Cercles en homoth´ etie
On donne un cercle fixe Γ0 et 2 points du plan A et A0 par lesquels passe un cercle variable Γ1.
Lieu des centres d’homoth´etie liantΓ0 etΓ1.
SoientB1 etB2les points deΓ1 situ´es sur la m´ediatrice deAA0, etC1 etC2
ceux de Γ0situ´es sur le diam`etre parall`ele `aB1B2.
B1etB2sont li´es parHB1×HB2=HA×HA0. Les droitesB1C1etB2C2
sont donc en homographie. Leur intersection X est le centre de l’homoth´etie
”externe” entre les 2 cercles. Il d´ecrit une conique passant parC1 etC2. Les droitesB1C2etB2C1sont aussi en homographie. Leur intersectionX0est le centre de l’homoth´etie ”interne” entre les 2 cercles. Il d´ecrit l’arc compl´ementaire de la conique pr´ec´edente, parce que la relation homographique est la mˆeme : avec un rep`ere orthonorm´e centr´e en O o`u OC1 d´efinit l’axe Oy, (1 : b) les coordonn´ees de H, r le rayon de Γ0, a = HA, z = HB1 et z0 = a2
z , les pentes des droites sont
(b−r) +z et(b+r)−z0dans un cas,
1
(b+r) +z et(b−r)−z0dans l’autre, c`ad un ´echange entrez et−z0. Si AA0 est plus grand que le diam`etre deΓ0, Γ1 est toujours plus grand que Γ0. Le lieu n’a pas de point `a l’infini: c’est une ellipse.
SiAA0est ´egal au diam`etre deΓ0, le lieu a un point `a l’infini: c’est une parabole.
SiAA0est plus petit que le diam`etre deΓ0, il existe 2 positions deΓ1sym´etriques par rapport `aAA0o`uΓ1a le mˆeme diam`etre queΓ0. Le lieu a 2 points `a l’infini:
c’est une hyperbole.
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