Interrogation de cours n˚11

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Interrogation de cours n˚11

Nom : Pr´enom :

Question 1 (10×0,75 points) : Compl´eter le tableau suivant.

Fonctionf Nombre d´eriv´ef^′(x) def enx∈ D^′f Df^′

f:R→R; x7→a(a∈R)

f:R→R; x7→xⁿ (n∈N^∗)

f:R^∗→R; x7→ 1

xⁿ =x⁻ⁿ (n∈N^∗)

f: [0,+∞[→R; x7→√ x

f: ]0,+∞[→R; x7→x^α=e^αln(x)(α∈R\Z)

f: ]0,+∞[→R; x7→ln(x)

f:R→R; x7→e^x

f:R→R; x7→sin(x)

f:R→R; x7→cos(x)

f: [

k∈Z

i−π

2 +kπ,π 2 +kπh

→R; x7→tan(x)

Question 2 (1+1+2+2+2+2 points) :Compl´eter les cadres suivants.

(a) Somme :Soient u:I →Ret v: I→Rdeux fonctions d´efinies et d´erivables sur un intervalleI deR. Alorsu+v est d´erivable surI et on a la formule suivante.

(u+v)^′ =

(a) Multiplication par un scalaire :Soitu:I→Rune fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalleI deR. Soitλ∈R. Alorsλu est d´erivable surIet on a la formule suivante.

(λ.u)^′=

(c) Produit : Soientu:I→Ret v:I →Rdeux fonctions d´efinies et d´erivables sur un intervalleI deR. Alorsu×v est d´erivable surI et on a la formule suivante.

(u×v)^′ =

(d) Inverse :Soientu:I→Rune fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalleIdeR. On suppose queu ne s’annule pas sur I. Alors 1

u est d´efinie et d´erivable surI et on a la formule suivante.

1 u

^′

=

(e) Quotient :Soientu:I→Ret v:I→Rdeux fonctions d´efinies et d´erivables sur un intervalleI deR. On suppose quev ne s’annule pas surI. Alorsu

v est d´efinie et d´erivable surI et on a la formule suivante.

u v

^′

=

(f) Composition :Soitu: I→Rune fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalleI. Soitv:J →Rune fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalleJ. On suppose que la compos´eev◦u:I→Rest bien d´efinie.

Alorsv◦uest d´erivable surI et on a la formule suivante.

(v◦u)^′=

Question 3 (2,5 points) :Justifier la d´erivabilit´e et calculer la d´eriv´ee def:R^∗ →R; x7→ e^1x x²+ 1.