Problème : Lemme de Zorn, théorèmes de la base incomplète et de la base extraite.
L’objectif de ce problème est de donner une démonstration des théorèmes de la base incomplète et de la base extraite dans le cas où l’espace vectoriel n’est plus supposé de dimension finie.
Partie No1 : Vocabulaire et exemples
Dans cette partie, X etE désignent des ensembles quelconques et non vides.
1. Rappeler, précisément ce que signifie que 4est une relation d’ordre surX.
Montrer que⊂ est une relation d’ordre surP(E).
2. Rappeler ce que signifie que l’ordre 4est total surX.
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que ⊂ soit une relation d’ordre totale sur P(E).
Dans la suite,(X,4) désigne un ensemble ordonné.
3. Que signifie que (X,4) possède un maximum ? Est-ce que(P(E),⊂) possède un maximum ? On dit que x, y∈X vérifient x≺y si x6=y et six4y.
4. Un élément m∈X est dit maximal lorsque, pour toutx∈X,m≺x.
Montrer que si (X,4) possède un maximum alors (X,4) possède un élément maximal.
La réciproque est-elle vraie ? Un élément maximal est-il unique ?
5. Soit A une partie deX. On dit que A est majorée s’il existe M ∈X tel que, pour touta∈A, a4M.
Notons Al’ensemble des singletons de E. Montrer queA est majoré dans(P(E),⊂) 6. On dit qu’une partieC deX est une chaine deX lorsque4 définit un ordre total surC.
Montrer queC ={U2k / k∈N} est une chaîne deP(C)munit de ⊂.
7. X est dit inductif lorsque chacune de ses chaines admet au moins un majorant.
Soit A une partie de E. Montrer que X = {B ∈ P(E) / B ⊂A} est inductif pour la relation d’ordre⊂.
8. Une chaine C de X est dite ultime si elle n’admet aucun majorant strict (c’est-à-dire, s’il n’y a aucun M ∈X\C tel que, pour toutc∈C,c4M), et continuable dans le cas contraire.
La chaîne de la question 6. est-elle ultime ou continuable ? Que faut-il ajouter à cette chaine pour la rendre ultime ?
Pour toute chaine continuableC⊂X, on note M(C) un majorant strict deC.
La fonctionC 7→M(C)ainsi définie est appelée une fonction de choix.
9. PourC ⊂X une chaine, on dit qu’un sous-ensembleI ⊂C en est un début si tous les éléments de C\I sont supérieurs à tous les éléments deI.
Si, de plus,I 6=C, ce début est dit strict.
Donner un exemple de début strict de la chaîne de la question 6..
Est-ce que∅ etC sont des débuts deC?
10. Une chaine C⊂X est dite bonne quand, pour tout début strictI deC,M(I)∈C etM(I) est le minimum de C\I.
Peut-on trouver une fonction de choix qui rend la chaîne de la question 6. bonne ?
Partie No2 : Le Lemme de Zorn Le but de cette partie est de prouver le Lemme de Zorn qui suit.
1
Si(X,4) est un ensemble ordonné, non vide et inductif alors(X,4)possède un élément maximal.
Lemme 1:Lemme de Zorn
Dans cette partie, X désigne un ensemble ordonné non vide.
1. SoientC1 etC2 deux bonnes chaines deX.
Nous allons montrer que l’une est le début de l’autre.
Notons C? ={x∈C1∩C2 / {y∈C1∪C2 / y≺x} ⊂C1∩C2}.
(a) Montrer queC? est un début à la fois des chaines C1 etC2.
(b) En raisonnant par l’absurde, montrer qu’il impossible que C? soit distinct à la fois de C1 et de C2.
(c) Conclure.
2. Dans cette question, on démontre queX admet une chaine ultime.
On noteC la réunion de toutes les bonnes chaines de X.
(a) Montrer queC existe et est non vide.
(b) Montrer queC est une chaine.
(c) Montrer queC est une bonne chaine.
(d) Montrer queC est ultime.
3. Montrer le Lemme de Zorn.
Partie No3 : Théorèmes de la base incomplète et de la base extraite.
1. On suppose donnés E un espace vectoriel1 et(ei)i∈I une famille libre deE.
On noteL l’ensemble des familles libres de vecteurs deE.
Enfin, on poseX ={Y ∈L /(ei)i∈I⊂Y}.
(a) Montrer que(X,⊂) est un ensemble ordonné.
(b) Montrer que(X,⊂) est inductif.
(c) En déduire que (X,⊂) possède un élément maximal.
(d) Enoncer et démontrer le théorème de la base incomplète.
2. Enoncer et démontrer le théorème de la base extraite.
* * * FIN DU SUJET * * *
1. Attention, En’est pas supposé de dimension finie à priori.
2
