États purs gaussiens : États cohérents - États comprimés

par la quantité

Var_ψ(A) =ψ

A²ψ − |hψ | Aψi|2

. (2.2.5)

La racine carrée de la variance est appelée déviation standard de l'observable A dans l'état ψ et est notée h∆Aiψ. Dans le cas des quadratures du champ électromagnétique, la variance dénit les uctuations quantiques du champ électromagnétique appelées aussi bruit quantique. Considérons maintenant deux observables quelconques A et B, on peut vérier que leurs déviations standards vérient la relation suivante

h∆Aiψh∆Biψ ≥ ¹ 2   h[A, B]iψ   , (2.2.6)

où [A, B] est le commutateur des deux observables A et B. Cette inégalité représente la relation d'incertitude de Heisenberg pour deux observables quelconques. Dans le cas des observables de position Q et d'impulsion P, cette relation s'écrit sous la forme familière

h∆Qiψh∆Piψ ≥ ^~₂. (2.2.7)

2.3 États purs gaussiens : États cohérents - États

comprimés

Il existe une classe importante d'états quantiques qui ont la propriété de saturer l'inégalité d'Heisenberg (2.2.7). On appelle ces états des états purs gaussiens. Dans le cas d'un système à n degrés de liberté, ces états s'écrivent dans la représentation conguration sous la forme générale suivante [30]

η^U,V_q,p (x) = π⁻ⁿ4 [detU ]¹4 exp i 2  x−^q₂^ p  ×exp  −¹₂(x− q)  (U + iV ) (x − q)  , (2.3.1)

où nous avons pris comme unité ~ = 1. Cet état est paramétré par deux vecteurs à n dimensions q = (q1, q₂, ..., q_n), p = (p1, p₂, ..., p_n) et deux matrices réelles U et V d'ordres n × n avec U dénie positive. Dans le cas simple où V est nulle, q = p = 0 et la matrice U est diagonale avec des valeurs propres 1

l2

2.3. ÉTATS PURS GAUSSIENS : ÉTATS COHÉRENTS - ÉTATS COMPRIMÉS paquet d'ondes gaussien

η^l(x) = n Y i=1 πl²_i
⁻ 1 4 exp  −^x 2 i 2l2 i  , (2.3.2)

où le paramètre l = (l1, l₂, ..., l_n) rend compte d'une éventuelle asymétrie dans les uctuations quantiques des opérateurs position et impulsion dans cet état. En eet, les déviations standards en positions et impulsions dans cet état s'écrivent

h∆Qiiηl = √^li

2^, (2.3.3)

h∆Piiηl = √¹ 2li

. (2.3.4)

Un cas particulier est celui des états à incertitudes minimales avec des uctuations quantiques égales en position et en impulsion. Ceci est réalisé avec des paramètres l_i = l = 1 et on a h∆Qii = h∆Pii = _√1

2. Dans ce cas, l'état quantique (2.3.2) n'est autre que l'état fondamental de l'oscillateur harmonique. Si on parle de quadratures du champ électromagnétique en optique quantique, alors cet état n'est autre que l'état du vide à n modes. Les uctuations quantiques des quadratures sont appelées quant à elles bruit standard.

Considérons maintenant le cas simple d'un seul mode (n = 1). À partir de l'état fondamental de l'oscillateur harmonique, ou l'état du vide, on dénit une sous-classe d'états gaussiens qui a une grande importance en mécanique quantique, que ce soit d'un point de vue pratique (optique quantique, information quantique, ...) ou purement théorique. C'est la classe des états cohérents canoniques. Pour cela, dénissons d'abord les opérateurs de création ˆa† et d'annihilation ˆa en fonction des opérateurs position et impulsion comme suit

ˆ a^† = √¹ 2^(Q− iP) , (2.3.5) ˆ a = √¹ 2^{(Q + iP) .} (2.3.6)

On dénit aussi la variable complexe

z = x + iy = √¹

2^{(q + ip) ,} (2.3.7)

2.3. ÉTATS PURS GAUSSIENS : ÉTATS COHÉRENTS - ÉTATS COMPRIMÉS canonique est déni par la relation

|zi = exp −^|z| 2 2 ^{+ zˆa} † ! |0i . (2.3.8)

En dénissant la base d'états nombre de quantas de l'oscillateur harmonique{|ni}, états propres de l'opérateur nombre de particules N = ˆa†ˆa avec les valeurs propres n, on peut écrire l'état cohérent canonique sous la forme

|zi = exp  −¹ 2|z|²  ∞ X n=0 zⁿ √ n!|ni . (2.3.9)

L'appellation états cohérents provient de l'optique quantique, car on a découvert que le champ électromagnétique dans ces états présentait des propriétés observées avec la lumière cohérente [31]. Mais l'origine des états cohérents canoniques remonte aux débuts de la mécanique quantique, lorsqu'en 1926 Schrödinger a voulu trouver des états quantiques dont le comportement pouvait s'expliquer par un raisonnement classique. En eet, il se trouve que lorsqu'un système quantique est dans l'un de ces états cohérents, l'évolution dans le temps des valeurs moyennes des observables position et impulsion obéit aux lois de la mécanique classique pour l'oscillateur harmonique. Ces états ont de nombreuses autres propriétés intéressantes. Les plus importantes sont les quatre suivantes :

