4.3 Interprétation de la mécanique quantique sur l'espace des phases
4.4.2 Téléportation en mécanique quantique sur l'espace des phases . 126
Φ(λµ)12 2 ◦ P (q, p) DB(q, p) ρBDB∗(q, p) , (4.4.37) où ◦ dénote le produit de convolution, P dé nie comme dans (4.4.13) et Φ(λµ)
12 (q, p) = Φ(λ)1 (q) ˜Φ(µ)2 (p).
En comparant avec (4.4.11), l'état téléporté ρB
out obtenu en utilisant des POVM pour décrire la mesure d'Alice est similaire au résultat obtenu en utilisant des PVM. La seule diérence est la convolution avec les états de l'appareil de mesure utilisé par Alice. Cette convolution représente le bruit ajouté au canal quantique de la téléportation après une mesure faisant intervenir un appareil de mesure quantique non idéal. Le résultat idéal est retrouvé quand les états quantiques des sondes tendent vers des fonctions delta de Dirac.
4.4.2 Téléportation en mécanique quantique sur l'espace des
phases
Dans cette seconde partie de notre contribution dans l'étude de l'eet de la mesure imprécise sur la téléportation, nous allons reformuler le protocole standard de la té-léportation à l'aide des densités de probabilité stochastiques à la place des fonctions de Wigner. En eet, nous supposerons que notre connaissance des états intervenant dans la téléportation, à savoir l'état inconnu du système à téléporter (in) et l'état du système intriqué (AB), n'est acquise qu'à travers un ensemble de mesures simultanées imprécises qui déterminent les densités de probabilité stochastiques de chacun de ces systèmes. Dans le cas du système intriqué, deux sondes sont nécessaires pour détermi-ner la densité de probabilité et deux cas de gures se présentent alors : 1) les sondes sont dans des états quantiques distincts ou 2) les sondes sont dans un état intriqué. L'eet de l'intrication des appareils de mesures sur la délité de la téléportation d'un état cohérent sera ainsi étudiée.
Pour un système bipartite intriqué à deux modes, dont les modes (1) et (2) sont partagés par Alice et Bob, respectivement, l'application (3.4.39) conduit à la représen-tation espace des phases suivantes :
Ψent(q1, p1, q2, p2) = ˆ
R2
ηq∗
1,p1,q2,p2(x1, x2) ψent(x1, x2)dx1dx2, (4.4.38) La fonction η(x1, x2) ∈ L2(R2), de norme kηk = π−1 pour ~ = 1
2, décrit l'appareil de mesure correspondant composé des deux sondes mesurant les modes (1) et (2). La
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE fonction translatée
ηq1,p1,q2,p2(x1, x2) = exp [2i (p1x1− p1q1)]
× exp [2i (p2x2− p2q2)] η (x1 − q1, x2− q2) (4.4.39) est obtenue au moyen de la transformation produit tensoriel Uq1,p1⊗ Uq2,p2. La densité de probabilité associée au système global, formé de l'état inconnu ρin à téléporter et de l'état intriqué ρη
ent(q1, p1, q2, p2) = |Ψent(q1, p1, q2, p2)|2, peut être écrite sous la forme ρηtot(qin, pin, q1, p1, q2, p2) = ρin(qin, pin) ρηent(q1, p1, q2, p2) . (4.4.40) Conformément aux étapes de la section (2.6.2), la téléportation est réalisée comme suit
(i) Alice réalise le changement de variable suivant : qu = √1 2(qin− q1) , pu = √1 2(pin− p1) , qv = √1 2(qin+ q1) , pv = √1 2(pin+ p1). (4.4.41) Puis, elle mesure les observables correspondant à qu et pv (en principe, un nombre in ni de fois) pour obtenir une distribution D(qu, pv). Sachant que le résultat d'une seule mesure est (qu, pv), la densité de probabilité conditionnelle totale est
