Représentations espace des phases

S (r) = exp^hr^ˆa⁽⁰⁾₁ ˆa₂⁽⁰⁾− ˆa^†(0)1 ˆa^†(0)₂ ^i, (2.3.24) où ˆa(†)(0)

i , i = 1, 2 sont les opérateurs de création et d'annihilation des deux modes du vide. Les états comprimés que génère cet opérateur à partir de deux modes du vide présentent des propriétés d'une grande importance en information quantique. En représentation d'Heisenberg, l'opérateur de compression transforme les deux modes du vide comme suit

ˆ

a₁(r) = ˆa⁽⁰⁾₁ cosh (r) + ˆa^†(0)₂ sinh (r) , (2.3.25) ˆ

a₂(r) = ˆa⁽⁰⁾₂ cosh (r) + ˆa^†(0)₁ sinh (r) . (2.3.26) Les quadratures des deux modes de l'état comprimé s'écrivent en fonctions des qua-dratures du vide comme

Q₁ = √¹ 2  e^+rQ⁽⁰⁾₁ + e^−rQ⁽⁰⁾₂ ^ , P₁ = √¹ 2  e^−rP⁽⁰⁾₁ + e^+rP⁽⁰⁾₂ ^,(2.3.27) Q₂ = √¹ 2  e^+rQ⁽⁰⁾₁ − e^−rQ⁽⁰⁾₂ ^ , P₂ = √¹ 2  e^−rP⁽⁰⁾₁ − e+rP⁽⁰⁾₂ ^.(2.3.28) On observe que les deux modes du vides se mélangent pour former les deux modes de l'état comprimé. Cette corrélation qui survient entre les deux modes du vide pour former un état intriqué est à la base de nombreuses applications en information quan-tique, notamment la communication d'information. Nous avons vu au chapitre 1 une application de l'intrication à la téléportation quantique à variables discrètes. Nous ver-rons par la suite sont analogue en variables continues, en utilisant l'état comprimé du vide à deux mode comme état intriqué.

2.4 Représentations espace des phases

Nous avons vu au début du chapitre 1 que la mécanique quantique est un formalisme mathématique pour décrire les états, propriétés et évolutions des objets quantiques. Le calcul dans ce formalisme fait intervenir les espaces de Hilbert et les opérateurs, ce qui parfois peut sembler assez lourd, surtout pour des systèmes complexes. En com-paraison, les calculs en mécanique classique sont relativement plus aisés. Par exemple, pour décrire l'état d'une particule non-relativiste dans le temps, il sut de connaitre

2.4. REPRÉSENTATIONS ESPACE DES PHASES

sa position q (t) et son impulsion p (t) à chaque instant qui sont obtenues à partir des conditions initiales par les lois de la mécanique newtonienne. Les observables du système sont quant à elles de simples fonctions f (q, p) (Lebesgue mesurable) sur l'es-pace des phases Γ = R6.On peut aussi rencontrer le cas où l'état de la particule n'est pas déterminé exactement mais uniquement à l'aide d'une distribution de probabilité P (q, p) sur l'espace des phases. Les valeurs moyennes des observables dans cet état sont obtenues par de simples lois de la théorie des probabilités de Kolmogorov [32].

Les représentations espace des phases de la mécanique quantique permettent d'éta-blir une correspondance entre mécanique quantique et mécanique classique. D'un point de vue pratique, elle permettent de ramener les calculs de la mécanique quantique à de simples calculs de probabilités classiques, puis une fois les résultats obtenus, revenir à l'interprétation quantique.

En 1932, Wigner [33] a proposé une application qui transforme les états quantiques en des états quasi-classiques. Ces états se comportent comme des densités de proba-bilités. Non seulement les calculs avec ces quasi-densités de probabilités permettent de retrouver facilement les résultats des calculs quantiques, mais il a été prouvé plus tard [34] que chaque état quantique pouvait être représenté par de telles fonctions, ce qui fait du formalisme des fonctions de Wigner une véritable représentation de la mécanique quantique sur l'espace des phases.

Cependant, les fonctions de Wigner ne peuvent pas être considérées comme de véritables densités de probabilités, car elles ne satisfont pas, en général, la condition de non-négativité des probabilités. En eet, il a été montré [17] que seuls les états quantiques avec des fonctions d'ondes gaussiennes correspondent à des fonctions de Wigner positives.

