Observable espace des phases et mesure simultanée de la position

Avant de dénir l'observable espace des phases, nous rappelons ici les dénitions de deux concepts importants en mécanique quantique, qui sont la coexistence et la complémentarité des observables [26].

Dénition 4.3.1. Au sens probabiliste, les observables Ei : Fi → L (H) d'un en-semble {Ei|i ∈ I} d'observables coexistent s'il existe une observable E : F → L (H) telle que

∀i ∈ I, ∀X ∈ Fi : ∃Z ∈ F tel que pEi

ρS(X) = p^E_ρS(Z) ,∀ρS ∈ S (H) . (4.3.1) Une dénition équivalente serait de dire que l'ensemble {Ei|i ∈ I} est un ensemble d'observables qui coexistent si

∪i∈I R (Ei)⊆ R (E) , (4.3.2)

avec R (Ei)≡ {Ei(X)|X ∈ Fi} est l'ensemble image de l'observable Ei. On appelle E l'observable jointe des observables Ei.

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

valeurs de Ei, et F est une σ-algèbre sur Ω telle que : X × Ω2 ∈ F et Ω1 × Y ∈ F, ∀X ∈ F1, ∀Y ∈ F2. Les observables E1 et E2 sont les marginales de l'observable E dans le sens où

E₁(X) = E (X× Ω2) ,∀X ∈ F1, (4.3.3) E₂(Y ) = E (Ω₁× Y ) , ∀Y ∈ F2. (4.3.4) Dénition 4.3.2. Au sens de la théorie de la mesure, deux observables E1 : F1 → L (H) et E2 : F2 → L (H) coexistent si elles peuvent être mesurées simultanément, c'est-à-dire, il existe une mesure M = hHA, ρA, Z, Vi et deux fonctions de pointeurs f₁ : ΩA → Ω1 et f2 : ΩA → Ω2 qui vérient les CRP

p^E1

ρS(X) = p^Z_{RA(V(ρS⊗ρA))} f₁⁻¹(X)
, ∀X ∈ F1, (4.3.5) p^E2

ρS (Y ) = p^Z_{RA(V(ρS⊗ρA))} f₂⁻¹(Y )
, ∀Y ∈ F2. (4.3.6) Les observables E1 et E2 s'écrivent en fonction de l'observable E eectivement mesurée par M comme

E₁ = E◦ f−1

1 , E₂ = E◦ f−1

2 . (4.3.7)

Les deux dénitions 4.3.1 et 4.3.2 de la coexistence d'observables sont équivalentes. Par ailleurs, la mesure simultanée de deux observables E1 et E2 est souvent confondu avec la mesure séquentielle des deux observables qui est indépendante de l'ordre choisi. Dans une mesure séquentielle de ce type, les transformateurs d'états I12 et I21 sont équivalents et on peut montrer en eet que ça implique la coexistence des observables E₁ et E2 [26]. Cependant, dans le cas général, la réciproque n'est pas assurée, c'est-à-dire qu'on peut avoir coexistence sans avoir de mesure séquentielle indépendante de l'ordre. L'équivalence entre mesure simultanée et mesure séquentielle indépendante de l'ordre est assurée dans le cas des observables discrètes précises.

Dénition 4.3.3. Deux observables E1 : F1 → L (H) et E2 : F2 → L (H) sont complémentaires au sens probabiliste si elles vérient les deux relations suivantes

p^E1 ρS (X) = 1 =⇒ 0 < pE2 ρS (Y ) < 1, (4.3.8) p^E2 ρS (Y ) = 1 =⇒ 0 < pE1 ρS (X) < 1, (4.3.9)

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

E₁(X)6= I 6= E2(Y ).

Cette dénition de la complémentarité est liée aux prédictions des résultats de la mesure. Elle signie que si on est sûr d'obtenir un résultat donné lors de la mesure d'une observable, alors on ne peut pas prédire avec certitude les résultats de la mesure de l'autre observable.

Dénition 4.3.4. Deux observables E1 : F1 → L (H) et E2 : F2 → L (H) sont complémentaires au sens formel du terme si les relations suivantes sont vériées pour tous les intervalles X ∈ F1 et Y ∈ F2

E1(X)∧ E2(Y ) = 0, (4.3.10)

E₁(X)∧ E2(Ω₂\Y ) = 0, (4.3.11)

E₁(Ω₁\X) ∧ E2(Y ) = 0. (4.3.12)

L'opération ∧ représente la conjonction sur la structure algébrique de Ep(H) et E1(·)∧ E₂(·) représente la plus grande borne inférieure des propositions E1(·) et E2(·). La proposition E (Ω\·) représente la proposition complémentaire I − E (·).