ρηtot(pu, qv, q2, p2|qu, pv) = 1 D(qu, pv)ρ
η
tot(qin, pin, q1, p1, q2, p2) , (4.4.42) où (qin, pin, q1, p1)doivent être remplacés par leurs expressions en termes de (qu, pu, qv, pv). La densité de probabilité correspondant au système (2) est obtenue par intégration sur qv et pu
ρηBob(q2, p2|qu, pv) = ˆ
R2
dqvdpuρηtot(pu, qv, q2, p2|qu, pv) . (4.4.43) En utilisant (4.4.41) avec le changement de variable q = √2qv − q1 ≡ qin et p = √
2qv+p1 ≡ pinde sorte que dqvdpu = 2dqdp, cette densité de probabilité conditionnelle devient ρηBob(q2, p2|qu, pv) = D(q2 u,pv) ˆ R2 dqdpρηent q−√2qu,√ 2pv− p, q2, p2 ρin(q, p) (4.4.44)
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE
La densité de probabilité est obtenue en moyennant sur tous les résultats (qu, pv), ρηBob(q2, p2) = ˆ R2 dqudpvD(qu, pv)ρBobη (q2, p2|qu, pv) = 2 ˆ R2 dqudpv ˆ R2 dqdpρin(q, p) ρηentq−√2qu,√ 2pv− p, q2, p2. (4.4.45) (ii) Alice communique les résultats de la mesure à Bob à travers un canal classique. (iii) Finalement, le déplacement eectué par Bob conduit aux variables de sortie
qout = q2+√
2qu (4.4.46)
pout = p2+√
2pv. (4.4.47)
En remplaçant dans (4.4.44) est en intégrant par rapport à qu et pv, on obtient la densité de probabilité décrivant un ensemble d'états téléportés
ρηtel(qout, pout) = ˆ
R2
dqdpρin(q, p) P (q− qout, p− pout)
≡ [ρin◦ P ] (qout, pout) , (4.4.48) où la fonction positive P
P (qout− q, pout− p) = 2 ˆ R2 dqudpv (4.4.49) ρηentq−√2qu,√ 2pv− p, qout−√2qu, pout−√2pv, dépend de la fonction d'onde η de l'appareil de mesure et de l'état intriqué partagé par Alice et Bob.
Pour déterminer la délité, nous écrivons d'abord la relation générale (4.4.48) sous forme d'opérateurs. Pour cela, nous écrivons la densité de probabilité sous la forme suivante :
ρin(q, p) = Tr Uq,pTη(qout, pout)U†q,p Uqout,poutρˆinU†qout,pout (4.4.50) où on note
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE Nous obtenons
ρin(q, p) = TrhU†q−qout,p−poutρˆin
× Uq−qout,p−poutTη(qout, pout)] , (4.4.52) D'autre part, le membre gauche de l'équation (4.4.48) peut être écrit sous la forme similaire
ρηtel(qout, pout) = Tr [ ˆρtelTη(qout, pout)] . (4.4.53) Ici, nous avons supposé que l'état Tη de l'appareil de mesure du système d'entrée est identique à celui du système de sortie. Ce choix se justi e par le fait que l'on veut mesurer le recouvrement entre deux états à travers leurs densités de probabilité. Il est donc plus convenable de mesurer ces densités dans les mêmes conditions et avec des appareils de mesure identiques.
Comme les opérateurs Tηsont informationnellement complets (autrement dit, si ˆρ et ˆ
ρ0sont deux états, alors Tr [ˆρTη] = Tr [ ˆρ0Tη]si et seulement si ˆρ = ˆρ0) et ρtel(qout, pout) = Tr [ ˆρtelTη(qout, pout)], les relations (4.4.52) et (4.4.48) conduisent à
ˆ ρtel =
ˆ
R2
dqdpU†(q−q
out),(p−pout)ρˆinU(q−qout),(p−pout)
× P (q − qout, p− pout) , (4.4.54) Avec un changement de variables approprié, nous obtenons
ˆ ρtel =
ˆ
R2
dqdpP (q, p) U†q,pρˆinUq,p. (4.4.55) Une relation analogue est connue en optique quantique [55,56] avec une fonction po-sitive P qui, contrairement à notre relation, ne dépend pas de l'état de l'appareil de mesure. Nous avons eu l'occasion de l'étudier dans la sous-section 4.4.1.