Propriété 1 : Les états cohérents canoniques sont eux mêmes des états à incertitude minimale. On a donc

h∆Qizh∆Piz = ¹

2^. (2.3.10)

Propriété 2 : Les états cohérents |zi sont des états propres de l'opérateur annihilation ˆ

a avec la valeur propre z et on écrit ˆ

a|zi = z |zi . (2.3.11)

Propriété 3 : Les états cohérents sont générés à partir de l'état du vide |0i par l'action du groupe de Weyl-Heisenberg, dont les générateurs sont les opérateurs position Q, impulsion P et l'identité I. Cette action s'écrit

2.3. ÉTATS PURS GAUSSIENS : ÉTATS COHÉRENTS - ÉTATS COMPRIMÉS où l'opérateur D (z) déni par

D (z) = exp zˆa^†− ¯zˆa
, (2.3.13) est appelé opérateur déplacement. Nous reviendrons, au chapitre 3, sur la relation entre les groupes de symétrie en général et les états cohérents.

Propriété 4 : Les états cohérents canoniques {|zi} constituent une famille sur-complète d'états et on écrit

I = ¹ π

ˆ

C

|zi hz| dRez dImz, (2.3.14)

où I est l'opérateur identité.

Revenons maintenant au cas de l'état du vide à un mode. Nous avons vu que dans ce cas les uctuations quantiques des deux quadratures du champ électromagnétique sont égales au bruit standard. Supposons que le champ électromagnétique dans cet état traverse un milieu qui introduit une asymétrie dans les uctuations quantiques, de sorte qu'à la sortie du milieu on obtient toujours un état qui minimise la relation d'incertitude, mais avec des déviations standards diérentes entre position et impulsion. Un tel état est donc un état gaussien décrit par (2.3.2) avec un paramètre l diérent de 1. Dans ce cas, une des uctuations quantiques serait en dessous du bruit standard du vide et, pour garantir la saturation de l'inégalité de Heisenberg, l'autre uctuation devra être plus grande que le bruit standard. On appelle un tel état un état comprimé du vide à un mode (squeezed state en anglais.)

On peut décrire mathématiquement l'eet du milieu sur l'état du vide pour produire un état comprimé, à l'aide d'un opérateur de compression unitaire S (r) qui s'écrit en fonction des opérateurs de création et d'annihilation du vide comme [16]

S (r) = exp^hr 2 ^ˆa

(0)2

− ˆa^†(0)2
i

, (2.3.15)

où le paramètre r est un réel qu'on appelle paramètre de compression. Dans la re-présentation d'Heisenberg, cet opérateur transforme les opérateurs de création ˆa†(0),et d'annihilation ˆa(0) décrivant le mode du vide comme suit [16]

ˆ

a^†(r) = S^†(r) ˆa^†(0)S (r) = ˆa^†(0)cosh (r) + ˆa⁽⁰⁾sinh (r) , (2.3.16) ˆ

a (r) = S^†(r) ˆa⁽⁰⁾S (r) = ˆa⁽⁰⁾cosh (r) + ˆa^†(0)sinh (r) , (2.3.17) où ˆa†(r) et ˆa (r) représentent les opérateurs de création et d'annihilation du mode du champ électromagnétique dans l'état comprimé. En termes de quadratures, ce mode

2.3. ÉTATS PURS GAUSSIENS : ÉTATS COHÉRENTS - ÉTATS COMPRIMÉS s'écrit comme

Q (r) = e^+rQ⁽⁰⁾, P (r) = e^−rP⁽⁰⁾. (2.3.18) L'eet de l'opérateur compression sur les quadratures du vide est clair : il amplie une des quadrature et atténue l'autre. Dans tout le reste de cette thèse, nous adopterons la convention r ≥ 0. Les équations précédentes se lisent comme une amplication dans la quadrature en position et une atténuation dans la quadrature en impulsion. Le contraire s'écrirait

Q (r) = e^−rQ⁽⁰⁾, P (r) = e^+rP⁽⁰⁾. (2.3.19) Dans la représentation de Schrödinger, l'action de l'opérateur de compression S (r) sur l'état du vide |0i donne, en représentation conguration, la fonction d'onde suivante de l'état comprimé du vide à un mode

ψ^sq(x) = (π)⁻¹4 e^r/2exp  −^e 2r 2 ^x 2  . (2.3.20)

Le calcul des uctuations quantiques des quadratures dans cet état donne h∆Qiψsq = ¹ 2^e −r , h∆Piψsq = ¹ 2^e r , (2.3.21)

ce qui montre une atténuation des uctuations en position en dessous du bruit standard et une amplication des uctuations en impulsion au dessus du bruit standard. Dans le cas général, tous les états gaussiens à un mode qui minimisent l'incertitude d'Heisenberg peuvent être écrits sous la forme d'un état comprimé du vide avec un déplacement dans l'espace des phases comme suit

|r, αi = D (α) S (r) |0i , (2.3.22)

avec α = qα + ipα. Dans la représentation conguration, ces états s'écrivent sous la forme ψ^sq(x) = (π)⁻¹4 e^r/2exp  −^e 2r 2 ^(x− qα)²+ ipαx− ¹ 2^iqαpα  . (2.3.23)

On peut générer aussi des états comprimés du vide à deux modes, en utilisant un opérateur de compression à deux modes analogue à celui du cas d'un seul mode. Un

2.4. REPRÉSENTATIONS ESPACE DES PHASES