Espaces des phases d'un groupe de Lie

∂qi − ^∂f ∂qi ∂ ∂pi ∈ Ham (M, ω) , (3.2.68) on a l'écriture suivante pour le crochet de Poisson en fonction de la forme diérentielle symplectique

{f, g} = ω (Xf, X_g) . (3.2.69)

L'ensemble des fonctions de classe C∞(M) muni du crochet de Poisson dénit aussi une algèbre de Lie F (M). On note ρ l'homomorphisme d'algèbres de Lie entre F (M) et Ham (M, ω) tel que ρ (f) = Xf. La séquence 0 → R ι

→ F (M)→ Ham (M, ω) → 0^ρ est appelé suite exacte d'algèbres de Lie car : Im (ι) = Ker (ρ) .

Nous avons maintenant tous les éléments pour comprendre les étapes de la construc-tion d'une représentaconstruc-tion espace des phase de la mécanique quantique. Nous discuterons dans la section suivante de la méthode utilisée.

3.3 Méthode générale

Nous considérons dans ce qui suit un système quantique dont la dynamique est décrite par un groupe de symétrie G qui est un groupe de Lie quelconque. Nous com-mencerons tout d'abord par dénir l'espace des phases du système quantique. L'espace des phase est mathématiquement représenté par une variété symplectique comme celle dénie plus haut. Nous donnerons les étapes qui mènent à la construction de l'espace des phases à partir du groupe lui même tel que détaillé dans les références [18] et [43]. Une fois l'espace des phases déni, on passe à la construction d'une représentation irréductible du groupe de symétrie sur l'espace vectoriel formé des fonctions d'ondes de carré sommable sur l'espace des phases.

3.3.1 Espaces des phases d'un groupe de Lie

Avant de dénir l'espace des phases, étudions le lien qui existe entre la structure d'une variété symplectique et la cohomologie d'une algèbre de Lie. Nous voulons réaliser deux objectifs simultanément : 1) Construire l'espace des phases à partir du groupe de symétrie G. Ceci se traduit mathématiquement par l'existence d'un homomorphisme d'algèbres de Lie κ entre l'algèbre de Lie g du groupe de symétrie G et l'algèbre de Lie Ham (M, ω) des champs de vecteurs hamiltoniens sur la variété symplectique (M, ω). 2) Avoir une description complète des observables quantiques en termes d'observables classiques. L'algèbre de Lie g d'un groupe de symétrie est formée d'observables

quan-3.3. MÉTHODE GÉNÉRALE

tiques, alors que l'algèbre des fonctions F (M) est formée d'observables classiques. L'existence et l'unicité d'une telle description se traduirait mathématiquement par l'existence et l'unicité d'un homomorphisme d'algèbres de Lie λ entre L'algèbre de Lie get l'algèbre de Lie F (M). Donc, supposons que l'espace des phases M existe, c'est-à-dire que l'homomorphisme κ existe, quelles sont les conditions d'existences et d'unicité de l'homomorphisme λ de sorte à préserver l'égalité ρ ◦ λ = κ, c'est-à-dire à rendre le diagramme suivant commutatif

0→ R→ F (M)^ι → Ham (M, ω) → 0^ρ

λ- ↑ κ

g (3.3.1)

Comme F (M), Ham (M, ω) et g sont avant tout des espaces vectoriels et que g est de dimension ni, on peut toujours trouver une application linéaire λ : g → F (M) telle que ρ ◦ λ = κ. Pour que λ soit en plus un homomorphisme d'algèbres de Lie, elle doit préserver le crochet de Lie

λ ([X, Y ]) = {λ (X) , λ (Y )}Poisson ∀X, Y ∈ g On dénit alors l'application ν

ν : g× g → F (M)

