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DOCUMENT 12

Transformations z → az + b, a 6= 0. Applications.

On a déjà déterminé l’interprétation géométrique des applications z → z + b et z → az.

Dans ce document on va étudier plus généralement les application z → az + b, a 6= 0, ce qui permet d’introduire à partir des nombres complexes les similitudes planes directes.

On suppose connu la structure de plan affine euclidien de C.

1. Généralités sur les transformations z → az + b, a 6= 0.

Pour tout couple (a, b) de nombres complexes, avec a 6= 0, on désigne par f_a,b l’application de C dans C définie par fa,b(z) = az + b. Si P est un plan affine euclidien (orienté si nécessaire) muni d’un repère orthonormé (direct si nécessaire) (O, ~u, ~v), on note F_a,bl’application de P dans P qui au point M d’affixe z fait correspondre le point F_a,b(M ) d’affixe f_a,b(z).

Pour tout couple (z1, z2) de nombres complexes,

f_a,b(z₁) − f_a,b(z₂) = a(z₁− z₂), |f_a,b(z₁) − f_a,b(z₂)| = |a||z₁− z₂|

ce qui montre que l’application f_a,b est affine, injective et multiplie les distances par |a|. Il en est de mˆeme pour les applications F_a,b.

Pour tout z ∈ C, fa,b(z) = z⁰ ´equivaut `a z⁰ = (1/a)(z − b) et donc fa,b est bijective avec f_a,b⁻¹= f1

a,^−b_a .

Considèrons maintenant deux éléments (a, b) et (c, d) de C^∗× C. On vérifie que fa,b◦ f_c,d= f_ac,ad+b d’où la conclusion :

Proposition 12.1. L’ensemble Σ = {fa,b|(a, b) ∈ C^∗× C} est un sous-groupe du groupe des bijections de C dans C et Σ(P ) = {Fa,b|(a, b) ∈ C^∗× C} est un sous-groupe du groupe des bijections de P dans P . Tout ´el´ement fa,b ou Fa,bde ces sous-groupes multiplie les distances par

|a|.

Points fixes de f_a,b.

On a f_a,b(z) = z si et seulement si (1 − a)z = b donc

• si a 6= 1, f_a,bposs`ede un unique point fixe z₀= b 1 − a,

• si a = 1, f_a,b ne poss`ede aucun point fixe si b 6= 0 et tout point est fixe si b = 0 (fa,b

est alors l’application identique de C).

2. Propriétés géométriques des applications z → az + b, a 6= 0.

Nous allons maintenant étudier plus précisemment les propriétés géométriques des applications f_a,b en commen¸cant par deux cas particuliers remarquables, a ∈ R^∗et |a| = 1.

fa,bavec a ∈ R^∗

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130 12. TRANSFORMATIONS z → az + b, a 6= 0. APPLICATIONS

On a déjà remarqué que f1,0 est l’application identique de C et, pour b 6= 0, f1,b est la translation de C définie par b. De même, F1,b est la translation de P définie par le vecteur qui est l’image de b. Toute translation de P est de la forme F1,b.

Si a 6= 1 alors z₀ = b

1 − a est l’unique point fixe de f_a,bet

fa,b(z) − z0= fa,b(z) − fa,b(z0) = a(z − z0) (1)

ce qui montre que f_a,b , a ∈ R^∗, a 6= 1, est l’homoth´etie de C de centre z0 et de rapport a.

Réciproquement, si h est l’homothétie de C de centre z0 et de rapport k 6= 1 alors, pour tout z ∈ C, h(z) − z0 = k(z − z0) d’où h(z) = kz + (1 − k)z0 et donc h = f_k,(1−k)z₀.

Dans le plan P , si les points M et M0 sont d’affixes z et z0 alors l’égalité (1) équivaut à

−−−−−−−−→

M0Fa,b(M ) = aM~0M et Fa,b est l’homothétie de centre M0, image de z0, et de rapport a. Toute homothétie de P est de la forme F_a,b, a ∈ R^∗. On a donc démontré :

Proposition 12.2. L’ensemble {fa,b|(a, b) ∈ R^∗×C} est le groupe des homoth´eties-translations de l’espace affine C et {Fa,b|(a, b) ∈ R^∗×C} est le groupe des homoth´eties-translations de l’espace affine P .