Dans le cas d'observables précises, les deux dénitions 4.3.3 et 4.3.4 sont équiva-lentes. Cependant, dans le cas général, la complémentarité au sens de la dénition 4.3.4 est plus forte que celle de la complémentarité probabiliste 4.3.3 : La complémentarité implique la complémentarité probabiliste mais l'inverse n'est pas assuré en général. En eet, en introduisant susamment d'imprécision dans les observables complémentaires E₁ et E2, par une procédure telle que le outage, les observables imprécises obtenues peuvent ne plus vérier les relations (4.3.10 - 4.3.12) tout en restant complémentaire au sens probabiliste. D'un autre côté, la complémentarité 4.3.4 implique forcément la non-coexistence des observable E1 et E2, ce qui n'est pas le cas de la complémentarité probabiliste. Ceci ouvre la voie à la possibilité de mesurer simultanément des obser-vables complémentaires.

L'exemple qui nous intéresse dans cette thèse est celui de la mesure simultanée de la position et de l'impulsion d'un système quantique non-relativiste et sans spin. Les observables position et impulsion, ou toute autre observable, sont dénies en mécanique quantique soit en faisant appel au principe de correspondance ou bien à un schéma de quantication tel que la correspondance entre l'algèbre de Lie du groupe de symétrie et l'algèbre des fonctions sur l'espace des phases. Nous avons abordé cette dernière

mé-4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

position et impulsion est l'utilisation des systèmes d'imprimitivité et des systèmes de covariances [19,26]. Cette méthode relativiste a l'avantage de tenir compte de façon naturelle des observables imprécises.

Dans ce qui suit, nous prenons ~ = 1. Soit E : B (R3) → L (H) et F : B (R3) → L (H) les POVM (ou en particulier PVM) associées aux observables position et impul-sion respectivement. Si on note Uq, Vp et WR les représentations des sous-groupes de translation T , de boost V et de rotation R respectivement du groupe de Galilée sur l'espace de Hilbert H, alors les observables position et impulsion sont caractérisées par les relations de symétries suivantes

U_qE (X) U⁻¹_q = E (X + q) , V_pE (X) V⁻¹_p = E (X) , (4.3.13) W_RE (X) W_R = E (RX) , et U_qF (Y ) U⁻¹_q = F (Y ) , V_pF (Y ) V⁻¹_p = F (Y + p) , (4.3.14) W_RF (Y ) W_R = F (RY ) .

Théorème 4.3.1 (Théorème de Stone). Pour toute représentation fortement continue et unitaire U (V) du groupe des translations (boost) (R3, +) existe une unique PVM F_U : B (R3) → L (H) (EV : B (R3)→ L (H)) telle que Uq =´

R³e^−iq·kdF_U(k), ∀q ∈ R³ V_p=´

R³eip·xdE_V(x) ,∀p ∈ R3
.

Si on s'intéresse aux positions et impulsions précises du système, E et F sont des PVM. On appelle dans ce cas les couples (U, E) et (V, F ), où E et F satisfont les relations de covariances dans (4.3.13) et (4.3.14), des systèmes d'imprimitivité transitifs des groupes de translation et de boost. En utilisant le théorème de Stone, on peut montrer [26] qu'il existe une unique PVM E et une unique PVM F , qui satisfont les relations de symétries précédentes. Ces PVM correspondent respectivement aux PVM EQ et FP associées aux générateurs Q et P des sous-groupe de boost et de translations. Les propriétés précises de position et d'impulsion du système quantique sont donc décrits de façon unique par les générateurs de boost et de translation et qui font partie des générateurs du groupe de Weyl - Heisenberg W comme nous l'avons vu au chapitre 3. Les relations de covariances (4.3.13) et (4.3.14) sont à l'origine des relations de commutations canoniques entre les opérateurs position Q et impulsion P

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

et de la relation d'incertitude de Heisenberg. On peut montrer que ces dernières sont à leur tour à l'origine des relations de complémentarité (4.3.10), (4.3.11) et(4.3.12) entre E^Q et FP et donc de la non-coexistence des observables position et impulsion précises. Dans le cas général, les POVM solutions des relations de symétries (4.3.13) et (4.3.14) ne sont pas uniques. Les couples (U, E) et (V, F ) avec E et F des POVM satisfaisant les relations de covariance dans (4.3.13) et (4.3.14) sont appelés de façon générale systèmes de covariance. Bien que l'on ne connaisse pas la forme générale des solutions des relations de symétries, on peut montrer en utilisant la forme (4.2.15) [48] que les POVM commutatives, solutions de ces équations s'écrivent toutes sous la forme d'un produit de convolution des PVM EQ et FP avec des mesures de conance µ et ν sur B (R3) respectivement comme suit [26]