Considérons le cas d'une particule non-relativiste de spin zéro avec les opérateurs position Q et impulsion P. Tout ce qui suit peut être déni aussi pour un mode du champ électromagnétique. Soit f (q, p) une fonction réelle, Lebesgue mesurable, sur l'espace des phases Γ et soit ˜f (x, k) sa transformée de Fourier. L'observable quantique W (f )qui lui correspond dans le formalisme des fonctions de Wigner est donnée par la transformée de Weyl qui s'écrit

W (f ) =  2π ~ −3ˆ Γ d³xd³k ˜f (x, k) D (x, k) , (2.4.1) où D (x, k) = exp [i (k· Q − x · P)] , (2.4.2)

2.4. REPRÉSENTATIONS ESPACE DES PHASES

est l'opérateur déplacement dans l'espace des phases rencontré plus haut. La transfor-mée de Wigner-Moyal de l'état quantique ρ à l'état quasi-classique est donnée par la fonction de Wigner dénie comme suit

W (q, p) =R [ρ] (q, p) ≡ (2π~)⁻³ ˆ R³ d³x exp^−i^{p· x} ~  q + ¹ 2^x     ρ q−¹₂x  . (2.4.3) On peut montrer alors que les deux correspondances (2.4.1) et (2.4.3) permettent de calculer les valeurs moyennes des observables quantiques de façon classique. On écrit

Tr [ρW (f )] = ˆ

Γ

d³qd³p f (q, p) W (q, p) , (2.4.4) la fonction de Wigner jouant le rôle d'une densité de probabilité. En plus de permettre de calculer les valeurs moyennes des observables de façon classique, la fonction de Wigner partage d'autres propriétés avec les densités de probabilité sur l'espace des phases. En eet, la fonction de Wigner est normalisée

ˆ

Γ

d³qd³p W (q, p) = 1. (2.4.5)

La fonction de Wigner est réelle car l'opérateur densité ρ est hermitien ¯

W (q, p) = W (q, p) . (2.4.6)

Elle satisfait les propriétés d'intégrales marginales suivantes hq | ρ qi = ˆ R³ d³p W (q, p) , (2.4.7) hp | ρ pi = ˆ R³ d³q W (q, p) . (2.4.8)

Soient deux opérateurs quelconques linéaires positifs et de traces nies S et T qui ne sont pas forcément hermitiens. On dénit les fonctions de Wigner WS(q, p) et W_T(q, p) qui leur sont associées en remplaçant ρ par S ou T dans la dénition (2.4.3). Le produit de Hilbert-Shmidt des opérateurs S et T, déni par

hS | TiHS= Tr S^†T
, (2.4.9)

2.4. REPRÉSENTATIONS ESPACE DES PHASES opérateurs comme suit

hS | TiHS = (2π~)³ ˆ

Γ

d³qd³p W_S(q, p)W_T(q, p) . (2.4.10) La propriété précédente permet de calculer la valeur moyenne d'une observable A dans l'état ρ comme

Tr [ρA] = (2π~)³ ˆ

Γ

d³qd³p W (q, p) WA(q, p) , (2.4.11) où W (q, p) représente la fonction de Wigner associée à l'état ρ et WA(q, p)la fonction de Wigner associée à l'observable A. L'équation (2.4.11) décrit le calcul de la valeur moyenne tel qu'il se fait en physique classique : la fonction de Wigner W (q, p) jouant le rôle d'une densité de probabilité et la fonction (2π~)3

WA(q, p) celui de la quantité physique classique dont on calcule la moyenne.

La dernière propriété met la lumière sur un autre problème rencontré avec les re-présentations espace des phases comme celle des fonctions de Wigner. Nous avons vu que si on a une observable quantique A, pour calculer sa valeur moyenne dans un état ρde façon classique, il sut de calculer la fonction de Wigner qui lui est associée pour jouer le rôle de l'observable classique. Maintenant, supposons que nous ayons une ob-servable classique telle que q2p². Comme cette fonction n'est pas intégrable au sens de Lebesgue sur R, on ne peut pas trouver ça transformée de Fourier et par conséquent on ne peut pas trouver l'observable qui lui correspond par la transformation de Weyl (2.4.1). La quantication de cette fonction se fait en général en mécanique quantique en remplaçant les valeurs de position q par l'opérateur Q et les valeurs d'impulsion p par l'opérateur P en faisant appel au principe de correspondance. Comme ces deux opérateurs ne commutent pas, on peut avoir le choix entre plusieurs quantications possibles : Q2P2, QPQP, QP2Q,..., ou d'autres combinaisons de ces opérateurs. C'est le problème de l'ordre des observables bien connu en mécanique quantique lors du passage des quantités classiques aux opérateurs qui ne commutent pas. Dans la re-présentation espace des phases des fonctions de Wigner, la correspondance de Weyl consiste à prendre un ordre symétrique pour les observables Q et P lors du calcul des valeurs moyennes. On écrit en général

