (x) . (3.3.22) La représentation projective peut être dénie sur n'importe quel espace homogène G/H avec H un sous-groupe fermé de G. Dans le cas où G/H est un espace homogène sym-plectique, la détermination des coecients α (h (g−1, x))s'obtient à partir de l'analyse de la cohomologie du groupe G. Nous n'aborderons pas ce sujet dans cette thèse, mais nous renvoyons le lecteur intéressé à la référence [18] où l'auteur donne une discussion plus détaillée ainsi que d'autres références spécialisées sur le sujet.

La représentation régulière UL et, en général, la représentation projective Vα sont des représentations unitaires du groupe de symétrie G sur L2

µ(G/H_ω) hautement ré-ductibles. Nous voulons trouver un sous-espace vectoriel de L2

µ(G/H_ω) sur lequel la représentation Vα est irréductible. Pour cela, il existe deux façons de faire : 1) Trouver un moyen de décomposer directement la représentation Vα en une somme directe de représentations irréductibles. 2) Trouver une représentation unitaire irréductible (de carré intégrable) U du groupe G sur un espace de Hilbert H et qui soit unitairement équivalente à la représentation Vα par un opérateur de commutation Wη qui transforme l'espace de Hilbert H en un sous-espace vectoriel WηH ⊂ L2

µ(G/H_ω). Conformément au lemme de Schur, bien connu en théorie des représentations de groupes, la représenta-tion Vα devient irréductible sur ce sous-espace vectoriel. C'est cette seconde méthode que nous adopterons par la suite pour déterminer la représentation irréductible du groupe de symétrie sur l'espace des phases. Nous allons dans ce qui suit donner des dénitions plus précises aux concepts évoqués précédemment.

On dit que deux représentations U1 et U2 de G sur deux espaces vectoriels, H1 et H2 respectivement, sont unitairement équivalentes s'il existe un isomorphisme unitaire W : H1 → H2 tel que U2(g) W = W U₁(g) ,∀g ∈ G. On appel l'opérateur W un opérateur de commutation. En particulier si U1 est irréductible alors la représentation U₂ = W U₁W⁻¹ est aussi irréductible.

3.3. MÉTHODE GÉNÉRALE

Maintenant, pour dénir l'opérateur de commutation Wη, nous devons tout d'abord dénir la représentation de carré intégrable. Soit U : G → GL (H) une représentation unitaire fortement continue d'un groupe G localement compact sur un espace de Hilbert H. Une représentation fortement continue est une représentation qui est continue en tant qu'action U : H × G → H, (ψ, g) 7→ U (g) ψ [42]. Soit µ une mesure invariante à gauche sur l'espace homogène G/H et soit σ : G/H → G une section borelienne. On dit qu'un vecteur η ∈ H est admissible par rapport à σ (G/H) si et seulement si η 6= 0

et _ˆ

G/H

|hU (σ (x)) η | ηi|²dµ (x) <∞. (3.3.23) La représentation U est dite de carré intégrable sur σ (G/H) si elle est irréductible sur H et qu'il existe au moins un vecteur admissible dans H. On dit qu'un vecteur η ∈ H est α−admissible, si la représentation U de G sur H est de carré intégrable au dessus de σ (G/H), et qu'il existe une représentation à une dimension α : H → C de H telle que U (h) η = α (h) η,∀h ∈ H. L'unitarité de U implique celle de α, et on a en plus |α (h)| = 1, ∀h ∈ H. Contrairement à l'admissibilité, l'α−admissibilité est indépendante du choix de la section σ [18].

Maintenant nous pouvons dénir l'opérateur de commutation Wη entre la repré-sentation Vα sur L2

µ(G/H_ω) et la représentation de carré intégrable U sur H. Soit G un groupe localement compacte, H un sous-groupe fermé de G, U une représentation fortement continue, unitaire et irréductible du groupe G sur un espace d'Hilbert H, σ : G/H → G une section borelienne et µ une mesure invariante à gauche sur G/H. Soit η ∈ H un vecteur α-admissible. On dénit l'opérateur de commutation Wη comme l'opérateur fermé, de domaine D (Wη) = H, tel que

[W^ηϕ] (x) =hU (σ (x) η) | ϕi ∈ L2

µ(G/H) ,∀x ∈ G/H. (3.3.24) On peut montrer par l'α-admissibilité de η et le Lemme de Schur (une version forte du lemme de Schur [18]) que Wη est un multiple d'une isométrie, ce qui permet de préserver le produit scalaire entre H et L2

µ(G/H). L'opérateur de commutation Wη

échange l'action de U sur l'espace de Hilbert H avec l'action de la représentation projective Vα sur L2