Maintenant, la délité de la téléportation d'un état pur |ψini est dé nie par [40] F ≡ hψin| ˆρtel|ψini . (4.4.56) En remplaçant ˆρtel par sa relation en forme d'opérateur, nous obtenons
F = ˆ
R2
dqdpP (q, p)|hψin| Uq,p|ψini|2. (4.4.57) Toutes les étapes de la présente formulation peuvent être réalisées pour un système
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE
avec spin et avec une symétrie relativiste ou non. Les groupes de symétrie et les sous-groupes correspondants ont été étudiés dans la références [18] et l'existence de fonctions ηinformationnellement complètes a été démontrée. Cependant, l'état intriqué ˆρent doit être déterminé ou adéquatement choisi, surtout dans le cas relativiste.
Dans la suite, nous allons appliquer les considération ci-dessus dans trois situations en utilisant le même état comprimé à deux modes comme état intriqué, comme dans le protocole standard [15]. Ainsi, la fonction d'onde de cet état intriqué est donnée par [16] ψent(x1, x2) = r 2 πexp −e −2r 2 (x1+ x2) 2 − e 2r 2 (x1− x2)2 , (4.4.58)
dans la représentation con guration et sera la même dans les trois situations. Cepen-dant, l'état des deux appareils utilisés pour la mesure de cet état intriqué variera d'une situation à l'autre. L'appareil de mesure correspondant au système à téléporter ne sera pas intriqué avec ces deux appareils dans ces situations.
4.4.2.1 Téléportation avec appareils de mesure non-intriqués
Pour avoir une première impression des conséquences physique de la téléportation dans l'espace des phases stochastique, appliquons la formule générale (4.4.48) quand les deux appareils utilisés dans la mesure de l'état intriqué sont identiques et non intriqués. Alors, leur fonction d'onde totale
η (x1, x2) = η (x1) η (x2) , (4.4.59) correspond à la transformation unitaire produit tensoriel (Wη ⊗ Wη). De plus, nous supposons que l'état de chaque appareil est représenté par la fonction suivante dans l'espace de con guration η (x) = 1 2π3l2 14 exp −x 2 4l2 . (4.4.60)
Cette fonction est dite optimale car les variances h∆X2iη = l2 et h∆K2iη = 16l12, dans l'état normalisé π1
2 |ηi, saturent la relation d'incertitude
∆x∆k ≥ 1
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE La fonction de con ance étant
χq(x) = 1 2πl2 12 exp −(x− q) 2 2l2 ! , (4.4.62) ˜ χp(k) = 8l2 π 12 exp −8l2(k− p)2 , (4.4.63) le paramètre de longueur l acquiert l'interprétation physique suivante : Il rend compte de l'imprécision de l'appareil de mesure dans un point de vue statistique. Les limites de meures précises dans les espaces de con guration et des impulsions sont obtenues par limites liml→0χq(x) = δ(x− q) et liml→∞χ˜p(k) = δ(k− p) [19]. Évidemment, ces deux limites ne peuvent être prises simultanément.
