Une représentation espace des phases de la mécanique quantique 113

Nous avons maintenant assez d'éléments pour interpréter le formalisme de la mé-canique quantique sur l'espace des phases, abordé au chapitre 3, comme une représen-tation espace des phases de la mécanique quantique, au même titre que les représenta-tions espace des phases abordées au chapitre 2, notamment le formalisme des foncreprésenta-tions de Wigner. Rappelons nous qu'une représentation espace des phases de la mécanique quantique vise à établir la connexion entre mécanique classique et mécanique quantique à travers deux processus : la quantication qui permet d'associer à toute observable classique une observable quantique et la déquantication qui permet d'associer à tout état quantique un état classique. Nous avons vu dans les chapitres précédents qu'une observable classique est représentée dans le cas général par une fonction mesurable sur l'espace des phases et que l'état classique dans sa forme la plus générale est donné par une densité de probabilité sur l'espace des phases. Les valeurs moyennes et les variances se calculent facilement par la théorie des probabilités de Kolmogorov.

Nous avons vu dans le chapitre 2 que le formalisme des fonctions de Wigner consti-tuait une véritable représentation espace des phases de la mécanique quantique, dans le sens où la quantication s'eectue à l'aide de la transformé de Weyl (2.4.1) et la déquantication à travers la transformation de Wigner (2.4.3). Cependant, les fonc-tions de Wigner n'étant pas dénies positives en général, elles ne représentent pas de véritables densités de probabilités. Elles permettent néanmoins d'eectuer les calculs des valeurs moyennes et les variances de manière similaire à un calcul de probabili-tés classique. Les fonctions de Wigner se comporteraient donc comme des densiprobabili-tés de probabilités jointes lors de la mesure simultanée de la position et de l'impulsion. Or comme nous l'avons vu précédemment, une telle densité de probabilité jointe ne peut être dénie pour des positions et impulsions précises à cause de leur complémentarité mais qui peut l'être si on adhère à l'interprétation imprécise des observables quan-tiques qu'apporte la mécanique quantique opérationnelle. La fonction de Wigner telle que dénie à l'origine par E. Wigner dans son article de 1932 [33] ne fait référence à aucun schéma quantique de la mesure tel que déni dans les sections précédentes, encore moins à la mesure simultanée d'observables position et impulsion imprécises, ce qui rend encore plus remarquable la capacité des fonctions de Wigner à jouer le rôle de densité de probabilité, mise à part la positivité, tout en reproduisant les prédictions de la mécanique quantique.

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

la mécanique quantique qui fasse appel à de véritables densités de probabilités jointes de la position et de l'impulsion. L'intérêt réside dans le fait que de telles densités de pro-babilités pourraient s'obtenir directement à partir d'un schéma de mesure simultanée réalisable expérimentalement tel que le modèle de la mesure d'Arthurs et Kelly, ce qui n'est pas le cas des fonctions de Wigner. Comme nous allons le voir, la formulation de la mécanique quantique à l'aide de fonctions de carrés sommables dénies sur l'espace des phases rencontrées au chapitre 3 permet une telle représentation. Nous allons aussi donner dans ce qui suit l'interprétation probabiliste des fonctions Ψ (q, p) ∈ WηH, dans le cas où le groupe de symétrie est le groupe de Weyl-Heisenberg W et que l'espace homogène symplectique représente l'espace des phases ordinaire Γ. Une discussion plus détaillée sur l'interprétation de la mécanique quantique sur l'espace des phases dans le cas non-relativiste ainsi que son rôle dans la connexion quantique/classique peut être trouvée dans les références [19,20,26,53]. La référence [18] donne aussi une discussion généralisée à d'autres groupes de symétrie.