(X, Y ) 7→ ν (X, Y ) = λ ([X, Y ]) − {λ (X) , λ (Y )}Poisson (3.3.2) et on a donc ρ ◦ ν (X, Y ) = ρ ◦ λ ([X, Y ]) − ρ ({λ (X) , λ (Y )}Poisson) = κ ([X, Y ])− [κ (X) , κ (Y )]_Ham = 0, car κ est un homomorphisme. Si on veut que λ soit un homo-morphisme alors ν doit être nulle ν = 0, ∀X, Y ∈ g. Or ν est une forme bilinéaire sur g×g qui en plus est antisymétrique, ce qui s'écrit ν ∈ ∧2(g^∗). En calculant δν ∈ ∧3(g^∗), on trouve

δν (X, Y, Z) =−λ ([[X, Y ] , Z] + [[Z, X] , Y ] + [[Y, Z] , X]) . (3.3.3) En utilisant l'identité de Jacobi en trouve δν = 0, c'est donc une 2−forme diérentielle sur G fermée et on écrit ν ∈ Z2(g). Supposons qu'il existe une autre application linéaire λ⁰ : g→ F (M) telle que ρ ◦ λ0 = κ. Dans ce cas, on a ρ ◦ (λ0− λ) = ρ ◦ λ0− ρ ◦ λ = 0 et donc λ0− λ ∈ Ker (ρ). La fonction λ0− λ = c est donc une fonction linéaire constante ;

3.3. MÉTHODE GÉNÉRALE

c : g→ R, ce qui s'écrit c ∈ ∧1(g^∗) = g^∗. La fonction ν0 associée à λ0 = λ + c s'écrit ν⁰(X, Y ) = λ⁰([X, Y ])− {λ⁰(X) , λ⁰(Y )}

= λ ([X, Y ]) + c ([X, Y ])− {λ (X) + c (X) , λ (Y ) + c (Y )}

= λ ([X, Y ])− {λ (X) , λ (Y )} + c ([X, Y ]) , (3.3.4) où nous avons utilisé dans la dernière équation le fait que c est une constante qui commute avec toutes les fonctions de F (M). On a donc ν0(X, Y ) = ν (X, Y ) + c ([X, Y ]). Comme c ∈ ∧1(g^∗), son image par l'opérateur de cobord δ donne δc (X, Y ) = −c ([X, Y ]), avec δc ∈ B2(g). Ce qui permet d'écrire ν0 = ν − δc et comme ν ∈ Z2(g), les deux applications ν et ν0 appartiennent à la même classe d'équivalence [ν] dans H²(g) = Z²(g) /B²(g). La condition ν = 0 pour que λ soit un homomorphisme d'al-gèbres de Lie devient [ν] = 0, la classe d'équivalence de zéro. Si [ν] 6= 0, alors il n'existe pas d'homomorphisme λ tel que le diagramme précédent commute. Si [ν] = 0, on se donnant une application linéaire λ telle que dénie plus haut, on peut toujours trouver une application c telle que ν correspondant à λ + c s'annule. L'homomorphisme serait alors λ + c. Il existe un cas où on peut être sûr de l'existence de l'homomorphisme λ, c'est celui où H2(g) = 0. Cette condition est donc susante mais pas nécessaire pour l'existence de λ. Supposons maintenant qu'on dispose d'un tel homomorphisme λ, alors toute autre application linéaire qui s'écrit comme λ + c telle que δc = 0 correspond au même ν = 0. Dans ce cas, l'unicité d'un tel homomorphisme et déterminée par la coho-mologie H1(g). Si H1(g) ={0} alors λ est unique. Si H1{g} 6= {0}, il existe plusieurs choix possibles de l'homomorphisme λ. Une condition susante mais pas nécessaire de l'existence et de l'unicité de λ est H1(g) = H2(g) ={0}.

