Fidélité de téléportation d'un état cohérent

= [Win◦ Gσ] (xout, pout) . (2.6.14) Cette expression montre que pour des valeurs nies quelconques du paramètre d'intri-cation r, la fonction de Wigner à la n du processus de téléportation Wout est donnée par le produit de convolution de la fonction de Wigner de l'état à téléporter Win avec une gaussienne Gσ de variance σ = e−2r. Donc, en utilisant un état physiquement réalisable mais non maximalement intriqué, le résultat de la téléportation n'est pas identique à l'état d'origine. C'est uniquement à la limite r → ∞ que la gaussienne Gσ

tend vers une fonction δ de Dirac et ainsi, la fonction de Wigner Wout devient identique à Win. En comparaison, la téléportation des variables discrètes donne toujours un ré-sultat parfaitement identique à l'état initial. L'avantage qu'il y a à utiliser les variables continues pour transmettre l'information réside dans le fait que la téléportation se fait de manière inconditionnelle, contrairement au cas de la téléportation des variables dis-crètes. En eet, pour téléporter des variables discrètes, on a besoin d'utiliser un état de Bell maximalement intriqué. Cet état est expérimentalement réalisable à partir d'un protocole de distillation par exemple, mais avec une probabilité donné qui est inférieure à 1. La téléportation des variables discrètes est conditionnée donc par la probabilité de création de l'état intriqué. En revanche, l'état comprimé du vide à deux modes utilisé comme ressource d'intrication pour la téléportation des variables continues est réali-sable en combinant deux états comprimés à un mode, générés à l'aide d'un Oscillateur Paramétrique Optique (OPO), dans un séparateur de faisceaux 50 : 50. La probabilité de générer deux modes intriqués à la sortie de ce dispositif est égale à 1. La téléporta-tion n'est donc pas conditéléporta-tionnée par la probabilité de créatéléporta-tion de l'état intriqué mais au détriment de la délité de téléportation.

2.6.3 Fidélité de téléportation d'un état cohérent

Nous allons maintenant quantier la délité de téléportation d'un état cohérent et dénir sa dépendance en fonction du paramètre d'intrication r. Pour une discussion plus approfondie de la délité de téléportation se référer par exemple à l'article [40].

En général, la délité de téléportation d'un état pur |ψini représente le recouvrement entre ce dernier et l'état ρoutrésultant de la téléportation. Une façon simple de quantier

2.7. CONCLUSION

Ceci se traduit par la dénition suivante de la délité

F =hψin| ρoutψ_ini . (2.6.15)

Comme l'état introduit est parfaitement inconnu pour Alice et Bob, on a besoin d'un troisième acteur, Victor, pour jouer le rôle de véricateur. Victor connaissant l'état |ψini que veut téléporter Alice et connaissant le résultat de Bob, il peut mesurer à quel point ces deux états se ressemblent et ainsi mesurer la délité de la téléportation.

Supposons qu'Alice veuille téléporter un état pur cohérent |αini d'amplitude com-plexe αin = x_αin + ik_αin. La délité (2.6.15) devient

F_C = hαin| ρoutα_ini

= Tr [ρ_out|αini hαin|] = πQout(x_αin, k_αin) , (2.6.16) où nous avons utilisé dans la dernière égalité la dénition (2.4.20) de la fonction Q de Husimi pour l'état ρout. La fonction Q est reliée à la fonction de Wigner par la relation (2.4.22). En l'appliquant au résultat (2.6.14) et en tenant compte de la déni-tion (2.4.14) de la foncdéni-tion de Wigner d'un état cohérent, l'expression de la délité de téléportation d'un état cohérent devient

F_C = ¹

e−2r+ 1^. (2.6.17)

Dans la limite r → ∞, la délité atteint une valeur maximale FC = 1due à l'utilisation d'un état EPR pour la téléportation. Dans le cas r = 0, la délité de téléportation atteint sa valeur minimale FC = ¹₂. Ceci correspond à l'utilisation d'un état séparable pour réaliser la téléportation. Une délité de téléportation qui dépasse cette limite classique de 1/2 utilise forcément un état intriqué comme ressource.

2.7 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons vu quelques ressources physiques et techniques ma-thématiques utilisées pour communiquer et décrire l'information quantique avec les variables continues. Nous pouvons comparer ces notions avec celles rencontrées avec les variables discrètes sur les deux plans : mathématique et physique.