Avant de passer à la téléportation, notons que, dans ce cas particulier, la densité de probabilité dans l'espace des phases peut être directement reliée à la fonction de Wigner [19] ρη(q, p) = ˆ R2 dxdk χq,p(x, k))W (x, k), (4.4.64) χq,p(x, k) = χq(x) ˜χp(k) = 2 πexp −(x− q) 2 2l2 − 8l2(k− p)2 ! , (4.4.65)
et est identi ée à la fonction Q de Husimi [20]. Ceci montre que la fonction de Husimi peut être dotée de l'interprétation physique d'une vraie densité de probabilité au lieu d'une simple quasi-distribution positive [20]. Pour illustrer les étapes de calcul, nous n'allons pas utiliser (4.4.64) qui n'est valide que pour ce cas particulier. Nous utilisons plutôt les relations (4.4.60) et (4.4.39) pour avoir
ηq1,p1,q2,p2(x1, x2) = 8π3l2−1 2 exp − 1 4l2 (x1 − q1)2− ip1(x1− q1) × exp − 1 4l2 (x2− q2)2− ip2(x2− q2) . (4.4.66) La densité de probabilité ρη
ent(q1, p1, q2, p2) de l'état intriqué est obtenue en utilisant les expressions (4.4.58), (4.4.38) et (4.4.66) dans (4.3.41). Après calcul, nous obtenons
ρηent(q1, p1, q2, p2) = 16 π2σexp −σ1 aq21+ aq22+ bq1q2+ αp21+ αp22+ βp1p2 , (4.4.67) où les coe cients σ, a, b, α et β sont des fonctions des deux paramètres r et l
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE σ = 8 cosh (2r) + 16l2+ 1 l2, a = 2 l2 cosh (2r) + 8, b = −l42 sinh (2r) , (4.4.68) α = 32l2cosh (2r) + 8, β = 64l2sinh (2r) .
C'est un état gaussien non normalisé s'écrivant sous la forme
ρηent(ξ) = N 4π2p|det (W )| exp −12ξTW−1ξ , ξT = (q1, p1, q2, p2) (4.4.69) avec W−1 = 1 σ 2a 0 b 0 0 2α 0 β b 0 2a 0 0 β 0 2α , det(W−1) = (b 2 − 4a2) (β2− 4α2) σ4 (4.4.70) N = 64 σp|det (W−1)| = 64σ p|(b2− 4a2) (β2− 4α2)| (4.4.71) Passons maintenant à la téléportation. En utilisant l'expression (4.4.67) de la densité de probabilité dans (4.4.48), nous obtenons
ρηtel(qout, pout) = 1 π√µν ˆ dqdpρηin(q, p) exp " −(qout− q) 2 µ − (pout− p) 2 ν # ≡ [ρηin◦ Gµν] (qout, pout) , (4.4.72) où la fonction P est désignée par Gµν car c'est une gaussienne avec des variances
µ = e−2r+ 4l2, (4.4.73)
ν = e−2r+ 1
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE
Comme pour la téléportation basée sur les fonctions de Wigner, qui donne [16]
Wtel(xout, kout) = [Win◦ Gσ] (xout, kout), (4.4.75) Gσ(x, k) = 1 πσexp −(x2+ k2) σ , (4.4.76)
avec une variance σ = e−2r, la densité de probabilité stochastique téléportée est une convolution de la densité de probabilité d'entrée et d'une gaussienne Gµν. La diérence est que les variances en position et en impulsion dépendent du paramètre l de l'appareil de mesure est sont en général diérentes, sauf pour l = 1