Notons que l’application f_a,b → F_a,b est un isomorphisme entre le groupe des homoth´eties- translations de C et celui de P .

fa,b avec |a| = 1

On sait déjà que si a = 1, f_a,b est la translation définie par le vecteur b. Si a 6= 1 alors f_a,b possède un unique point fixe z0et f_a,b(z) − z0 = f_a,b(z) − f_a,b(z0) = a(z − z0) d’où |f_a,b(z) − z0| =

|z − z₀| et argfa,b(z) − (z0)

z − z₀ = arg a ce qui montre que f_a,best la rotation de centre z₀ et dont la mesure de l’angle est arg a. On peut aussi prouver cela en disant que fa,bconserve les distances du plan affine C : c’est donc un déplacement ou un antidéplacement. Comme fa,b possède un unique point fixe, c’est une rotation (car les antidéplacements d’un plan affine ont soit aucun point fixe, soit un ensemble de points fixes formant une droite et les translations n’ont aucun point fixe).

R´eciproquement, soit r la rotation de C de centre z0 et dont la mesure de l’angle est θ + 2πZ.

Si z 6= z0 alors |r(z) − z0

z − z0

| = 1 et arg r(z) − z0

z − z0 = θ + 2πZ d’o`u, en posant a = e^iθ, r(z) − z0

z − z0

= a et r(z) = az + z₀(1 − a) = f_a,z₀_(1−a)(z) d’o`u r = f_a,z₀_(1−a).

En utilisant l’interpr´etation dans P de la relation f_a,b(z) − z₀= a(z − z₀) et l’´etude des f_a,b avec a = 1 on a donc :

Proposition 12.3. L’ensemble {fa,b|(a, b) ∈ C^∗×C, |a| = 1} est le groupe des d´eplacements du plan affine C et {Fa,b|(a, b) ∈ C^∗× C, |a| = 1} est le groupe des d´eplacements du plan affine P .

f_a,b: le cas général En général,

az + b = |a|( a

|a|z + b

|a|)

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et donc

f_a,b= f_|a|,0◦ f a

|a|, b

|a]

L’application f_a,b est donc composé d’une homothétie de rapport > 0 et d’un déplacement.

C’est en particulier une application affine. Le paragraphe suivant est consacré à l’étude des applications de ce type.

3. Les similitudes directes

Définition 12.1. On appelle similitude directe d’un espace affine euclidien E , toute application de E dans E composée d’un déplacement et d’une homothétie de rapport > 0.

Si une similitude directe est de la forme s = h ◦ r, où h est une homothétie de rapport λ > 0, r un déplacement, alors s est une application affine (car composée de deux applications affines) et s multiplie les distances par λ. Ce nombre réel strictement positif est appelé le rapport de la similitude s. Si s = h⁰◦ r⁰ ou s = r⁰◦ h⁰, où h⁰ est une homothétie de rapport > 0 et r⁰ est un déplacement alors le rapport de l’homothétie h⁰ est λ.

D´esignons par Sim⁺(E) l’ensemble des similitudes directes de E.

Proposition 12.4. On a Sim⁺(C) = {fa,b|(a, b) ∈ C^∗× C} et Sim⁺(C) est un sous-groupe du groupe affine de C.

On a vu que Σ ⊂ Sim⁺(C). Soit s ∈ Sim⁺(C). Par définition, s = h ◦ r où h est une homothétie de rapport > 0 et r est un déplacement. On a montré que h ∈ Σ et r ∈ Σ d’où s ∈ Σ car Σ est un groupe. Finalement Σ = Sim⁺(C). La proposition 12.1 entraine que Sim⁺(C) est un sous-groupe du groupe des bijections affines de C.

Plus g´en´eralement, Sim⁺(P ) est un sous-groupe des bijections affines du plan euclidien P . Proposition 12.5. (Classification des similitudes directes de C).

Soit f_a,b∈ Sim⁺(C).

(1) |a| = 1.

• a = 1 : l’application f_1,b est la translation de vecteur b.

• a 6= 1 : L’application f_a,b est la rotation de centre z₀ = b

1 − a et dont la mesure de l’angle est arg a.

(2) |a| 6= 1

• a ∈ R^∗+ : l’application f_a,b est l’homoth´etie de centre z₀ = b

1 − a et de rapport positif a.

• a 6∈ R^∗+ : l’application f_a,b est compos´e dans un ordre quelconque de l’homoth´etie h de centre z0= b

1 − a, de rapport |a| > 0 et de la rotation r de centre z0 et dont la mesure de l’angle est arg a. Cette décomposition est unique : si f_a,b= r₁◦ h₁ = h1◦ r₁ où h1 est une homothétie de rapport > 0 et r1 une rotation alors r = r1 et h = h₁.