Soit un système S dont les états quantiques sont décrits par un espace de Hilbert HS. Supposons que HS soit un espace de représentation irréductible du groupe de Weyl-Heisenberg W. Par exemple HS peut être l'espace de la représentation conguration L2(R3). Dans ce cas la représentation irréductible U du groupe W sur L2(R3)serait la représentation de Schrödinger rencontrée au chapitre 3. Soit un état α−admissible η ∈ Hα

S, où Hα

S ⊂ HS est l'espace de Hilbert engendré par l'ensemble des états α−admissibles. (Voir 3.3 pour la dénition de l'α−admissibilité.) Soit L2

µ(W/Z) l'en-semble des fonctions de carrés sommables par rapport à la mesure µ dénie sur l'es-pace des phases Γ = R6 ∼_{=W/Z . Ce dernier est construit suivant la méthode décrite} au chapitre 3. Comme nous l'avons vu, on peut dénir un opérateur de commuta-tion Wη et construire une représentation irréductible du groupe W sur un sous-espace WηHS ⊂ L2

µ(W/Z). On note Pη : L2(W/Z) → WηHS le projecteur sur le sous-espace irréductible WηHS.

En mécanique quantique, on interprète les fonctions ψ (x) ∈ L2(R3)de la représen-tation conguration comme des amplitudes de probabilités pour localiser le système S lors de la mesure de sa position dans un élément de volume dx. La densité de pro-babilité serait le module au carré |ψ (x)|2 et la probabilité d'obtenir un résultat de la mesure de la position dans un volume X est donnée par l'intégrale^´_X|ψ (x)|²dx. Une interprétation semblable est possible pour la représentation impulsion. Nous voulons donner une interprétation probabiliste similaire aux éléments du sous-espace irréduc-tible WηHS. Notons que nous avons bien précisé le sous-espace WηHS et non pas

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

L2

µ(Γ) tout entier, car pour qu'un vecteur Ψ (q, p) unitaire de L2

µ(Γ) soit considéré comme un état quantique du système, la quantité |Ψ (q, p)|2 doit en plus satisfaire la relation d'incertitude, ce qui n'est pas le cas de tous les vecteurs unitaires de L2

µ(Γ), contrairement aux éléments de WηHS qui sont formés à partir d'une isométrie sur un espace d'états, ce qui préserve la relation d'incertitude [26]. Commençons par dénir sur l'espace L2 µ(Γ)la PVM suivante A : B (Γ) → L L2 µ(Γ)
, Z 7→ A (Z) , (4.3.32) telle que A (Z) Ψ (q, p) = χZ(q, p) Ψ (q, p) ,∀Z ∈ B (Γ) , ∀Ψ (q, p) ∈ L2 µ(Γ). La fonc-tion χZ(q, p) est la fonction caractéristique de l'intervalle Z dénie comme

χ_Z(q, p) =    1 si (q, p) ∈ Z 0 si (q, p) /∈ Z ^{. (4.3.33)}

Théorème 4.3.2 (Théorème de Neumark). Soit F : F → L (H) une POVM. Il existe un espace de Hilbert ˜H qui contient H et une PVM E : F → L^{ ˜}H tels que

F (X) ϕ = PE (X) ϕ,∀X ∈ F, ∀ϕ ∈ H, (4.3.34) où P représente la projection orthogonale de ˜H sur H.

On dénit à partir de la POVM PηA qui est la projection de Neumark de A sur WηHS , l'observable suivante

A^η : B (Γ) → L (HS) ,

Z 7→ Aη(Z) = (W^η)⁻¹P^ηA (Z) W^η, (4.3.35) qui est une POVM agissant sur HS. L'observable Aη est une observable espace des phases, car on peut montrer qu'elle vérie les relations de covariances dénissant les observables espace des phases. Plus encore, on montre qu'elle prend la forme intégrale [18]