2. Une autre diérence est que la limite r → ∞ ne donne pas une téléportation parfaite.
Maintenant, insistons sur le fait que l'état intriqué (4.4.67) aurait pu être obtenu directement à partir de la fonction de Wigner
Went(x1, p1, x2, p2) = 4
π2exp−e−2r(x1+ x2)2+ (p1− p2)2
× exp −e2r(x1− x2)2+ (p1+ p2)2 (4.4.77) de l'état comprimé à deux modes (4.4.58) en utilisant (4.4.64). En suivant cette logique, la densité de probabilité stochastique téléportée
ρηtel(qout, pout) = [Wtelη ◦ χ] (qout, pout) = [Win◦ Gσ◦ χ] (qout, pout)
= [ρηin◦ Gσ] (qout, pout) (4.4.78) aurait été en contradiction apparente avec le résultat (4.4.72). Ceci montre que le diagramme suivant n'est pas commutatif
Teleportation Wtelη ◦ χ Winη ◦ χ Teleportation Win Wtel ρηin ρηtel
Ceci peut être expliqué par le fait que, dans le formalisme des fonctions de Wigner, les résultats de mesure sont supposés être les valeurs précises (x, k), alors que dans le cas stochastique les résultats sont les variables imprécises (q, p). Nous avons donc
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE
le processus de téléportation. Ainsi, quand l'appareil de mesure est considéré comme étant idéal, le formalisme de Wigner doit être utilisé. Mais quand il est non idéal, le formalisme de l'espace des phases stochastique doit être appliqué.
Dans le but de montrer que nos résultats sont réellement une généralisation de l'approche du formalisme de Wigner au cas où un appareil de mesure non idéal est utilisé, nous considérons les limites des mesures précises. Pour cela, nous notons que la densité de sortie (4.4.72) satisfait les propriétés marginales suivantes :
ˆ
ρηtel(qout, pout) dpout = √1πµ ˆ dqdpρηin(q, p) exp " −(qout− q) 2 µ # , (4.4.79) ˆ
ρηtel(qout, pout) dqout = √1 πν ˆ dqdpρηin(q, p) exp " −(pout− p) 2 ν # . (4.4.80)
Alors, en prenant la limite l → 0 dans (4.4.79) et la limite l → ∞ dans (4.4.80), nous obtenons
hqout| ˆρtel|qouti = √ 1 πe−r ˆ dq exp " −(qout− q) 2 e−2r # hq| ˆρin|qi , (4.4.81) hpout| ˆρtel|pouti = √ 1
πe−r ˆ dp exp " −(pout− p) 2 e−2r # hp| ˆρin|pi . (4.4.82) Celles-ci sont les intégrales marginales que l'on aurait obtenues en utilisant les fonc-tions de Wigner dans l'étude du protocole de téléportation. Cependant, comme les fonction η représentent (après normalisation) de vraies fonction d'ondes satisfaisant le principe d'incertitude (4.4.61), il est impossible de retrouver la fonction de Wigner de l'état téléporté à partir de limites de la distribution de probabilité ρη
tel(qout, pout)sans contredire le principe d'incertitude (4.4.61).
Maintenant, nous considérons la délité et prenant comme état d'entrée un état cohérent |ψini dé ni au moyen de l'amplitude complexe βin= qβin+ipβin. En remarquant que l'action d'un déplacement Uq,p dans l'espace des phases, sur un état cohérent d'amplitude complexe βin, donne lieu à un état cohérent d'amplitude βin + α, avec α = q + ip, la délité de la téléportation (4.4.57) d'un état cohérent devient
F = 1
p(µ + 1)(ν + 1), (4.4.83)
où µ et ν sont donnés par (4.4.73) et (4.4.74). La dépendance de la délité par rapport au paramètre l est illustrée dans la gure 4.4.1, pour trois valeurs du paramètre r.
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 0.1 0.2 0.3 0.4 l F r =∞ r = 0.3 r = 0
Figure 4.4.1 La délité F donnée par (4.4.83) en fonction de l pour des valeurs données du paramètre r.