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Preuve. Un d´emonstration est n´ecessire seulement dans le cas |a| 6= 1 et a 6∈ R^∗+. Comme a 6= 1 le point z₀ est l’unique point fixe de f_a,b et

az + b = az + b + z0− az₀− b = a(z − z₀) + z0

= a

|a|[|a|(z − z₀) + z₀− z₀] + z₀.

L’application h définie par h(z) = |a|(z − z0) + z0 est l’homothétie de centre z0 et de rapport strictement positif |a| et l’application r définie par r(z) = a

|a|(z − z₀) + z₀ est la rotation de centre z₀ et dont la mesure de l’angle est arg a

|a| = arg a. Il est clair que f_a,b = r ◦ h. Pour

´

etablir r ◦ h = h ◦ r, montrons d’abord un lemme qui a son propre int´erˆet.

Lemme 12.1. Soit ρ une rotation de centre z1, dont la mesure de l’angle est arg α et k une homoth´etie de centre z₂, de rapport λ. On a ρ ◦ k = k ◦ ρ si et seulement si on est dans l’un des cas suivants :

• z₁ = z2 (ρ et k ont le mˆeme centre) ;

• α = 1 (ρ est l’application identique) ;

• λ = 1 (k est l’application identique).

Preuve. On a k(z) = λ(z − z₂) + z₂ et, en supposant |α| = 1, ρ(z) = α(z − z₁) + z₁. L’égalité ρ ◦ k = k ◦ ρ équivaut à :

α(λ(z − z₂) + z₂− z₁) + z₁ = λ(α(z − z₁) + z₁− z₂) + z₂ ce qui équivaut encore à (z1− z₂)(λ − 1)(α − 1) = 0 d’où le résultat cherché.

Revenons `a la preuve de la proposition. Le lemme entraine que h ◦ r = r ◦ h car h et r ont le mˆeme centre.

Comme f_a,b = r₁◦ h₁ = h₁◦ r₁, h₁ et r₁ ont le même centre. Ce centre étant fixe par f_a,b, c’est z0. L’égalité fa,b = r1◦ h₁ entraine que le rapport de h1 est |a| et donc h1 = h. L’égalité h ◦ r = h ◦ r₁ entraine r = r₁.

4. Applications

4.1. Applications aux similitudes directes d’un plan affine euclidien. On a défini les similitudes d’un plan affine euclidien P comme étant les applications affines composées d’un déplacement et d’une homothétie de rapport > 0. Ces similitudes sont les applications F_a,b, (a, b) ∈ C^∗× C, et celles qui sont distinctes d’une translation ont un unique point fixe d’affixe z0 = b

1 − a appelé leur centre. A l’aide de la proposition 12.5, on obtient un théorème de décomposition de ces similitudes.

Proposition 12.6. Soit s une similitude directe d’un plan affine euclidien P de rapport λ. Si s n’est pas une translation alors s poss`ede un unique point fixe Ω appel´e son centre.

L’application s est une rotation ou une homothétie de rapport > 0 (égal à λ) ou est composé dans un ordre quelconque d’une rotation r de centre Ω et d’une homothétie h de centre Ω et de rapport λ. Dans ce cas, si l’on a s = h₁◦ r₁= r₁◦ h₁, où h₁ est une homothétie de rapport > 0 et r1 une rotation alors r = r1 et h = h1.

L’angle de la rotation r de la proposition précédente est appelé l’angle de la similitude s. Si le plan est orienté et si le repère (O, ~u, ~v) est direct alors la mesure de l’angle de s = Fa,b

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est arg a. Notons qu’une similitude directe, qui n’est pas une translation, est entièrement déterminée par son rapport, son centre et son angle.

Remarque. Soit h une homothétie de rapport λ et de centre Ω. La transformation h est une similitude directe mais, avec notre termininologie, son rapport de similitude est |λ| et, si λ < 0, sa décomposition donnée par la proposition précédente est h = h⁰◦ r = r ◦ h⁰ où h⁰ est l’

homoth´etie de rapport positif −λ, de centre Ω, et r la rotation de centre Ω et dont une mesure de l’angle est π + 2πZ (r est la sym´etrie centrale de centre Ω).