A^η(Z) = ˆ

Z

T^η_q,pd³qd³p, (4.3.36) avec l'opérateur densité Tη

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

On retrouve donc la forme familière des observables espace des phases, observables jointes de la position et de l'impulsion imprécises rencontrées précédemment. Il est donc possible d'envisager une mesure simultanée de la position et de l'impulsion imprécises de sorte à ce que l'observable espace des phases eectivement mesurée coïncide avec l'observable Aη ainsi dénie. Une telle mesure pourrait être celle du modèle d'Arthurs et Kelly, en faisant en sorte que les états φ1 et φ2 de l'appareil de mesure donnent comme opérateur densité Tq,p = 2π~Tη

q,p. Dans ce cas, l'interprétation minimale de la mécanique quantique permet de dire que pour un état ρ ∈ S (HS) du système, la quantité Tr [ρA^η(Z)] = ˆ Z TrρTη q,p d3 qd³p, (4.3.38)

représente la probabilité d'obtenir un résultat dans l'intervalle Z lors d'une mesure si-multanée de la position et de l'impulsion imprécises du système. La quantité Tr ρTη

q,p

 est la densité de probabilité correspondante. Dans le cas particulier d'un état vecteur ψ ∈ HS, la densité de probabilité devient |hUq,pη| ψi|². Or, nous avons vu au chapitre 3 que les éléments du sous-espace irréductible WηHS du groupe de Weyl-Heisenberg s'écrivaient exactement sous la forme Ψ (q, p) = hUq,pη| ψi. On arrive donc à l'inter-prétation des éléments de l'espace de Hilbert WηHS comme étant les amplitudes de probabilités lors d'une mesure simultanée de la position et de l'impulsion imprécises du système.

Qu'en est-il de l'état α−admissible η ? quel rôle joue-t-il dans cette interprétation opérationnelle du formalisme de la mécanique quantique sur l'espace des phases ? Tout d'abord, il a été montré [18] que dans le cas du groupe de Weyl-Heisenberg, la propriété d'α−admissibilité de η est importante pour que l'observable de localisation dans l'es-pace des phases Aη soit informationellement complet : ceci signie que la connaissance de la distribution de probabilités Tr [ρAη(Z)] ou de manière équivalente, la connais-sance de la densité Tr ρTη

q,p



, sut à déterminer de façon unique l'état ρ. Il existe plusieurs interprétations possibles pour η, mais il en ressort que η est indéniablement lié au choix de l'appareil de mesure utilisé pour mesurer l'observable de localisation A^η. Il n'est cependant pas clair si le choix de l'appareil de mesure détermine η de façon absolue ou statistiquement à travers un processus de calibration (voir [18] pour une discussion plus en détails). En utilisant une approche similaire à l'approche d'Einstein pour la mesure à travers des règles rigides et des horloges et en interprétant les quan-tités |hUq,pη| ψi|² comme des probabilités de transitions, on peut interpréter η comme l'état de l'appareil de mesure qu'on déplace à travers l'espace des phases par l'action du

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

groupe de symétrie Uq,p. La probabilité de transition est la probabilité que le système se trouve dans l'état η si une mesure simultanée de la position et de l'impulsion donne le résultat (q, p) [20]. Une autre façon de voir le lien entre l'état η ∈ HS et l'appareil de mesure peut se faire en s'aidant encore une fois du modèle de la mesure simultanée d'Arthurs et Kelly. En eet, on observe que dans le cas particulier où l'observable es-pace des phases est l'observable de localisation Aη, le projecteur Tη

q,p (on considère le cas à une dimension pour simplier) s'écrit en fonction de l'opérateur Kqp comme

T^η_q,p= K^∗_qpKqp. (4.3.39)

L'opérateur Tη

q,p étant lié à η par la relation (4.3.37) et l'opérateur Kqp à l'état de l'appareil de mesure A du modèle d'Arthurs et Kelly par la relation (4.3.29), la rela-tion entre η et l'état de l'appareil de mesure est établie. Cette relarela-tion est au niveau statistique car en eet, η n'appartient pas à l'espace de Hilbert des états de l'appareil de mesure mais plutôt à celui du système S. Si on observe de plus près l'expression de l'opérateur Kqp, on remarque qu'il agit sur l'espace de Hilbert du système HS et que les fonctions φ(λ)

1 et φ(µ)

2 appartiennent aux représentations conguration et impulsion du système S et non pas à ceux de l'appareil de mesure. Elles sont liées cependant statistiquement aux amplitudes de probabilités φ1 et φ2 décrivant l'appareil de mesure. C'est de cette façon que l'appareil de mesure détermine le choix de l'état η. Par la suite, nous dirons simplement que η est l'état de l'appareil de mesure par abus de langage.

