Universit´ e Claude Bernard Lyon 1

Universit´ e Claude Bernard Lyon 1

L3 - Math´ ematiques pour l’enseignement – G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire 2014-2015 Contrˆ ole du 16 mars 2015

Dur´ ee : 2 heures

— Les documents, calculettes et t´ el´ ephones portables ne sont pas autoris´ es.

— Aucun point ne sera attribu´ e aux r´ eponses non justifi´ ees.

— On traitera les exercices dans l’ordre que l’on voudra et on pourra utiliser librement les r´ esultats d’un exercice dans un autre.

Exercice 1

Soit E un espace affine et soit R = (O, e 1 , e 2 , e 3 ) un rep` ere de E . Soient a, b, c, d, a ⁰ , b ⁰ , c ⁰ , d ⁰ des r´ eels, on suppose que

bc ⁰ − cb ⁰ 6= 0.

Soit F l’ensemble des points M de E dont les coordonn´ ees (x, y, z) sont solutions du syst` eme ( ax + by + cz = d

a ⁰ x + b ⁰ y + c ⁰ z = d ⁰ . 1. Quelle est la nature de l’ensemble F ?

2. Donner, en justifiant la r´ eponse, un syst` eme d’´ equations de la direction de F . Exercice 2

Dans l’espace affine R ³ , on consid` ere les points suivants :

O = Ö 0

0 0

è

, A = Ö 2

0 0

è

, B = Ö 0

2 0

è

, C = Ö 0

0 2

è

, D = Ö 2

2 0

è

, E = Ö 0

2 2

è

.

1. Soient A ⁰ , B ⁰ , C ⁰ les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB]. Soient A ₁ , B ₁ , C ₁ les milieux respectifs de [OA], [OB], [OC].

(a) Faire un dessin.

(b) Donner des repr´ esentations param´ etriques des droites (A 1 A ⁰ ) et (B 1 B ⁰ ).

(c) Montrer que les droites (A 1 A ⁰ ) et (B 1 B ⁰ ) se coupent en un point K.

(d) Justifier sans calcul suppl´ ementaire que les droites (A 1 A ⁰ ) et (C 1 C ⁰ ) se coupent en K.

(e) D´ emontrer que dans tout t´ etra` edre non aplati, les droites passant par les milieu des arˆ etes oppos´ ees sont concourantes.

On vient de le d´ emontrer pour le t´ etra` edre OABC .

2. Soit p la projection sur (BCD) parall` element ` a la droite (OE).

(a) Faire un dessin (placer les points (2, 0, 2) et (2, 2, 2) pour obtenir un

cube

).

(b) Donner une ´ equation du plan (BCD) et un vecteur directeur de (OE).

(c) D´ eterminer les coordonn´ ees de l’image par p d’un point M = (x, y, z) de R ³ . (d) D´ eterminer l’image de la droite (AD) par p.

(e) D´ eterminer l’image r´ eciproque du point D par p, puis celle de la droite (AD).

1

Exercice 3

Dans un plan affine, soit ABC un triangle non aplati. Soit P un point de la droite (BC) distinct de B et C, soit Q un point de (CA) distinct de C et A et soit R un point de (AB) distinct de A et B .

1. Soient k et ` deux r´ eels non nuls. Notons h <sub>1</sub> l’homoth´ etie de centre P et de rapport k et h 2 l’homoth´ etie de centre Q et de rapport `. Soit M un point et M ⁰ = h 1 ◦ h 2 (M).

(a) Calculer − −− →

P M ⁰ en fonction de −−→

P M, − − →

P Q, k et `.

(b) On suppose que k` 6= 1. D´ emontrer que h <sub>1</sub> ◦ h <sub>2</sub> admet un unique point fixe S et que S appartient ` a la droite (P Q). D´ emontrer que h ₁ ◦ h ₂ est une homoth´ etie dont le centre appartient ` a (P Q) et le rapport est k`.

(c) On suppose que k` = 1. Montrer que h 1 ◦ h 2 une translation.

On pourrait v´ erifier de mˆ eme, mais on va l’admettre, que si t est une translation de vecteur v, alors t ◦ h 2 est une homoth´ etie dont le centre appartient ` a Q + Vect(v) si ` 6= 1.

2. On suppose que P , Q et R sont align´ es.

(a) Faire un dessin.

Soient h ₃ l’homoth´ etie de centre R qui envoie B sur A ; h ₂ l’homoth´ etie de centre Q qui envoie A sur C ; h 1 l’homoth´ etie de centre P qui envoie C sur B.

(b) Que peut ˆ etre la compos´ ee d’homoth´ eties h 1 ◦ h 2 ◦ h 3 ?

(c) En remarquant que B est fixe par la compos´ ee h 1 ◦ h 2 ◦ h 3 , montrer la relation RA

RB × P B P C × QC

QA = 1. (1)

3. On suppose que (1) est vraie et que P 6= Q. Soit R ⁰ l’intersection de (P Q) et (AB).

(a) Montrer que l’on a : R ⁰ A

R ⁰ B = RA RB . (b) En d´ eduire que R = R ⁰ .

Indication : RA = RB + BA.

2