Tr [ρS (Qm

Pⁿ)] =

ˆ ˆ +∞ −∞

dqdp W (q, p) q^mpⁿ, (2.4.12) où la notation S (Qm n exprime l'observable symétrisée obtenue en prenant la moyenne

2.4. REPRÉSENTATIONS ESPACE DES PHASES

sur toutes les combinaisons possibles de m opérateurs Q et n opérateurs P. L'obser-vable qui correspond à l'exemple précédent serait donc

S Q2P²
= ¹ 4 ^Q

2P²+ QPQP + PQPQ + P²Q²
. (2.4.13)

Un exemple de fonctions de Wigner que nous rencontrerons plus tard est celui de la fonction de Wigner d'un état cohérent. Soit α = qα + ip_α l'amplitude complexe de l'état cohérent considéré. Sa fonction de Wigner est donnée par

W_α(q, p) = ¹

π^exp− (q − qα)²− (p − pα)² . (2.4.14) .

Il existe d'autres représentations espace des phases de la mécanique quantique qui font intervenir des quasi-densités de probabilités. On peut citer par exemple la re-présentation par les fonctions de Husimi [35] qu'on appelle aussi fonctions Q, et le formalisme des fonctions de Glauber-Sudarshan [31] qu'on appelle aussi fonction P et qu'on rencontre souvent en optique quantique (voir aussi la référence [36] pour une re-vue des diérentes représentations). Il existe des relations simples entre ces fonctions, ce qui permet de passer facilement d'une représentation à une autre.

La fonction caractéristique associée à la fonction P s'écrit comme ˜

P (u, v) = Tr "

ρ exp −iβˆa^†− iβ^∗ˆa
exp |β|² 2

!#

, (2.4.15)

où ˆa† et ˆa sont les opérateurs création et annihilation et β = u + iv est une variable complexe. La fonction P est dénie alors par la transformée de Fourier inverse de sa fonction caractéristique

P (q, p) = ¹ (2π~)²

ˆ ˆ _+∞

−∞

dudv ˜P (u, v) exp (iβα^∗+ iβ^∗α) , (2.4.16)

avec α = _√1

2(q + ip). Les fonctions P permettent de calculer les valeurs moyennes des observables dans un ordre normal. On écrit

Trρ ˆa†m ˆ aⁿ = ˆ ˆ _+∞ −∞ dqdp P (q, p) α^∗mαⁿ. (2.4.17)

2.4. REPRÉSENTATIONS ESPACE DES PHASES

Un théorème important rencontré en optique quantique, appelé théorème optique de l'équivalence [37], permet la décomposition d'un état ρ sur l'ensemble des états cohé-rents comme suit

ρ =

ˆ ˆ _+∞

−∞

dqdp P (q, p)|αi hα| . (2.4.18) Cependant, la fonction P n'est pas toujours positive et elle peut même ne pas être dénie pour certains états. Il existe un lien entre la fonction P et la fonction de Wigner dans le sens où cette dernière représente le recouvrement de la fonction P par une fonction de Wigner Wα(x, k) d'un état cohérent |αi. On écrit alors la relation

W (q, p) =

ˆ ˆ _+∞

−∞

dxdk P (x, k) W_α(x, k) . (2.4.19) La fonction Q associée à un état ρ est dénie comme

Q(q, p) = ¹

2π~hα | ρ αi , (2.4.20)

où α = _√1

2 (q + ip) représente l'amplitude complexe de l'état cohérent |αi. La fonction Q peut donc être vue comme la probabilité de trouver l'état cohérent |αi dans l'état ρ. Les fonctions Q permettent de calculer les valeurs moyennes d'observables dans un ordre anti-normal et on écrit

Trρ ˆanˆa^†m =

ˆ ˆ +∞ −∞

dqdp Q (q, p) αⁿα^∗m, (2.4.21) Le lien entre la fonction Q et la fonction de Wigner existe dans le sens où la première représente un lissage des fonctions de Wigner par la fonction de Wigner décrivant le vide et qui se traduit par le produit de convolution suivant

Q (q, p) = ¹ π ˆ ˆ _+∞ −∞ dxdk W (x, k) exp− (q − x)2 − (p − k)² . (2.4.22) Les fonctions Q ont la propriété intéressante d'être toujours positives. En fait, les fonc-tions Q, telles que dénies à l'origine par Husimi, sont des quasi-densité de probabilités qui peuvent être considérées comme des densités de probabilités mais uniquement sur des cellules autour de q et p dans l'espace des phases, de dimensions de l'ordre des uctuations quantiques du vide. Dans le chapitre 3, nous traiterons une autre repré-sentation espace des phases de la mécanique quantique qui s'appuie sur de véritables densité de probabilité sur tout l'espace des phases, et nous verrons que les fonctions Q