Nous notons que le maximum de délité pour toute valeur de r est obtenu lorsque l = 12. Ceci correspond à ∆x = ∆k = 1
2, c'est-à-dire à un compromis entre les limites de mesure précises dans les espaces de con guration (l → 0) et des impulsion (l → ∞). Dans les deux limites, la délité décroit vers zéro con rmant l'incompatibilité de précision parfaite dans la représentation con guration, ou la représentation impulsion, avec la représentation de l'espace de phases lorsque les fonctions optimales sont choisies. La limite F = 0, 5 entre les domaines classiques et quantiques de la téléportation d'un état cohérent est la valeur maximale qui peut être obtenue dans le cas présent. Ceci peut être attribué au fait que les appareils de mesure partagés par Alice et Bob ne sont pas intriqués. Par conséquent, non seulement la téléportation parfaite d'un état cohérent est impossible quand un dispositif de mesure quantique non-idéal décrit par la fonction optimale non intriquée est utilisé, mais elle apparait comme une téléportation classique, même lorsque la ressource est un état maximalement intriqué (r → ∞).
Pour expliquer ceci malgré quelques expériences récente ayant atteint une haute délité, notons qu'à notre connaissance, cette délité n'a pas été directement me-surée mais déduite à partir d'une expression en termes des variances (∆Qout)2 et (∆Pout)2 expérimentalement mesurables [39]. Notre délité (4.4.83) peut aussi être écrite en fonction des variances (∆Qout)2 et (∆Pout)2 de l'état de sortie. En utili-sant les dé nitions (4.3.45) et (4.3.46), avec un état d'entrée vide, on trouve que
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE (∆Qout)2 = 1 2 µ + 1 2 = e −2r 2 + 2l 2+ 1 4, (4.4.84) (∆Pout)2 = 1 2 ν + 1 2 = e −2r 2 + 1 8l2 + 1 4. (4.4.85)
La délité devient alors
F = 1 2 q (∆Qout)2 + 1 4 (∆Pout)2 + 1 4 . (4.4.86)
Dans l'expérience précédemment évoquée [39], l'instrument de mesure est traité classi-quement de sorte que la formule usuelle a été utilisée, obtenant ainsi une haute délité. Cependant, dans une expérience avec un appareil de mesure quantique non idéal, qui peut être adéquatement représenté par la fonction optimale η, on doit utiliser notre résultat (4.4.86) qui sera égal à 1 seulement quand les deux variances prennent la valeur minimale (∆Qout)2 = (∆Pout)2 = 1
4. Cependant, les expressions de ces variances montre que ceci est impossible car l devrait prendre simultanément les valeurs 0 et ∞. Par conséquent, l'utilisation d'instruments de mesure non idéaux contraint les va-riances à prendre des valeurs telles que la délité ne puisse dépasser la valeur un-demi. Dans la sous-sous-section suivante, nous allons surmonter ce problème en intriquant les appareils de mesure.
4.4.2.2 Téléportation avec des appareils de mesure dans un état du vide comprimé à deux modes
Nous étudions maintenant le cas où les deux appareils partagés par Alice et Bob sont dans un état de vide comprimé à deux modes et, par conséquent, intriqué. L'appareil correspondant à l'état à téléporter n'est pas intriqué avec ces deux appareils. Dans ce cas, nous avons
η (x1, x2) = r 2 π3exp −e −2a 2 (x1+ x2) 2 − e 2a 2 (x1− x2)2 , (4.4.87)
où a est le paramètre de compression. Les variances dans les état normalisés πη sont les mêmes pour toutes les variables
∆X2 i η =∆P2 i η = cosh(2a) 4 , i = 1, 2, (4.4.88)
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE
de sorte que le principe d'incertitude est véri é, mais saturé seulement lorsque les deux appareils ne sont pas intriqués (a = 0). Ces appareils ne peuvent jamais donner des résultats précis car ∆xi et ∆pi ne s'annulent jamais. Le paramètre a décrit donc aussi bien l'intrication que l'imprécision de la mesure. L'état déplacé
ηq1,p1,q2,p2(x1, x2) = r
2
π3exp (2ip1(x1− q1) + 2ip2(x2 − q2)) (4.4.89) × exp −e −2a 2 (x1− q1+ x2− q2)2− e 2a 2 (x1− q1− x2+ q2)2 , conduit à la densité de probabilité suivante représentant l'état intriqué (4.4.58)
ρη(q1, p1, q2, p2) = 4 π2(e2r+ e2a)2 exp −α(q 2 1+ p21+ q22+ p22) + β(q1q2 − p1p2) + γ e2r + e2a , (4.4.90) avec α = 1 + e2(r+a), (4.4.91) β = 2 1− e2(r+a) , (4.4.92) γ = −2 (r + a) e2r + e2a . (4.4.93)
C'est un état gaussien
ρηent(ξ) = 1 4π2p|DetW | exp −1 2ξ TW−1ξ , ξT = (q1, p1, q2, p2) , (4.4.94) avec W−1 = 2 e2r+ e2a α 0 2− α 0 0 α 0 α− 2 2− α 0 α 0 0 α− 2 0 α .