L'étape suivante vers la dénition de l'espace des phases associé à un groupe de Lie G, consiste à dénir une q−forme sur l'algèbre de Lie g à partir d'une q−forme sur une variété symplectique (M, ω). On suppose pour cela que le diagramme précédent commute, à-dire que l'homomorphisme λ existe et qu'en plus il est unique, c'est-à-dire que H1(g) = 0. L'homomorphisme κ qui associe à chaque élément ξ ∈ g un élément Xξ ∈ Ham (M, ω) est déni de deux façons :

1) L'homomorphisme λ associe à chaque élément ξ ∈ g un élément fξ ∈ F (M) tel que fξ = λ (ξ). L'homomorphisme ρ : F (M) → Ham (M, ω) associe à la fonction f_ξ ∈ F (M) le champ de vecteur hamiltonien Xfξ ∈ Ham (M, ω). Ainsi, pour chaque ξ∈ g on a un Xfξ ∈ Ham (M, ω) associé par l'homomorphisme ρ ◦ λ = κ.

2) Soit l'action du groupe G sur la variété M : G × M → M, (g, m) 7→ gm. A chaque point m ∈ M, on associe une application ψm : G→ M, g 7→ ψm(g) = gm. Un

3.3. MÉTHODE GÉNÉRALE

élément ξ ∈ g est déni comme la dérivée d'une courbe c (t) dans G au point t = 0, qui correspond à c (0) = g : ξ = ^d dt^{c (t)}     t=0

. La courbe dénie par ψm(c (t)) est une courbe dans M et elle dénit un vecteur Xξ = ^d

dt^{ψm(c (t))}     t=0 de l'espace tangent de M au point ψm(c (0)) = gm : Xξ ∈ TgmM. L'homomorphisme κ est déni alors par l'application linéaire tangente ψm∗: g → TM, ψm∗ξ = X_ξ associée à l'application diérentielle ψm. Comme on suppose que le diagramme commute, les deux dénitions de κ coïncident. Considérons maintenant une q−forme Ω ∈ ∧q(T^∗M) sur M. Pour chaque point m ∈ M, on dénit une q−forme Ψm ∈ ∧q(g^∗)sur G à l'aide de l'opération pull-back ψ∗

m associée à ψm et on écrit Ψm ≡ ψ∗

mΩ. L'action de cette q−forme sur les éléments de ∧q(g)s'écrit

hΨm|g, ξ1∧ ... ∧ ξqi = (ψ∗

mΩ)_|g(ξ1∧ ... ∧ ξq)

= Ω|gm X_ξ1 ∧ ... ∧ Xξq
, (3.3.5) avec ξi ∈ g et Xξi = ψ_m∗ξ_i ∈ TgmM, i = 1, ..., q. La q−forme Ω sur M dénit ainsi une application

Ψ :M → ∧q(g^∗)

m 7→ Ψm. (3.3.6)

Considérons l'action du groupe de Lie G sur la variété M. Elle est donnée en tout point g ∈ G par l'application diérentiable

ϕg :M → M

m 7→ ϕg(m) = gm. (3.3.7)

L'action du groupe G sur les vecteurs tangents en tout point m ∈ M est donnée par l'application tangente associée

T_mϕ_g : T_mM → TgmM

X 7→ Tmϕg(X) = g· X, (3.3.8)

telle que si c (t) est une courbe dans M avec c (0) = m et que X = ^d dt^{c (t)}     t=0 ∈ TmM alors g · X = ^d dt^ϕg◦ c (t)    = ^d dt^{gc (t)}  

3.3. MÉTHODE GÉNÉRALE

q−formes diérentielles Ω est donnée en tout point m par l'opération pull-back

ϕ^∗_gΩ
_|m(X₁, ..., X_q)≡ Ω|gm(T_mϕ_g(X₁) , ..., T_mϕ_g(X_q)) . (3.3.9) Considérons maintenant les actions à droite rg et à gauche lg de G (groupe) sur G (variété). Elles sont dénies par

l_g : h7→ gh ; rg : h7→ hg⁻¹, g, h∈ G.