Exercice. SoitA, B, A⁰, B⁰ quatre points d’un plan affine euclidien avec A 6= B et A⁰ 6= B⁰. Montrer qu’il existe une unique similitude directe s de P telle que s(A) = A⁰ et s(B) = B⁰. Montrer que si A 6= A⁰, B 6= B⁰ et si s poss`ede un centre alors c’est aussi le centre de la similitude σ telle que σ(A) = B et σ(A⁰) = B⁰.

Solution. Soit (O, ~u, ~v) une repère orthonormé de P et a, b, a⁰, b⁰ les affixes de A, B, A⁰, B⁰. Il existe une similitude directe s de P telle que s(A) = A⁰ et s(B) = B⁰ si et seulement si il existe (α, β) ∈ C^∗× C tel que fα,β(a) = a⁰ et fα,β(b) = b⁰. On doit donc résoudre le système :

xa + y = a⁰ xb + y = b⁰

Comme a 6= b, ce syst`eme poss`ede une unique solution α = a⁰− b⁰

a − b, β = ab⁰− ba⁰

a − b . De A⁰ 6= B⁰, on déduit α 6= 0 et f_α,β est l’unique similitude directe de C tel que fα,β(a) = a⁰ et f_α,β(b) = b⁰. Il en résulte que s = Fα,β est l’unique similitude directe de P telle que s(A) = A⁰ et s(B) = B⁰. La similitude f_α,β possède un point fixe si et seulement si α 6= 1 ce qui équivaut à ~AB 6=A~⁰B⁰. Supposons cette condition réalisée. Le point fixe de f_α,β est z₀ = α

1 − β = ab⁰− ba⁰ (a − b) − (a⁰− b⁰). Si ~AB 6= A~⁰B⁰ alors AA~ ⁰ 6= BB~ ⁰ et la similitude directe σ telle que σ(A) = B et σ(A⁰) = B⁰ poss`ede un centre d’affixe z₁ = ab⁰− a⁰b

(a − a⁰) − (b − b⁰) (on permute a⁰ et b dans z₀). On a z₀ = z₁ et donc s et σ ont le mˆeme centre.

4.2. Les similitudes indirectes (ou négatives). On a vu que les similitudes directes de C multiplient les distances par une constante appelée leur rapport. On peut plus généralement considérer l’ensemble S des applications f de C dans C pour lesquelles il existe une constante k > 0 (dépendant de f ) telle que

|f (z) − f (z⁰)| = k|z − z⁰|.

On a Sim⁺(C) ⊂ S. Soit f un ´el´ement de S. L’application g = f ◦ f¹

k,0 est une isom´etrie affine donc f = g ◦ fk,0 est une application affine. On distingue deux cas suivant la nature de l’isom´etrie g.

• g est un d´eplacement et f = g ◦ f_k,0 entraine que f est une similitude directe. Il existe (a, b) ∈ C^∗× C tel que f = fa,b.

• g est un antidéplacement. Soit γ l’application de C dans C définie par γ(z) = z. On sait que γ est la réflexion par rapport à l’axe réel. L’application g ◦ γ est donc un déplacement: il existe (a, b) ∈ C^∗ × C avec |a| = 1 tel que g ◦ γ(z) = az + b d’où g(z) = az + b. Finalement f (z) = g ◦ fk,0(z) = akz + b. L’application f est donc du

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type z → αz + β avec (α, β) ∈ C^∗× C. Comme il est clair que toute application de ce type est dans S, on a montr´e :

S = {z → az + b|(a, b) ∈ C^∗× C} ∪ {z → az + b|(a, b) ∈ C^∗× C}.

Cette étude nous conduit à la définition suivante.

Définition 12.2. On appelle similitude indirecte d’un espace affine euclidien E toute application de E dans E composée d’un antidéplacement et d’une homothétie de rapport > 0.

On désigne par Sim⁻(E) l’ensemble des similitudes indirectes de E et on pose Sim(E) = Sim⁺(E) ∪ Sim⁻(E). Un élément de Sim(E) est appelé une similitude de E. C’est une application affine composée d’une isométrie affine et d’une homothétie de rapport > 0.

A partir de l’étude précédente on voit que S = Sim(C) et Sim⁻(C) = {z → az + b|(a, b) ∈ C^∗× C}.