La fonction P (qout− q, pout− p) est une gaussienne Gσr,a(qout− q, pout− p) = πλ1 exp
−(qout− q) 2+ (pout− p)2 λ (4.4.95)
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE avec la variance
λ = e−2r+ e−2a. (4.4.96)
La téléportation d'un état cohérent peut être réalisée avec la délité F (r, a) = 1
1 + e−2r+ e−2a = 1
1 + λ, (4.4.97)
qui est symétrique par rapport aux paramètres de compression r et a. Elle est repré-sentée dans la gure (4.4.2) et conduit aux cas suivants :
5.0 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 a F r =∞ r = 0.3 r = 0
Figure 4.4.2 La délité F donnée par (4.4.97) en fonction de a pour des valeurs données du paramètre r.
Quand les deux systèmes partagés par Alice et Bob et les appareils de mesures correspondants sont maximalement intriqués (r = a = ∞), une téléportation parfaite F = 1 est réalisée.
Quand seulement, les appareils, ou systèmes, sont maximalement intriqués, la délité de la représentation de Wigner est obtenue
lim
a→∞F (r, a) = 1
1 + e−2r, lim
r→∞F (r, a) = 1 1 + e−2a.
Quand seulement, les appareils, ou systèmes, sont non intriqués, la délité lim a→0F (r, a) = 1 2 + e−2r, lim r→0F (r, a) = 1 2 + e−2a, satisfait F ≤ 1
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE
(a = 0) et les systèmes sont maximalement intriqués (r → ∞) comme dans la sous-sous-section 4.4.2.1, ou dans le cas inverse (a → ∞) et (r = 0).
Quand les appareils et systèmes sont partiellement intriqués (0 < a < ∞ et 0 < r < ∞), la délité sera plus petite, égale ou plus grande que 1
2 selon que a < ln√ 1
(1−e−2r), a = ln√ 1
(1−e−2r) ou a > ln√ 1
(1−e−2r), respectivement. D'une manière équivalente, ces cas correspondent à r < ln√ 1
(1−e−2a), r = ln√ 1 (1−e−2a)
ou r > ln√ 1 (1−e−2a).
Quand les appareils et les systèmes sont tous non intriqués, alors F = 1 3.
4.4.2.3 Téléportation avec appareils de mesure dans un état comprimé à deux modes
Supposons maintenant que les appareils partagés sont dans l'état
η (x1, x2) = 1 2π3l2 1/2 exp −e −2a 8l2 (x1 + x2)2− e 2a 8l2 (x1 − x2)2 , (4.4.98) qui peut être obtenu en combinant, au moyen d'une transformation SU(2), un état comprimé et un état anti-comprimé donnés par
ξ (xi) = e (−1)i2a 2π2l2 !1/4 exp −e(−1)i2ax2 i 4l2 , i = 1, 2. (4.4.99)
Les variances sont ∆X2 i η = cosh(2a)l 2 2, ∆P2 i η = cosh(2a) 32l2 , i = 1, 2, (4.4.100) de sorte que les limites des positions et impulsions précises correspondent à l → 0 et l → ∞, respectivement. La limite des appareils non intriqués, a → 0, correspond au premier exemple traité dans la sous-sous-section 4.4.2.1 . Le cas l = 1
2 correspond au second exemple traité dans la sous-sous-section 4.4.2.2.