Enn, les états {|Uq,pηi} constituent une base sur-complète pour l'espace des états du système HS, dans le sens où ils forment une résolution de l'identité

ˆ

Γ

d³qd³p|Uq,pηi hUq,pη| = IHS. (4.3.40) L'état η est le générateur de résolution. En considérant cette dernière relation comme propriété de la base {|Uq,pηi}, ces états constituent aussi un ensemble d'états cohé-rents généralisés [30].

Il existe plusieurs conséquences de la formulation de la mécanique quantique à l'aide de fonctions d'ondes sur l'espace des phases [18]. Celle qui nous concerne dans cette thèse est la formulation d'une représentation espace des phases similaire au formalisme des fonctions de Wigner mais qui s'appuie sur de véritables densités de probabilités. Le processus de déquantication proposé par cette nouvelle formulation de la mécanique quantique consiste à associer à chaque état quantique ρ du système S, la densité de

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

probabilité

ρ7→ ρ (q, p) ≡ TrρTη

q,p , (4.3.41)

après un choix donné de l'état de l'appareil de mesure η. Le tableau suivant compare les propriétés des fonctions de Wigner et des densités de probabilité ρ (q, p).

Table 4.2  Comparaisons entre les propriétés des fonctions de Wigner et des densités de probabilités ρ (q, p).

Fonctions de Wigner W (q, p) Densités de probabilités ρ (q, p)  Positivité : Non vériée en général pour toutρ ∈ S (H_S).

 Normalisation :^´_ΓW (q, p) d³qd³p = 1.

 Densités de probabilité marginales ˆ R³ d³p W (q, p) = hq | ρ qi , ˆ R³ d³q W (q, p) = hp | ρ pi .  Positivité : ρ (q, p) ≥ 0, ∀ρ ∈ S (HS).  Normalisation :^´_Γρ (q, p) d3qd3p = 1.

 Densités de probabilité marginales

ˆ R3d³p ρ (q, p) = 2π³ ˆ R3d³x |η (x − q)|²hx | ρ xi , ˆ R3d³q ρ (q, p) = 2π³ ˆ R3 d³k | ˜η (k − p)|²hk | ρ ki .

où on note ˜η la transformée de Fourier de η. On constate qu'on gagne en positivité au détriment des propriétés marginales. En eet, tandis que les fonctions de Wigner permettent de retrouver les densités de probabilités des positions et impulsions précises du système dans l'état ρ, les densités de probabilités de la mécanique quantique sur l'espace des phases donne des produits de convolutions de ces densités avec des fonctions

χ (q) = 2π³|η (q)|², (4.3.42)

˜

χ (p) = 2π³|˜η (p)|². (4.3.43)

Mais encore une fois, ceci n'est plus un problème si on adhère à l'interprétation im-précise des observables. Les propriétés marginales de la densité de probabilité ρ (q, p) représenteraient les densités de probabilités des positions Eχ et impulsions Fχ˜ impré-cises du système dans l'état ρ, les fonctions χ et ˜χ étant les fonctions de conance correspondantes.

Cette dénition des densités ρ (q, p) la reliant à un processus de mesure simultanée de la position et de l'impulsion lui vaut l'appellation de densité de probabilité opéra-tionnelle. Une autre appellation, densité de probabilité stochastique, trouve son origine dans une autre conséquence de la mécanique quantique sur l'espace des phases qui est la construction d'un espace des phases stochastique ˜Γ en associant à chaque point (q, p) de l'espace des phases Γ, les fonctions de conance χ (q) et ˜χ (p) [19].

