Exercice 60 page 155
Dans le plan complexe ; déterminer géométriquement l’ensemble des pointsM d’affixez,z6= 2itelle que : 1. z+ 1
z−2i soit un réel 2. z+ 1
z−2i soit un imaginaire pur
1. • Méthode utilisant l’écriture algébrique Si on écrit z=x+iy, siz6= 2ialors
z+ 1
z−2i =(x+ 1) +iy
x+i(y−2) = ((x+ 1) +iy)(x−i(y−2))
(x+i(y−2))(x−i(y−2)) = (x(x+ 1) +y(y−2)) +i(−(x+ 1)(y−2) +yx)
(x2+ (y−2)2) =
x(x+ 1) +y(y−2)
(x2+ (y−2)2) +i−(x+ 1)(y−2) +yx (x2+ (y−2)2) On a donc z+ 1
z−2i réel ssiIm
z+ 1 z−2i
= 0ssi −(x+ 1)(y−2) +yx
(x2+ (y−2)2) = 0ssi−(x+ 1)(y−2) +yx= 0ssi 2x−y+ 2 = 0ssiy= 2x+ 2.
DoncM appartient à la droite d’équation y= 2x+ 2.
Soit A le point d’affixe zA = 2i, c’est à dire de coordonnées (0; 2); alors les coordonnées de A vérifient y= 2x+ 2.
En conclusion z+ 1
z−2i est un réel ssi M appartient à la droite d’équation y = 2x+ 2privée du point de coordonnées (0; 2).
• Méthode utilisant l’interprétation géométrique SoitAle point d’affixezA= 2i, etB le point de coordonnées−1.
Pour z6=zA, on a z+ 1
z−2i réel ssi z+ 1
z−2i = 0 ou z6=zB et arg
z+ 1 z−2i
= 0 [π].
On a z+ 1
z−2i = 0ssiz=−1 =zB On a z6=zB et arg
z+ 1 z−2i
= 0 [π]ssiarg
z−zB z−zA
= 0 [π]ssi−−→
AM;−−→
BM
= 0 [π]
ssi−−→
M A;−−→
M B
= 0 [π] ssiM appartient à la droite(AB)privée deA et deB.
En conclusion, z+ 1
z−2i est un réel ssiM appartient à la droite(AB)privée deA.
• Remarque : il s’agit bien de la même droite.
2. • Méthode utilisant l’écriture algébrique
Si on écrit z=x+iy, siz6= 2ialors d’après les calculs précédents, z+ 1
z−2i =x(x+ 1) +y(y−2)
(x2+ (y−2)2) +i−(x+ 1)(y−2) +yx (x2+ (y−2)2) On a donc z+ 1
z−2i est un imaginaire pur ssiRe
z+ 1 z−2i
= 0ssi x(x+ 1) +y(y−2) (x2+ (y−2)2) = 0 ssix(x+ 1) +y(y−2) = 0ssix2+x+y2−2y= 0ssi
x+1
2 2
−1
4+ (y−1)2−1 = 0 ssi
x+1
2 2
+ (y−1)2= 5 4
DoncM appartient au cercle de centre Ω −1
2 ; 1
de rayon
√5 2 .
Soit A le point d’affixe zA = 2i, c’est à dire de coordonnées (0; 2); alors les coordonnées de A vérifient
x+1 2
2
+ (y−1)2= 5 4.
En conclusion, z+ 1
z−2i est un réel ssiM appartient au cercle de centreΩ −1
2 ; 1
de rayon
√5
2 , privé de A.
• Méthode utilisant l’interprétation géométrique SoitAle point d’affixezA= 2i, etB le point de coordonnées−1.
Pour z6=zA, on a z+ 1
z−2i imaginaire pur ssi z+ 1
z−2i = 0 ou z6=zB etarg
z+ 1 z−2i
=π 2 [π].
On a z+ 1
z−2i = 0ssiz=−1 =zB On a z 6= zB et arg
z+ 1 z−2i
= π
2 [π] ssi arg
z−zB z−zA
= π
2 [π] ssi −−→
AM;−−→
BM
= π
2 [π] ssi
−−→
M A;−−→
M B
= π
2 [π]ssiM appartient au cercle de diamètre[AB] privé deAet deB. En conclusion, z+ 1
z−2i est un imaginaire pur ssi M appartient au cercle de diamètre[AB] privé deA.
• Remarque : il s’agit bien du même cercle.