Remarque. Il y a d’autres définitions équivalentes des similitudes d’un espace affine euclidien E. On peut dire que ce sont les applications f : E → E pour lesquelles il existe k > 0 vérifiant, pour tout (M, N ) ∈ E², ||f (M )f (N )|| = k|| ~~ M N ||. On peut aussi dire que ce sont les applications f : E → E qui conservent le rapport des distances : ||f (A)f (B)||

||AB|| = ||f (C)f (D)||

||CD|

pour tous points A, B, C, D avec A 6= B et C 6= D. Dans le cas d’un plan affine euclidien, les similitudes directes peuvent alors être définies comme étant celles qui en plus conservent les angles orientés de vecteurs.

Exercice. SoitA, B, A⁰, B⁰ quatre points d’un plan affine euclidien avec A 6= B et A⁰ 6= B⁰. Montrer qu’il existe une unique similitude indirecte s de P telle que s(A) = A⁰ et s(B) = B⁰.

5. Compl´ements

5.1. Etude des applications g_a,b : z 7→ az + b, a 6= 0.. Dans ce paragraphe on suppose connu les d´eplacements et les antid´eplacements d’un plan affine euclidien et donc en particulier de C.

Toute application g_a,b est une bijection affine composée d’un antidéplacement et d’une ho- mothéties de rapprt positif. Plus précisément, l’application g_a,b est composée des quatre applications g₁ : z 7→ |a|z, g₂: z 7→ a

|a|z, γ : z 7→ z et t_b: z 7→ z + b.

On a −→g_a,b(z) = az et −→g_a,b= g₁◦ g₂◦ γ. L’application g₂◦ γ, composée d’une rotation et d’une symétrie, est la symétrie s⁻^→_∆ par rapport à une droite−→

∆. Posons a = e^iθ. La mesure de l ’angle de −→

∆ avec l’axe r´eel, qui est aussi l’axe de la sym´etrie γ, est θ

2+ πZ ¹.

L’application g⁻_a,b^→= g1◦ g₂◦ γ est donc composée dans un ordre quelconque de l’homothétie de rapport |a| et de la symétrie −s→_∆. Cela termine l’étude si b = 0 car alors g_a,b= −→g_a,b.

Pour pousuivre l’étude dans le cas général et la ramener au cas b = 0, cherchons les points fixes de g_a,b. Le point z0 est fixe si et seulement si az0+ b = z0 ce qui équivaut à az0+ b = z0 1Soit sD et sD⁰ deux symétries par rapport aux droites D et D⁰. Si mes(\D, D⁰) = α + πZ, α 6∈ πZ, alors le composé r = sD◦ sD⁰ est une rotation dont la mesure de l’angle est 2α + 2πZ. Remarquons que l’on a aussi sD= r ◦ sD⁰.

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et az0+ b = z0. En multipliant cette dernière égalité par a, on a (1 − |a|²)z0 = b + ab d’où les deux cas :

• |a| 6= 1. On a z₀ = b + ab

1 − |a|² et on v´erifie que z0 est bien un point fixe. L’application g_a,b poss`ede un unique point fixe z₀.

• |a| = 1. Si b + ab 6= 0 alors g_a,b ne poss`ede aucun point fixe et si b + ab = 0 alors

g_a,b(b 2) = ab

2 + b = ab + b 2 + b

2 = b 2 et z₀ = b

2 est donc un point fixe. On verra qu’il n’est pas unique.

Dans les deux cas où g_a,bpossède un point fixe z₀ alors g_a,b− z₀ = a(z − z₀). Si l’on prend pour nouvelle origine du repère le point z0 alors, par rapport à ce nouveau repére, g_a,b s’interprète géométriquement ² par la composition de l’homothétie de centre z₀ et de rapport |a| avec la symétrie par rapport à la droite passant par z₀ et parallèle à−→

∆.

Si |a| = 1 et ab + b 6= 0 alors ga,b est une isométrie négative sans point fixe. C’est donc une pseudosymétrie qui se décompose sous la forme s_D ◦ t_c = t_c ◦ s_D où s_D est une réflexion par rapport à une droite D et t_c est une translation, le vecteur de translation appartenant à la direction de l’axe de la réflexion. Dans le cas |a| = 1, on a −→g_a,b = s⁻^→_∆ et la direction de D est donc−→

∆ . On a g_a,b(0) = b et donc b

2 ∈ ∆ (Faire une figure). Il en r´esulte que g_a,b(b 2) = b

2 + c c’est-`a-dire ab

2 + b = b

2+ c d’o`u c = ab + b 2 . R´esumons cela dans une proposition.