On peut montrer [18,43] que si la q−forme Ω ∈ ∧q(T^∗M) sur M est invariante par l'action ϕg du groupe G, c'est-à-dire ϕ∗

gΩ = Ω, ∀g ∈ G, alors la q−forme Ψm ∈ ∧q(g^∗) est invariante à gauche par l'action lg et on écrit

l^∗_gΨ_m = Ψ_m,∀g ∈ G, ∀m ∈ M. (3.3.10) En particulier, on peut montrer que si Ω est une forme bilinéaire symplectique sur M, ce qui fait de G un sous-groupe du groupe symplectique Sp (TM, Ω), alors Ψm est une forme bilinéaire fermée de G et on a donc

Ψ :M → Z2

(g) . (3.3.11)

En plus, on peut montrer que Ψ est un G morphisme, dans le sens où son action sur M commute avec celle de G et on écrit

Ψ (gm) = Ad^∗_gΨ (m) , (3.3.12)

où Ad∗ est la représentation coadjointe de G. Ceci nous permet d'énoncer le théorème suivant :

Théorème 3.3.1. [43] L'action symplectique d'un groupe de Lie G sur une variété symplectique (M, ω) dénit un G morphisme Ψ : M → Z2(g). Dans ce cas, Ψ (M) est donné par l'union d'orbites dans Z2(g)formée par l'action coadjointe de G. Si l'action de G sur M est transitive, alors l'image de la variété M par Ψ consiste en une seule orbite dans Z2(g).

Maintenant, se donnant un groupe de Lie G et une orbite dans Z2(g), est-ce que cette orbite est l'image d'une variété symplectique (M, ¯ω) par un G morphisme Ψ : M → Z2(g)? La réponse à cette question permet de dénir la variété M comme étant l'espace des phases associé au groupe de Lie G. Nous adoptons la méthode décrite

3.3. MÉTHODE GÉNÉRALE

dans [18] et détaillée dans [43]. Soit ω une 2−forme fermée de Z2(g). On dénit le sous-ensemble hω ⊂ g par

h_ω ={ξ ∈ g|iξω = 0} . (3.3.13)

L'ensemble hω forme une sous-algèbre de g. En eet, si η est un autre champ de vecteurs de hω, il satisfait la relation iηω = 0. En utilisant la dénition de la dérivée de Lie Lξ

et ces propriétés on a

i_[ξ,η]ω = [L_ξ, i_η] ω = L_ξ(i_ηω) + i_η(L_ξω) = 0, (3.3.14) où on a utilisé dans la dernière égalité le fait que Lξω = i_ξ(δω) + δ (i_ξω) = 0car ω est fermée et ξ ∈ hω. Donc, [ξ, η] ∈ hω, ∀ξ, η ∈ hω ce qui fait que l'algèbre de Lie hω est une sous-algèbre de Lie de g. On forme ensuite par exponentiation des éléments de hω

le sous-groupe de Lie Hω de G. Si les deux conditions suivantes sont réunies : 1) Le sous-groupe Hω est fermé, ce qui fait du groupe quotient G/Hω un espace homogène du groupe G. 2) Il existe une submersion ρ : G → G/Hω (une application diérentiable ρ telle que l'application linéaire tangente Tgρassociée est injective), qui associe à chaque élément g ∈ G la classe d'équivalence ρ (g) = gHω ∈ G/Hω, alors un théorème [43] montre qu'il existe une unique forme symplectique ¯ω sur la variété Mω = G/H_ω telle que ω = ρ∗ω¯. L'espace homogène symplectique (espace des phases) associé au groupe de Lie G s'identie donc à l'espace homogène symplectique Mω = G/H_ω. Si on note par m l'élément eHω ∈ Mω, on peut écrire ρ (g) = gm ce qui permet d'identier ρ avec l'application ψm dénie plus haut ρ = ψm. En comparant maintenant la dénition ω = ρ^∗ω¯ avec celle de la forme Ψm = ψ^∗Ω, on peut faire l'identication ω = Ψ (m), ce qui fait que la G orbite dans Z2(g) à travers ω s'identie à l'image de la variété symplectique Mω par le G morphisme Ψ. Une simplication survient dans le cas où H1(g) = H2(g) = 0. Un théorème de Kostant-Souriau [43] montre que dans ce cas, tout espace symplectique homogène d'un groupe de Lie G s'écrit comme une orbite de Gpar l'action coadjointe sur g∗.

3.3.2 Représentation irréductible du groupe de symétrie sur