L1 Alg`ebre Exos9: 20/11/09
G´ eom´ etrie complexe
1.
Calculer une homoth´ etie-translation
a) Calculer le centre et le rapport de l’homoth´etie z 7→πz+i.
b) Calculer la r´eciproque de l’homoth´etie de centre 1 +i et de rapport −e.
c) Calculer le centre de la compos´ee h◦t de l’homoth´etie h de rapport 2 et de centre 2−i avec la translation t de vecteur 3 + 4i.
d) Calculer le compos´e h◦h0 de l’homoth´etie h de rapport 3 et centre 2 avec l’ homoth´etie h0 de rapport 13 et centre 3i.
e) Calculer le compos´e h◦h0 de l’homoth´etie h de rapport 3 et centre 2 avec l’ homoth´etie h0 de rapport 2 et centre 3i.
2.
Calculer une rotation-translation
a) Calculer le centre et l’angle de la rotation z 7→(12 −i
√3
2 )z+i.
b) Calculer la r´eciproque de la rotation de centre 1 +i et d’angle 5π6 .
c) Calculer le centre de la compos´ee t◦r de la translation t de vecteur 4−3i avec la rotation r de centre 2 +i et d’angle −3π4 .
d) Calculer le compos´e r◦r0 de la rotation r de centre −i et d’angle −3π4 avec la rotation r0 de centre 3 et d’angle 3π4 .
e) Calculer le compos´e r ◦r0 de la rotation r de centre −i et d’angle 3π2 avec la rotation r0 de centre 3 et d’angle π3.
3.
Calculer une similitude-translation
a) Calculer le centre, le rapport et l’angle de la similitude z 7→(√
3−i)z+ 4.
b) Calculer la r´eciproque de la similitude de centre 1 +i, de rapport 2 et d’angle −π2.
c) Calculer le centre de la compos´ee t◦s de la translation t de vecteur 4−3i avec la similitude s de centre 2 +i de rapport 3 et d’angle 3π4 .
d) Calculer le compos´e r◦s de la rotation r de centre −i et d’angle −3π4 avec la similitude s de centre 3 de rapport 7 et d’angle 3π4 .
e) Pour quelle valeur du r´eel m la transformation z 7→iz+ 2i+m est-elle une sym´etrie?