Sur le plan mathématique, les outils utilisés pour les variables continues sont plus complexes et demandent un peu plus d'eort de calcul, ce qui est normal lorsqu'on passe

2.7. CONCLUSION

à une formulation qui fait intervenir des espaces de Hilbert de dimensions innies au lieu des espaces de Hilbert de dimensions nies. Pour faciliter les calculs, la représentation espace des phases de Wigner est largement utilisée pour ramener les calculs quantiques à un simple calcul probabiliste classique. La représentation de Wigner s'appuie sur une description des états quantiques à l'aide de quasi-densités de probabilité. Même si cette représentation s'avère un outil mathématique puissant pour réaliser les calculs, nous avons souligné deux complications importantes qui, à notre avis, l'empêche d'avoir une interprétation classique complète. La première complication réside dans l'absence d'une interprétation des fonctions de Wigner comme de véritables densités de probabilité sur l'espace des phases dans le sens opérationnel du terme, c'est-à-dire, comme des probabilités résultant d'une mesure simultanée de la position et de l'impulsion. Ceci se traduit par le fait que les fonctions de Wigner peuvent être négatives. Les fonctions de Wigner ne sont donc pas mesurables directement par l'expérience et doivent être déduites indirectement par des techniques telles que la tomographie [37]. Nous verrons dans les chapitres 3 et 4 traitant de la mécanique quantique stochastique, que cette dernière donne une représentation espace des phases de la mécanique quantique qui a une interprétation en termes opérationnels. La seconde complication est celle de l'ordre des opérateurs lors du passage des observables classiques aux observables quantiques. La fonction de Wigner permet uniquement, par le principe de correspondance de Weyl, de calculer les valeurs moyennes d'observables qui sont symétriques en position et en impulsion. Là non plus, la représentation de Wigner ne donne pas d'explication en termes opérationnels de l'origine de ce choix d'ordre des opérateurs. Nous verrons au chapitre 4 que le choix de l'ordre est déterminé par l'appareil de mesure utilisé pour mesurer les densités de probabilité dans l'espace des phases et que par conséquent, ce choix n'est pas unique [18].

Sur le plan expérimental, l'optique quantique avec les variables continues ore un terrain de jeu vaste et intéressant pour réaliser diverses expériences de communica-tion et de traitement de l'informacommunica-tion. Nous avons traité dans ce chapitre le cas de la téléportation quantique. Les variables continues en optique quantique sont en général plus faciles à manipuler que les variables discrètes et demandent un appareillage qui est souvent constitué de simples séparateurs de faisceaux, d'OPO et de lasers, relativement faciles d'accès. En revanche, dans le cas des variables discrètes, l'appareillage demande souvent une très grande précision, lors du comptage de photons par exemple. Cepen-dant, cette maniabilité dans l'expérience avec les variables continues a un prix : nous avons vu dans l'expérience de la téléportation quantique que la délité de téléportation

2.7. CONCLUSION

Dans les deux prochains chapitres, nous traiterons l'information quantique en uti-lisant la mécanique quantique stochastique. Nous utiliserons presque exclusivement les notions rencontrées avec les variables continues, car elles conviennent mieux à la représentation espace des phases qu'apporte la mécanique quantique stochastique.

Chapitre 3

Mécanique quantique sur l'espace des

phases

3.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous allons étudier les principaux ingrédients mathématiques d'une nouvelle formulation de la mécanique quantique dans l'espace des phases. Ce formalisme se veut général et s'applique donc à toute la théorie quantique, qu'elle soit relativiste ou non. Cependant, dans cette thèse nous allons nous borner au cas des particules non-relativistes et sans spin, car elles conviennent à la description du modèle standard de la téléportation quantique.

Le groupe de Galilée est le groupe de symétrie qui gouverne le comportement des particules non-relativistes, massiques et avec spin. Mais dans le cas de la téléportation quantique à variables continues, nous nous intéressons uniquement à la position et à l'impulsion (quadratures). Dans ce cas, un sous-groupe du groupe de Galilée, le groupe de Weyl-Heisenberg convient parfaitement à cette étude simpliée.

La mécanique quantique dans l'espace des phases consiste à décrire les états d'un système physique à l'aide de fonctions d'ondes dénies sur l'espace des phases, au lieu des espaces congurations ou impulsions habituels. Il est à noter que ces trois espaces, ainsi que d'autres espaces homogènes et les représentations du groupe qui leur correspondent, peuvent être obtenus à partir du groupe lui même. Nous allons dans ce qui suit décrire les étapes de la construction de l'espace des phases habituel et la représentation du groupe de Weyl Heisenberg.

Cette construction demande quelques notions de cohomologie de groupes et de va-riétés diérentiables. Pour faciliter la lecture de cette thèse, nous allons introduire