En procédant de la même façon que précédemment, nous obtenons la délité sui-vante :
F (r, a, l) = q 1
(e−2r+ 4l2e−2a+ 1) e−2r+ e−2a4l2 + 1
4.4. APPLICATIONS À LA TÉLÉPORTATION QUANTIQUE
Une téléportation parfaite est réalisée lorsque les deux ressources d'intrication, les système et appareils partagés, sont maximalement intriqués (r → ∞,a → ∞). Pour une intrication maximale des appareils seulement (a → ∞), le formalisme
de Wigner est obtenu.
Pour une intrication maximale des systèmes (r → ∞), la délité devient
F (a, l) = q 1
(4l2e−2a+ 1) e4l−2a2 + 1
. (4.4.102)
La représentation graphique en fonction de l pour quelques valeurs de a, donnée dans la gure 4.4.3, montre que lorsque l'intrication des appareils est faible (a petit), la délité suit la même allure que lorsqu'il ne sont pas intriqués, atteignant son maximum en l = 1
2 et chutant vers zéro aux limites l → 0, ∞, comme cela peut être déduit analytiquement. Cette allure est déformée graduellement lorsque aaugmente de sorte que la téléportation devient de moins en moins sensible à la valeur de l, c'est-à-dire à l'imprécision de la mesure.
Lorsque les systèmes et appareils de mesure sont tous non intriqués, la délité suit la courbe la plus basse de la gure 4.4.1 atteignant la valeur maximale 1
3 en l = 12. 5.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 l F a = 2 a = 0.5 a = 0 4.0 3.0 2.0 1.0
4.5. CONCLUSION
4.5 Conclusion
Nous avons reformulé la téléportation quantique à variables continues dans le for-malisme de la mécanique quantique sur l'espace des phases. Pour cela, nous avons suivi le protocole standard de la téléportation à variables continues et avons facilement ob-tenu une formule généralisée valable pour tout état η de l'appareil de mesure et tout état intriqué car le formalisme fournit de vraies densités de probabilité positives. Un concept fondamental dans ce formalisme est celui des opérateurs informationnellement complets Tη qui fournissent les densités de probabilité et dont l'existence a été prouvée dans les cas spinoriel et relativiste permettant ainsi une généralisation de nos résultats. La conséquence physique principale du présent travail est que la téléportation dépend non seulement de l'état physique des systèmes partagés par Alice et Bob mais aussi de l'état des instruments de mesure quantiques associés à ces systèmes.
Pour montrer explicitement ce fait, nous avons considéré trois cas où le même état intriqué, l'état comprimé du vide à deux modes, est partagé par Alice et Bob et avons changé l'état des appareils de mesure associés. Dans le premier cas, ces appareils ne sont pas intriqués et sont décrits par une fonction optimale η. L'état téléporté est une convolution ayant la même forme que celle obtenue par le formalisme de Wigner. Cependant, dans notre résultat, les variances de la fonction Gµν sont diérentes et contiennent le paramètre l qui rend compte de l'imprécision des appareils de mesure. Son apparition est due principalement au fait que, lorsque des appareils quantiques non idéaux sont utilisés, les étapes du protocole de la téléportation doivent être appliquées à la densité de probabilité stochastique au lieu de la fonction de Wigner. Nous avons montré que les limites l → 0 et l → ∞ redonnent les résultats marginaux du formalisme de la fonction de Wigner con rmant l'a rmation selon laquelle la mécanique quantique sur l'espace des phases (stochastique) est une généralisation de la mécanique quantique conventionnelle. Le calcul de la délité pour un état cohérent a conduit à une nouvelle expression dépendant du paramètre l et des variances expérimentalement mesurables.