Proposition 12.7. Soit ga,b , 0 6= a = e^iθ, l’application de C dans C d´efinie par g_a,b(z) = az + b.

Cette application est une similitude indirecte du plan affine euclidien C dont la d´ecomposition canonique d´epend de |a| et ab + b.

• |a| 6= 1 . L’application g_a,b multiplie des distances par |a| et poss`ede un unique point fixe z0 = ab + b

1 − |a|². Elle est compos´ee de l’homoth´etie de centre z0 et de rapport 1 − |a|² avec la reflexion dont l’axe est la droite ∆ passant par le point b

2 et faisant avec l’axe r´eel un angle de mesure θ

2 + πZ.

• |a| = 1 . L’application g_a,b est un antid´eplacement.

2Lorsque l’on interprète géométriquement les nombres complexes par des points d’un plan affine euclidien P cette interprétation est liée au choix d’un repère de P . En particulier si P = C et si on considère le repère (z⁰, 1, i) alors l’affixe d’un point z est z − z0 et l’image du nombre complexe z est z + z0. Il n’y a que lorsque z0= 0 que l’affixe et l’image co¨ıncident.

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– ab + b 6= 0. L’application ga,b ne possède aucun point fixe et est la pseudosymétrie composée de la réflexion par rapport à la droite ∆ avec la translation définie par le vecteur ab + b

2 .

– ab + b = 0. L’application g_a,b est la r´eflexion par rapport `a la droite ∆.

Pour toute similitude indirecte g de C, il existe (a, b) ∈ C^∗× C tel que g(z) = az + b.

5.2. Les endomorphismes du R-espace vectoriel C. Soit f un endomorphisme du R- espace vectoriel C. Comme (1, i) forme une base, l’application f est entièrement déterminée par f (1) et f (i). Si z = x + iy, avec x, y ∈ R, alors

f (z) = xf (1) + yf (i) == z + z

2 f (1) +z − z

2i f (i) = (f (1)

2 +f (i)

2i )z + (f (1)

2 −f (i) 2i )z.

Si l’on pose a = f (1) 2 +f (i)

2i et b = f (1) 2 −f (i)

2i (Attention ! a et b ne sont pas conjugu´es) alors f (z) = az + bz

On montre facilement que l’écriture précédente est unique et que toute application de la forme z 7→ az + bz est R-linéaire.

La matrice M de l’endomorphisme f dans la base (1, i) est M =

<(a) + <(b) −=(a) + =(b)

=(a) + =(b) <(a) − <(b)

Il en r´esulte que la trace de f est T r(f ) = 2<(a) = a + a et le d´eterminant de f est det(f ) = (<(a) + <(b))(<(a) − <(b)) + (=(a) − =(b))(=(a) + =(b))

= <(a)²+ =(a)²− <(b)²− =(b)² = |a|²− |b|².

Soit f₁ : z 7→ az et f₂ : z 7→ bz. L’applications f₁ est une similitude directe vectorielle, l’application f2 est une similitude indirecte et f = f1 + f2. Tout endomorphisme d’un plan euclidien est donc la somme d’une similitude directe et d’une similitude indirecte.

Si l’on consid`ere maintenant la structure de plan affine euclidien sur C alors, pour toute application affine g de C dans C, il existe a, b, c uniques tels que

g(z) = az + bz + c . Remarques.

1) Il ne faut pas confondre les endomorphismes du R-espace vectoriel C et ceux du C-espace vectoriel C. Ce dernier ´etant de dimension 1, ses endomorphismes sont les applications z 7→ az, a ∈ C.

2) Les formes linéaires sur le R-espace vectoriel C sont les combinaisons linéaires à coefficients dans R des deux formes z 7→ <(z) et z 7→ =(z) qui constituent une base du dual de C (Ce sont les formes coordonnées.). Si f est une forme linéaire, il existe donc λ, µ ∈ R tels que

f (z) = λ<(z) + µ=(z) = λz + z

2 + µz − z 2i = (λ

2 + µ

2i)z + (λ 2 − µ

2i)z.

Si l’on pose α = λ 2 + µ

2i on a :

f (z) = αz + α z =< α|z > .

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(Cette formule est évidente si on connait l’expression générale d’une forme linéaire sur un espace euclidien.)

Toute application de ce type est une forme linéaire et cette formule est évidemment à rap- procher de l’équation complexe d’une droite.

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