µ(G/H), et on écrit

W^ηU = V^αW^η. (3.3.25)

Comme on suppose que la représentation U est irréductible, la représentation Vα est irréductible sur le sous-espace de WηH ⊂ L2

3.3. MÉTHODE GÉNÉRALE

du choix de la section σ si et seulement si η est α-admissible et que α (h) = 1,∀h ∈ H. Si l'espace homogène G/H est déni à partir du sous-groupe fermé Hω introduit dans la sous-section précédente, la représentation obtenue par l'opérateur Wη est la représentation irréductible du groupe de symétrie G sur l'espace des phases recherchée. Cette méthode pour trouver une représentation irréductible Vα sur l'espace des phase, suppose que l'on connaisse au préalable une représentation irréductible U de G sur un espace de Hilbert H donné. Nous allons présenter dans ce qui suit une méthode pour trouver les représentations irréductibles d'un groupe G qui s'écrit comme produit semi-direct de deux groupes localement compacts G1_{ G}2 où G1 est en plus abélien. Nous verrons dans la section suivante que le groupe de Weyl-Heisenberg peut s'écrire sous cette forme et nous lui appliquerons donc cette méthode, qu'on appelle  machine de Mackey , pour générer la représentation irréductible du groupe sur l'espace con-guration. Cette méthode s'appuie sur la notion de représentations induites. Nous en donnerons ici un bref rappel. Plus de détails peuvent être trouvés dans la référence [18]. Dénition 3.3.1. [42] Un caractère d'un groupe abélien localement compact G est toute fonction continue χ : G → C telle que

|χ (g)| = 1, (3.3.26)

χ (g₁g₂) = χ (g₁) χ (g₂) . (3.3.27) Un caractère est donc une représentation continue unitaire à une dimension du groupe G.

Dénition 3.3.2. Soit G un groupe topologique localement compact et H un sous-groupe fermé de G muni de la topologie induite. H est donc aussi localement compact. Soit σ : G/H → G une section borélienne et µ une mesure invariante à gauche sur l'espace homogène G/H. Soit Λ une représentation unitaire du groupe H sur un espace de Hilbert H0. L'espace linéaire H déni par

H =  f : G→ H0| ˆ G/H hf (σ (x)) | f (σ (x))iH₀dµ (x) <∞, f (g◦ h) = Λ h−1
f (g) , ∀h ∈ H, ∀g ∈ G  ,(3.3.28) muni du produit scalaire

hf | ki ˆ

3.3. MÉTHODE GÉNÉRALE

est un espace de Hilbert. La représentation induite du groupe G sur l'espace H par la représentation Λ de H sur H0 est la représentation unitaire UΛ dénie par

U^Λ(g) f
(g0

) = f g⁻¹◦ g⁰
, g, g0

∈ G. (3.3.30)

Dénition 3.3.3. Soient G1 et G2 deux groupes localement compacts, avec G1 un groupe abélien. On note [18] ˆG1 l'ensemble des caractères du groupe G1. Soit

ϕ : G₂ → AutG1

y 7→ ϕy, (3.3.31)

un homomorphisme de groupes qui associe à chaque élément y ∈ G2 un automorphisme ϕ_y : G₁ → G1. Soit χ ∈ ˆG1 un caractère de G1. On dénit un autre caractère [χ]_y ∈ ˆG₁ pour chaque y ∈ G2 comme suit

[χ]_y(g) = χ (ϕ_y(g)) . (3.3.32)

L'orbite Oχ du caractère χ est dénie par

Oχ =ⁿ[χ]_y ∈ ˆG₁| y ∈ G2

o

, (3.3.33)

où ˆG1est vu comme un G2espace transitif. Le groupe d'isotropie Gχ =ⁿy ∈ G2| [χ]y = χ^o est un sous-groupe fermé du groupe G2. L'espace quotient G2/G_χ est donc un espace homogène qui s'identie à l'orbite Oχ.

Ceci nous permet de formuler le théorème de Mackey-Frobinus, qui nous permettra de connaitre toutes les représentations irréductibles du groupe G = G1_{ G}2 (voir [18] pour les notations et [42] pour une démonstration et plus de détails)

Théorème 3.3.2. Soient G1 et G2 deux groupes topologiques localement compacts avec G₁ un groupe abélien. Soit G = G1_{ G}2 le groupe formé par leur produit semi-direct.

1. Soit χ ∈ ˆG1 un caractère du groupe abélien G1. Soit Gχ le groupe d'isotropie de χ par l'action de G2. Soit M une représentation unitaire irréductible du groupe Gχ

dans un espace de Hilbert H0. On dénit la représentation unitaire Λ du groupe G_{1  Gχ} sur H0 par