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

avantages et ses inconvénients. Voir la référence [54] pour une revue des diérentes méthodes de quantication. La méthode que nous adoptons dans cette thèse est dé-crite dans [18] comme l'application qui associe à chaque observable classique f (q, p) l'opérateur suivant

A^η(f )≡ ˆ

Γ

f (q, p) T^η_q,pd³qd³p, (4.3.44) où on se met dans les conditions où le groupe de symétrie est le groupe de Weyl-Heisenberg et Γ est l'espace des phases ordinaire muni de la mesure de Lebesgue. Dans ce cas, on montre qu'aux positions q et aux impulsions p classiques correspondent les générateurs des boosts Q et des translations P respectivement [18]. Plus encore, il existe une correspondance entre les valeurs moyennes des observables quantiques A^η(f ) et des observables classiques f (q, p) à travers la densité de probabilité ρ (q, p) comme suit

Tr [ρA^η(f )] = ˆ

Γ

f (q, p) ρ (q, p) d³qd³p, (4.3.45) où ρ (q, p) joue le rôle d'état classique. Les variances se calculent de la façon suivante Var_ρ(A^η(f )) = Trρ (Aη(f ))² − (Tr [ρAη(f )])², (4.3.46) où on calcule que [20]

Trρ (Aη (f ))^2 = ˆ Γ2 d³qd³p d³q⁰d³p⁰f (q, p) f (q⁰, p⁰) K^η(q⁰, p⁰; q, p)hUq,pη| ρ Uq0,p0ηi , (4.3.47) avec K^η(q⁰, p⁰; q, p)≡ hUq0,p0η| Uq,pηi . (4.3.48) La quantication et la déquantication présentées ici permettent de construire une véritable représentation espace des phases de la mécanique quantique. Un autre avan-tage de cette représentation comparé au formalisme des fonctions de Wigner, en plus de la positivité des densités de probabilité, est celui de l'origine physique du choix de l'ordre lors de la quantication discuté au chapitre 2. En eet, nous avons vu que la correspondance de Weyl dans le formalisme des fonctions de Wigner donnait lieu à une symétrisation des opérateurs. Les deux autres ordres étant l'ordre normal et anti-normal pour les fonctions P et Q. La raison physique de cet ordre n'est pas clair dans ces cas. En revanche, dans la représentation espace des phases stochastique, l'ordre des opérateurs a pour origine directe le choix de l'état η et donc le choix de

l'appa-4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE

reil de mesure. À chaque η correspond un ordre particulier. Ceci trouve son origine dans le fait que les opérateurs Aη(f ) ainsi dénis, préservent la correspondance entre commutateurs et crochets de Poisson. Voir la référence [18] pour plus de détails.

4.4 Applications à la téléportation quantique

Nous allons maintenant nous atteler à appliquer les concepts de mesures simultanées et de représentation espace des phases au protocole standard de la téléportation des variables continues. Nous allons dans ce qui suit modier le protocole de la téléportation de deux façons. Dans une première partie, nous allons essayer de comprendre l'eet d'une mesure d'observables imprécises sur le résultat de la téléportation. Nous nous aiderons pour cela du modèle de la mesure d'Arthurs et Kelly. Cette première partie est une ébauche à une analyse plus en profondeur que nous réservons pour un travail futur. Elle a été motivée en partie par l'observation de l'eet de l'intrication des appareils de mesures sur la délité de la téléportation. Ceci nous amène donc à la seconde partie du travail, qui consiste à utiliser la représentation espace des phases stochastique pour reformuler le protocole de la téléportation à la place des fonctions de Wigner. Le calcul de la délité sera donné dans les cas d'appareils de mesures séparables et intriqués.

4.4.1 Modèle de la mesure d'Arthurs et Kelly pour la