Universit´ e Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 - UE Math 2

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Universit´ e Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 - UE Math 2

CONTR ˆ OLE CONTINU NUM´ ERO 3 – Jeudi 24 avril 2014

R` eglement – L’´ epreuve dure 45 minutes.

Les calculatrices sont interdites. Il est admis de consulter les fiches distribu´ ees en cours et des notes personnelles qui tiennent sur une page recto-verso. Les t´ el´ ephones portables doivent ˆ etre ´ eteints.

Entre parenth` eses est indiqu´ e le bar` eme sur 20 points.

Exercice 1 [5 points] – Donner la partie principale du d´ eveloppement de Taylor ` a l’ordre 2 de la fonction

f (x, y) = ln(x + y

²

+ 1), au point (0, 0).

Exercice 2 [7 points] – Trouver les points critiques de la fonction

f (x, y) = x

²

(y

²

− 1) − 2y,

et d´ eterminer, si possible, s’ils sont des extrema locaux ou des points cols.

Exercice 3 [2 points] – Calculer la divergence du champ de vecteurs V ~ (ρ, θ, z) = ρz ~ e

_ρ

+ ρ

²

θ ~ e

_θ

+ θz ~ k.

Exercice 3 [5 points] – Calculer le rotationnel des deux champs de vecteurs U ~ (x, y, z) = 2xz ~i + z

³

~j + (x

²

− 2yz) ~ k

V ~ (x, y, z) = 2xz ~i − z

²

~j + (x

²

Universit´ e Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 - UE Math 2

Universit´ e Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 - UE Math 2

CONTR ˆ OLE CONTINU NUM´ ERO 3 – Jeudi 24 avril 2014

R` eglement – L’´ epreuve dure 45 minutes.

Les calculatrices sont interdites. Il est admis de consulter les fiches distribu´ ees en cours et des notes personnelles qui tiennent sur une page recto-verso. Les t´ el´ ephones portables doivent ˆ etre ´ eteints.

Entre parenth` eses est indiqu´ e le bar` eme sur 20 points.

Exercice 1 [5 points] – Donner la partie principale du d´ eveloppement de Taylor ` a l’ordre 2 de la fonction

f (x, y) = ln(x + y

+ 1), au point (0, 0).

Exercice 2 [7 points] – Trouver les points critiques de la fonction

f (x, y) = x

(y

− 1) − 2y,

et d´ eterminer, si possible, s’ils sont des extrema locaux ou des points cols.

Exercice 3 [2 points] – Calculer la divergence du champ de vecteurs V ~ (ρ, θ, z) = ρz ~ e

+ ρ

θ ~ e

+ θz ~ k.

Exercice 3 [5 points] – Calculer le rotationnel des deux champs de vecteurs U ~ (x, y, z) = 2xz ~i + z

~j + (x

− 2yz) ~ k

V ~ (x, y, z) = 2xz ~i − z

~j + (x

− 2yz) ~ k.

Lequel des deux est-il un champ gradient ?

Pour celui-ci, trouver le potentiel scalaire f (x, y, z) (au sens math´ ematique, avec signe +).

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