E^µ(X) = µ◦ EQ
(X) = ˆ R³ E^Q(X + q) dµ (q) , X ∈ B R3
, (4.3.15) F^ν(Y ) = ν◦ FP
(Y ) = ˆ R³ F^P(Y + p) dν (p) , Y ∈ B R3
. (4.3.16) Dans le cas où ces mesures de conance sont absolument continues (c'est à dire que µ et ν s'écrivent comme des intégrales par rapport à des densités de probabilités e et f sur R3 respectivement) les relations précédentes s'écrivent

E^µ(X) ≡ Ee(X) = ˆ R³ e (q) E^Q(X + q) dq, (4.3.17) F^ν(Y ) ≡ Ff (Y ) = ˆ R³ f (p) F^P(Y + p) dp. (4.3.18) Les observables Ee et Ff représentent respectivement les propriétés de position et d'impulsion imprécises du système. Un cas particulièrement important survient lorsque les deux fonctions e et f forment un couple de Fourier. C'est à dire qu'il existe un opérateur T0 ∈ S (H) tel que e (q) et f (p) s'écrivent comme

e (q) ≡ χ (q) = hq | T0qi ,

f (p) ≡ ˜χ (p) = hp | T0pi . (4.3.19) Les deux fonctions de conance sont ainsi transformées de Fourier l'une de l'autre et satisfont la relation d'incertitude de Heisenberg

Var (χ) Var ( ˜χ)≥ ¹

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

Il a été montré que, dans ce cas particulier [50], les observables position et impulsion imprécises sont coexistantes, c'est à dire qu'elles sont mesurables simultanément et qu'elles s'écrivent comme marginales d'une observable jointe G : B (Γ) → L (H), où Γ ≡ R6 est l'espace des phases ordinaire obtenu dans la section 3.4. Plus encore, la POVM G prend la forme particulière d'une intégrale de Bochner

Z 7→ G (Z) = ˆ

Z

T_qpdqdp, Z ∈ B (Γ) , (4.3.21) L'opérateur Tqp s'écrit en fonction de T0 comme

T_qp = U_qpT₀U⁻¹_qp, (4.3.22)

où Uqpest l'opérateur déplacement dans l'espace des phases rencontré dans les chapitre précédents. L'observable jointe G satisfaisant les conditions de covariance par rapport au déplacement dans l'espace des phases

U_qpG (Z) U⁻¹_qp = G (Z + (q, p)) , (4.3.23) et par rapport aux rotations

W_RG (Z) W⁻¹_R = G (RZ) , (4.3.24)

pour tout Z ∈ B (Γ), est une observable espace des phases. La condition (4.3.19) sur les fonctions de conance est une condition susante pour la coexistence des observables position et impulsion imprécises. Elle est nécessaire pour que l'observable espace des phases prenne la forme particulière (4.3.21). En revanche, on ne sait pas si cette condi-tion est nécessaire pour la coexistence de ces observables en général [26] . Comme les positions et impulsions imprécises ainsi dénies coexistent, elles ne sont donc pas com-plémentaires au sens strict. Cependant, comme les fonctions de conance satisfont la relation d'incertitude, on peut montrer que les deux observables sont complémentaires au sens probabiliste. Elles gardent donc l'exclusion mutuelle dans les prédictions de leurs résultats de mesure suivant la dénition 4.3.3.

En 1965, E. Arthurs et J. L. Kelly, Jr. publient un article où ils décrivent un modèle pour la mesure simultanée de la position et de l'impulsion d'un système physique [51]. L'observable espace des phases eectivement mesurée par ce modèle est décrite par la forme intégrale (4.3.21). Dans leur modèle, Arthurs et Kelly s'intéressèrent au cas

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

particulier d'états à incertitudes minimales pour les appareils de mesure. Plus tard, une étude plus générale a été conduite par P. Busch [52] où le modèle est utilisé pour déterminer le rôle de la relation d'incertitude (4.3.20) comme condition de mesurabi-lité de la position et de l'impulsion simultanément. Nous résumons ici le modèle de la mesure simultanée de la position et de l'impulsion tel qu'exposé dans la référence [26]. Nous ne ferons que décrire les éléments intervenant dans le processus de la mesure propres à ce modèle et les expressions de l'observable espace des phases et du trans-formateur d'états. Les détails du calcul peuvent être trouvés dans les références citées précédemment.

