Cours de math´ematiques
Homoth´ eties
D´efinition. Soit I un point du plan (ou de l’espace) et k un nombre r´eel non nul, on appelle homoth´etiede centreI et de rapportk la transformation qui `a tout pointM du plan (ou de l’espace) associe le point M′ d´efini par :
−−→IM′ =k−−→
IM
Exemples. On consid`ere un segment[AB]de longueur 4 cm, contruire le pointB1 image du pointB par l’homoth´etie de centreA et de rapport 32 ainsi que le pointB2 image du pointB par l’homoth´etie de centre A et de rapport −12.
A B B1
B2
Cas particuliers. Si k = 1 l’homoth´etie est la transformation identit´e, si k = −1 l’homoth´etie est une sym´etrie centrale de centreI.
Propri´et´e. Si le point M′ est l’image d’un point M par une homoth´etie de centreI alors les points I, M et M′ sont align´es.
D´emonstration. D’apr`es la d´efinition on a−−→
IM′ =k−−→
IM donc les vecteurs−−→
IM′ et−−→
IM sont colin´eaires, les points I,M et M′ sont donc align´es.
Propri´et´e. Une homoth´etie de rapport diff´erent de 1 admet pour seul point invariant son centre.
D´emonstration. Le point M est invariant par l’homoth´etie de centre I et de rapportk si son image M′ est le point M lui-mˆeme. On a donc −−→
IM = k−−→
IM soit (1−k)−−→
IM = −→
0 . Comme k 6= 1, cette
´egalit´e ´equivaut `a −−→ IM =−→
0 soit M =I.
Th´eor`eme fondamental des homoth´eties. On consid`ere une homoth´etie de centreI et de rapport k6= 0 ainsi que deux points M et M d’images respectives M′ et N′, alors :
−−−→M′N′ =k−−→
M N
D´emonstration. On utilise la d´efinition des pointsM′ etN′ , −−→
IM′ =k−−→
IM et −−→
IN′ =k−→
IN d’o`u :
−−−→M′N′ =−−→
M′I+−−→
IN′ =−−−→
IM′+−−→
IN′ =−k−−→
IM +k−→
IN =k−−→
M I +k−→
IN =k(−−→
M I +−→
IN) =k−−→
M N
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Cours de math´ematiques Homoth´eties
Th´eor`eme 1. Les homoth´eties conservent les barycentres et donc en particulier les milieux et centres de gravit´e.
D´emonstration. On consid`ere une homoth´etie de rapport k et G = bar{(A;α),(B;β),(C;γ)}, on noteG′,A′,B′ etC′ les images respectives des points G, A, B etC par l’homoth´etie de rapport k.
Alors :
α−→
GA+β−−→
GB+γ−→
GC = −→ 0 k×(α−→
GA+β−−→
GB+γ−→
GC) = −→ 0 α(k−→
GA) +β(k−−→
GB) +γ(k−→
GC) = −→ 0 α−−→
G′A′+β−−→
G′B′+γ−−→
G′C′ = −→ 0
DoncG′ =bar{(A′;α),(B′;β),(C′;γ)}.
Th´eor`eme 2. Les homoth´eties conservent les angles orient´es et donc en particulier l’alignement, le parall´elisme et l’orthogonalit´e.
D´emonstration. On consid`ere une homoth´etie de rapport k 6= 0 et trois points A, B et C d’images respectives A′, B′ et C′.
Si k >0 alors (−→
AB,−→
AC) = (k−→
AB, k−→
AC)[2π] = (−−→
A′B′,−−→
A′C′)[2π].
Si k <0 alors (−→
AB,−→
AC) = (k−→
AB,−→
AC) +π[2π] = (k−→
AB, k−→
AC) +π+π[2π] = (−−→
A′B′,−−→
A′C′)[2π].
Th´eor`eme 3. Une homoth´etie de rapport k multiplie les longueurs par |k|.
D´emonstration. On consid`ere une homoth´etie de rapport k 6= 0 ainsi que deux points M et M d’images respectives M′ etN′, alors−−−→
M′N′ =k−−→
M N d’o`uM′N′ =|k| ×M N.
Propri´et´es. – L’image d’une droite D par une homoth´etie est une droite parall`ele `a D.
– L’image d’un plan P par une homoth´etie est un plan parall`ele `a P.
– L’image d’un cercle de centre O et de rayon R par une homoth´etie de rapport k est un cercle de rayon |k| ×R dont le centre est l’image O′ du point O par cette homoth´etie.
– L’image d’une sph`ere de centreO et de rayonRpar une homoth´etie de rapportk est une sph`ere de rayon |k| ×R dont le centre est l’image O′ du point O par cette homoth´etie.
D´emonstration. La d´emonstration (admise) utilise les th´eor`emes 1,2 et 3.
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