Universit´ e Claude Bernard Lyon 1

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L3 - Math´ ematiques pour l’enseignement – G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire 2015-2016 Contrˆ ole n

1 : 7 mars 2015

Dur´ ee : 1 heure 30

— Les documents, calculettes et t´ el´ ephones portables ne sont pas autoris´ es.

— Aucun point ne sera attribu´ e aux r´ eponses non justifi´ ees.

— On traitera les exercices dans l’ordre que l’on voudra et on pourra utiliser librement les r´ esultats d’un exercice dans un autre.

Exercice 1.

Soit E un espace affine de dimension 1 (c’est-` a-dire une droite) et soit f : E → E une application affine qui poss` ede deux points fixes distincts A et B . Que peut-on dire de f ?

On pourra par exemple choisir un rep` ere et travailler en coordonn´ ees.

Exercice 2. Projections et sym´ etries

On se place dans l’espace affine R

o` u l’on note (x, y, z) les coordonn´ ees.

1. Sur un dessin, placer les points

A

=

1

1 1

è

, A

=

−1

1 1

è

, A

=

1

−1 1

è

, A

=

−1

−1 1

è

,

A

=

1

1

−1

, A

=

−1

1

−1

, A

=

1

−1

−1

, A

=

−1

−1

−1

.

2. Soit D le sous-espace affine d´ efini par le syst` eme

(

2x − 2y + z = 1 x − y + 3z = 3.

(a) D´ eterminer une repr´ esentation param´ etrique de D.

(b) Quelle est la nature de D ? Repr´ esenter D sur le dessin pr´ ec´ edent.

3. Soit P le plan d’´ equation x + y = 0. On note p la projection sur P parall` element ` a D et s la sym´ etrie par rapport ` a P parall` element ` a D .

(a) Lesquels des points A

(0 6 j 6 7) appartiennent ` a P ? Repr´ esenter P sur le dessin pr´ ec´ edent.

(b) D´ eterminer les coordonn´ ees de l’image d’un point M = (x, y, z) par p.

(c) D´ eterminer les coordonn´ ees de l’image d’un point M = (x, y, z) par s.

4. Quelles sont les coordonn´ ees de l’image de M = (x, y, z) par la projection sur le plan d’´ equation z = 0 parall` element ` a l’axe (Oz) (contenant O et dirig´ e par le vecteur (0, 0, 1)).

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Exercice 3. Homoth´ eties-translations

Soit E un espace affine de dimension finie de direction − →

E . On appelle homoth´ etie-translation toute application de E dans E qui est une homoth´ etie ou une translation.

1. Soit f : E → E une application affine. Comment est d´ efinie l’application lin´ eaire associ´ ee ? 2. ´ Etant donn´ es un point A ∈ E et un r´ eel k ∈ R

, on note h

l’homoth´ etie de centre A et

de rapport k. ´ Etant donn´ e un vecteur v ∈ − →

E , on note t

la translation de vecteur v.

(a) Est-il possible d’avoir la relation h

= t

?

(b) Quelle est l’application lin´ eaire associ´ ee ` a h

? et ` a t

?

(c) Montrer que les bijections r´ eciproques h

et t

sont des homoth´ eties-translations.

3. On fixe un rep` ere (O, e

, . . . , e

) de E . En introduisant clairement les notations n´ ecessaires, d´ eterminer les coordonn´ ees de l’image d’un point par une homoth´ etie h

et par une translation t

.

4. On veut montrer que la compos´ ee de deux homoth´ eties-translations est une homoth´ etie- translation.

Dans chaque cas, on pourra au choix raisonner vectoriellement ou en coordonn´ ees.

(a) Soient A et A

deux points de E et k et k

deux r´ eels non nuls. Soit f = h

◦ h

. On suppose que kk

6= 1. Montrer que f admet un unique point fixe A

qui appartient

`

a la droite (AA

). Montrer que f = h

.

(b) Soient A et A

deux points de E et soit k un r´ eel non nul. Soit f = h

◦ h

. Montrer que f est une translation et pr´ eciser son vecteur.

(c) Soit A ∈ E , k ∈ R

, v ∈ − →

E . D´ eterminer h

◦ t

. (d) Identifier et traiter de mˆ eme les derniers cas.

5. (a) Soit A un point de E . On dit que s

= h

est une sym´ etrie centrale. Justifier ce terme en d´ eterminant deux sous-espaces affines F et G tels que s

est la sym´ etrie par rapport ` a F parall` element ` a G .

(b) Soient A

, . . . , A

des points de E . D´ eterminer la nature de s

◦ · · · ◦ s

. Commencer par les cas n = 1 et n = 2.

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