Le modèle de la mesure d'Arthurs et Kelly est un processus physique qui se base sur les cinq éléments de la mesure dénies dans la section précédente. Tout d'abord, l'appareil de mesure A est décrit dans ce modèle par la combinaison de deux sondes A1 et A2 dans des états initiaux φ1 ∈ HA1 et φ2 ∈ HA2. L'état initial de l'appareil de mesure A = A1 +A2 est choisi comme étant un état séparable donné par le produit tensoriel φ1⊗ φ2 ∈ HA =HA1 ⊗ HA2. Ces deux sondes seront couplées au système S dont on veut mesurer la position Q et l'impulsion P simultanément. Pour simplier les équations, on considère que le système est préparé dans un état vecteur initial ϕ ∈ HS. Le cas général d'un état ρS ∈ S (HS) peut être retrouvé facilement grâce à la linéarité des équations. Comme dans le cas du modèle standard de la mesure, le couplage entre l'appareil de mesure et le système est décrit par un opérateur unitaire donné par

U = exp  −ⁱ ~ λQ⊗ P1⊗ I2+ ⁱ ~ µP⊗ I1⊗ Q2  , (4.3.25)

où λ et µ représentent des constantes de couplages. Les opérateurs Qi, Pi et Ii avec i = 1, 2 sont les générateurs du groupe de Weyl - Heisenberg associés aux deux sondes A1 et A2. Dans ce modèle, l'impulsion P1 de la sonde A1 est couplée à la position Q du système S (voir modèle standard de la mesure à la sous-section 4.2.2 où P1 ⊗ I2

joue le rôle de l'opérateur B.) et la position Q2 de la sonde A2 à son impulsion P. Comme dans le modèle standard, l'observable pointeur Z = Z1 ⊗ Z2 est choisie de sorte à ce que Z1 et Z2 soient les conjuguées par covariance des PVM EP1 et EQ2, ce qui donne Z = EQ1 ⊗ EP2. Enn, dans ce modèle, la fonction de pointeur f est une fonction à deux variables choisie de façon similaire au modèle standard et qui s'écrit f : (x, y)7→ (λ−1x, µ⁻¹y) ,∀ (x, y) ∈ ΩA = Ω_A1 × ΩA2 = R2.

L'état initial du système total (S + A) avant couplage est donné par le produit tensoriel Ψ0 = ϕ⊗ φ1 ⊗ φ2. Après couplage, l'état total devient Ψ = UΨ0, qui s'écrit

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES en représentation conguration Ψ (q, ξ₁, ξ₂) = ϕ (q + µξ₂) φ₁  ξ₁− λq − ^λµ 2 ^ξ2  φ₂(ξ₂) . (4.3.26) An de déterminer l'observable G : B (R × R) → L (HS), eectivement mesurée par la mesure MA&K =hHA, φ₁⊗ φ2, Z, f, Ui, on utilise la CRP (4.2.26). Comme la mesure MA&K est unitaire, la CRP prend la forme simple suivante

hϕ | G (X × Y ) ϕi =Ψ

I⊗ EQ1(λX)⊗ EP2(µY ) Ψ , ∀X, Y ∈ B (R) , ∀ϕ ∈ HS. (4.3.27) Le calcul donne l'expression suivante pour l'observable espace des phases

G (X× Y ) = ˆ X×Y K^∗_qpK_qpdqdp = ¹ 2π~ ˆ X×Y T_qpdqdp, (4.3.28) avec l'opérateur Kqp qui s'écrit, en représentation conguration, en fonction des états des deux sondes A1 et A2 comme suit

K_qp(x, x⁰) = √¹ 2π~^e i ~p(x−x0) φ^(λ)₁  q− ¹ 2^{(x + x} 0 )  φ^(µ)₂ (x− x0 ) , (4.3.29) où on note φ(λ) 1 (ξ₁) =√ λφ₁(λξ₁) et φ(µ) 2 (ξ₂) = √¹

µφ₂^1_µξ₂. Sous certaines conditions sur les états φ1 et φ2, on peut s'assurer que l'observable G ainsi obtenue vérie les propriétés de covariances caractérisant une observable espace des phases.

Le transformateur d'états IX×Y : B (R × R) → L (S (HS))qui donne l'état du sys-tème après la mesure, se calcule soit en utilisant sa dénition (4.2.27), soit en utilisant dans ce cas simple la condition suivante

Tr [IX×Y (P [ϕ]) A] =Ψ

A⊗ EQ1(λX)⊗ EP2(µY ) Ψ , (4.3.30) qui doit être satisfaite pour tous les états ϕ ∈ HS et tous les opérateurs auto-adjoints A ∈ L (HS). Le calcul donne l'expression suivante pour le transformateur d'états as-socié à la mesure MA&K

IX×Y (P [ϕ]) = ˆ

X×Y

KqpP [ϕ] K^∗_qpdqdp, (4.3.31) où P [ϕ] représente le projecteur |ϕi hϕ| et l'opérateur Kqp est déni comme précédem-ment.

4.3. INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE SUR L'ESPACE DES PHASES

4.3.2 Une représentation espace des phases de la mécanique